高等數(shù)下知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)資料講解

1、高 等 數(shù) 學(xué) 下 知 識(shí) 點(diǎn) 總 結(jié) 第 1 頁(yè),共 12 頁(yè)精品文檔 高等數(shù)學(xué)（下）學(xué)問(wèn)點(diǎn) 主要公式總結(jié) 第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) z 211旋轉(zhuǎn)橢球面： a x 2 2y 2c z 22 111, 二次曲面 x 2y 21） 橢圓錐面： a 2 b 2 2） x 2 y 2z 2 c 2橢球面： a2b2a23） 單葉雙曲面： x 2b y 22 c z 2 2y 2 z z 2 雙葉雙曲面： x 2 2aa2b22 c 橢圓拋物面： x 2 2ay 2 2 bx 2 2ay 2 2 bz 4） 雙曲拋物面（馬鞍面）： 5） 橢圓柱面： x 2 y 2 2 b1雙曲柱面： x 2

2、2ay 21a2b26） 拋物柱面： 2 x ay （二） 平面及其方程 1, 點(diǎn)法式方程： A x x0 B y y0 C z 0z0 02, 法向量： n A, B, C ,過(guò)點(diǎn) x0 , y0 , z0 一般式方程： Ax By Cz D0截距式方程： x y z 13, abc A1 B1 C1 兩平面的夾角： n1 A1, B1, C1 , n2 A2 , B2 , C2 , A1A2 B1B2 C1C2 cos 2 A1 B1 C1 2 A2 2 B2 2 C2 12A1 A2 B1 B2 C1C2 0； 1/ 2A 2B 2C24, 點(diǎn) P0 x0 , y 0 , z0 到平面

3、Ax By Cz D的距離： dAx0 By0 Cz0 D 2 A 2 B C2（三） 空間直線及其方程 收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除 第 2 頁(yè),共 12 頁(yè)精品文檔 1, 一般式方程： A1 x B1 y C1 z D1 0y f x0 , y0 A2 x B 2 y C 2 z D 2 02, 對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程： x x0 y ny0 z z0 mp方向向量： s m, n, p ,過(guò)點(diǎn) x0 , y0 , z0 3, 兩直線的夾角： s1 m1 , n1 , p1 , s2 m2 , n2 , p2 , cos 2 m1 m1m2 n1n2 p1 p2 2 p2 2 n1

4、2 p1 2 m2 2 n2 L1 L2 m1m2 n1 n2 p1 p2 0； L1 / L2 m1 n1 p1 m2 n2 p2 4, 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角, sin 2 A Am Bn Cp n2p22 B C2m2L / Am Bn Cp 0； LA B Cmnp第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 1, 連續(xù)： x, y lim x0 , y0 f x, y f x0 , y0 2, 偏導(dǎo)數(shù)： f x x0, y0 lim x 0 f x0 x, y0 f x0 , y0 ； f y x0, y0 lim y 0 f x0 , y0 x y 3, 方向?qū)?shù)： f

5、f cos f cos 其中 , 為 l 的方向角； lx y 4, 梯度： z f x, y ,就 gradf x0 , y0 f x x0 , y0 i f y x0 , y0 j ； 5, 全微分：設(shè) z f x, y ,就 dz z dx x z dy y （一） 性質(zhì) 1, 函數(shù)可微,偏導(dǎo)連續(xù),偏導(dǎo)存在,函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系： 收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除 第 3 頁(yè),共 12 頁(yè)精品文檔 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 1函數(shù)可微 2偏導(dǎo)數(shù)存在 充分條件 2必要條件 4定義 3函數(shù)連續(xù) 2, 微分法 ,令 1） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒ň?如 z f u, v, u u x, y, v v x

6、, y ,就 z z u z v , z z uz v x u x v x y uy v y （二） 應(yīng)用 1） 求函數(shù) z f x, y 的極值 解方程組 f x 0求出全部駐點(diǎn),對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn) x0 , y0 f y 0A f xx x0 , y0 , B f xy x0 , y0 , C f yy x0 , y0 , 如 AC 2 B 0, A 0 ,函數(shù)有微小值, 如 AC 2 B 0 , A 0 ,函數(shù)有極大值； 如 AC B20 ,函數(shù)沒(méi)有極值； 如 AC B 2 0 ,不定； 2, 幾何應(yīng)用 1） 曲線的切線與法平面 x x t 曲線 : y y t ,就 上一點(diǎn) M x0 ,

7、y0 , z0 （對(duì)應(yīng)參數(shù)為 t0 ）處的 z z t 切線方程為： x x0 y y0 z z0 x t0 y t0 z t0 法平面方程為： x t 0 x x0 y t0 y y0 z t 0 z z0 02） 曲面的切平面與法線 曲面 : F x , y, z 0 ,就 上一點(diǎn) M x0 , y0 , z0 處的切平面方程為： 收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除 第 4 頁(yè),共 12 頁(yè)精品文檔 Fx x0 , y0 , z0 x x0 Fy x0 , y0 , z0 y y0 Fz x0 , y0 , z0 z z0 0 x x0 y y0 z z0 法線方程為： Fx x0 ,

8、y0 , z0 Fy x0 , y0 , z0 Fz x0 , y0 , z0 第十章 重積分 （一） 二重積分 ：幾何意義：曲頂柱體的體積 n1, 定義： D f x, y d lim0 k 1 f k , k k 2, 運(yùn)算： 1） 直角坐標(biāo) D x, y 1 x a y x b 2 x , D f x, yd xdy a bdx 1 x 2 x f x,yd y D x, y 1 y c x y d 2 y , D f x, yd xdy c ddy 1 y 2 y f x,yd x 2） 極坐標(biāo) D , 1 2 , f x, ydxdy d1 2 f cos , sin dD（二） 三

9、重積分 1, 2, 1） 2） x y z 3） x y z 定義： f x, y, z d v lim 0nf k , k , k vkk 1 運(yùn)算： 直角坐標(biāo) f x, y, z d v Dd xd y z2 x, y f x, y, z dz - “ 先一后二 ” z1 x, y f x, y, z dv bd z DZ f x, y, zdx d y - “ 先二后一 ” a柱面坐標(biāo) cos sin , f x, y, zd v f cos , sin , z dd dz z 球面坐標(biāo) r sin cos r sin sin r cos 收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除 第 5 頁(yè)

10、,共 12 頁(yè)精品文檔 f x, y, zd v 2 f r sin cos ,r sin sin ,r cos r sin drd d（三） 應(yīng)用 曲面 S : z f x, y , x, y D 的面積： A D 1 z x 2 z y 2 d x d y 第十一章 曲線積分與曲面積分 （一） 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 nf i , i si 2x t, t ,其中 t, t 在 , 1, 定義： Lf x, yds lim 0i12, 運(yùn)算： L的參數(shù)方程為 設(shè) f x, y 在曲線弧 L上有定義且連續(xù), y t , 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且 2 t 2 t 0 ,就 t dt , Lf x, y

11、d s f t , t 2t （二） 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 1, 定義：設(shè) L為 xoy 面內(nèi)從 A 到 B 的一條有向光滑弧,函數(shù) P x, y , Q x, y 在 L上有界,定義 LP x, y d x lim 0nP k , k xk , LQ x, y d y lim 0nQ k , k y k . k 1k 1 2 t 0 ,就 向量形式： LF d r LP x, ydx Q x, yd y 2, 運(yùn)算： 設(shè) P x, y, Q x, y 在有向光滑弧L上有定義且連續(xù) , L的參數(shù)方程為 x t , t : ,其中 t , t 在 , 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且 2 t y t, LP

12、x, yd x Q x, yd y P t, t t Q t , t t dt 3, 兩類曲線積分之間的關(guān)系： 設(shè)平面有向曲線弧為 L ： x t L上點(diǎn) x, y 處的切向量的方向角為： , , y , t cos t 2 t , cos 2 t t 2 t , 2 t 就 LPdx Qdy L P cos Q cos ds.收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除 第 6 頁(yè),共 12 頁(yè)精品文檔 （三） 格林公式 1, 格林公式：設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,函數(shù) P x, y ,Q x, y 在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) , Q P 就有 dxd y Pd x Qd y D

13、x y L2, G 為一個(gè)單連通區(qū)域,函數(shù) P x, y ,Q x, y 在 G 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 就 Q P 曲線積分 Pdx Qdy 在 G 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān) x y L（四） 對(duì)面積的曲面積分 1, 定義： 設(shè) 為光滑曲面,函數(shù) f x, y, z 是定義在 上的一個(gè)有界函數(shù), n定義 f x, y, z dS lim0 f i , i , i Si i 1 2, 運(yùn)算：“ 一單二投三代入 ” : z z x, y , x, y Dxy ,就 2 2f x, y, z dS D x y f x, y, z x, y 1 zx x, y zy x, y d xd y （五） 對(duì)坐標(biāo)的曲面

14、積分 1, 定義： i , i Si zx 設(shè) 為有向光滑曲面,函數(shù) P x, y, z, Q x, y, z, R x, y, z 是定義在 上的有界函數(shù),定義 R x, y, zd xdy lim 0nR , i, i Si xy 同理, i1Px, y, zd ydz lim 0ni, i, i Si yz ； Q x, y, zd zdx nP lim R , 0 i 1 i 1 2, 性質(zhì)： 1） 12 ,就 Pdydz Qdzdx Rdxdy 1Pdydz Qdzdx Rdxdy 2Pdydz Qdzdx Rdxdy 運(yùn)算：“ 一投二代三定號(hào) ” : z zx, y , x, y

15、Dxy , z z x, y 在 Dxy 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), R x, y, z 在 上連續(xù),就 Rx, y, zdxdy Dx y R x, y, zx, ydxdy ,為上側(cè)取“ + ”, 為下側(cè)取“ - ”. 收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除 第 7 頁(yè),共 12 頁(yè)精品文檔 3, 兩類曲面積分之間的關(guān)系： Rcos d S Pd yd z Qd zdx Rdxd y Pcos Qcos 其中 , , 為有向曲面 在點(diǎn) x, y, z 處的法向量的方向角； （六） 高斯公式 1, 高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面 所圍成 , 的方向取外側(cè) , 函數(shù) P, Q, R 在上

16、有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 就有 P Q R d xd yd z Pd y dz Q d zd x Rdx d y x y z 或 P Q R d x d y d z Pcos Qcos Rcos d S x y z 2, 通量與散度 通量：向量場(chǎng) A P, Q, R 通過(guò)曲面 指定側(cè)的通量為： P d ydz Qdzdx Rdxd y P Q R散度： div A x y z （七） 斯托克斯公式 1, 斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線 , 的側(cè)與 的正向符合右手法就 , P x, y, z, Q x, y, z, Rx, y, z 在包含 在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)

17、, 就有 R Q P R Q P d yd z d zd x d xd y P d x Qd y Rd z y z z x x y 為便于記憶 , 斯托克斯公式仍可寫作 : d yd z d zd x d x d y x y z Pd x Q d y Rd z Pd x Qd y Rd z P Q R2, 環(huán)流量與旋度 環(huán)流量：向量場(chǎng) A P,Q, R 沿著有向閉曲線 的環(huán)流量為 旋度： rot A RQ , z P R, Q P y z x x y 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù) （一） 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1, 定義： n 1 un u1 u2 u3 un 1）無(wú)窮級(jí)數(shù)： 收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除

18、 第 8 頁(yè),共 12 頁(yè)精品文檔 n部分和： Sn uk u1 u2 u3 un , 正項(xiàng)級(jí)數(shù)： k 1 0un , u nn1交叉級(jí)數(shù)： n1n 1 un , un 0un 收斂,否就稱級(jí)數(shù) n 1 un 發(fā)散 2）級(jí)數(shù)收斂：如 lim nSn S 存在,就稱級(jí)數(shù) n 1 3）條件收斂： n1un 收斂,而 n1un 發(fā)散； 確定收斂： un 收斂； n 1 2, 1） 2） 3） 性質(zhì)： 轉(zhuǎn)變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的收斂性； 級(jí)數(shù) n1an , n 1 bn 收斂,就 an n 1 bn 收斂； 級(jí)數(shù) an 收斂,就任意加括號(hào)后仍然收斂； n14） 必要條件：級(jí)數(shù) n1un 收斂 lim un

19、 n 0 . （留意：不是充分條件?。?kvn ,而 vn 收斂,就 un 3, 審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù)： un , un 0n 1 1） 定義： lim nSn S 存在； 2） un n 1 收斂 Sn 有界； 3） 比較審斂法： n1un , n 1 vn 為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且 un vn n 1,2,3, 如 vn 收斂,就 n1un 收斂；如 un n 1 發(fā)散,就 n1vn 發(fā)散 . n 1 4） 比較法的推論： n1un , n 1 vn 為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如存在正整數(shù) m,當(dāng) nm時(shí), un n 1 n 1 收斂；如存在正整數(shù) m,當(dāng) nm時(shí), un kvn ,而 vn 發(fā)散,就 n 1 un

20、發(fā)散 . n 1 收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除 第 9 頁(yè),共 12 頁(yè)精品文檔 5） 比較法的極限形式： n1 un , n 1 vn 為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如 lim n un vn l 0 l ,而 n 1 vn 收斂,就 n1 un 收斂；如 lim n un v 0 或 lim n un v ,而 n 1 vn 發(fā)散,就 n 1 un 發(fā)散 . 6） 比值法： n 1 un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù),設(shè) lim n un 1un l,就當(dāng) l 1 時(shí),級(jí)數(shù) n1 un 收斂；就當(dāng) l 1 時(shí),級(jí)數(shù) n1 un 發(fā)散；當(dāng) l 1 時(shí),級(jí) un 可能收斂也可能發(fā)散 . n1數(shù) 7） 根值法： n1 un

21、 為正項(xiàng)級(jí)數(shù),設(shè) lim n n un l,就當(dāng) l 1 時(shí),級(jí)數(shù) n1 un 收斂；就當(dāng) l 1 時(shí),級(jí)數(shù) n 1 un 發(fā)散；當(dāng) l 1 時(shí),級(jí)數(shù) un 可能收斂也可能發(fā)散 . n 1 8） 極限審斂法： un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如 lim n n u n 0 或 lim n un n,就級(jí)數(shù) un 發(fā)散；如存在 p 1 ,使得 n 1 n 1 plim n un n l 0 l ,就級(jí)數(shù) n 1 un 收斂 . 交叉級(jí)數(shù)： 萊布尼茨審斂法：交叉級(jí)數(shù)： n 1 un n 1 , un 0 中意： un 1un n 1,2,3, ,且 lim n un0 ,就級(jí)數(shù) n1n 1 u n 收斂； 任意

22、項(xiàng)級(jí)數(shù)： un 確定收斂,就 un 收斂； 收斂, q1； p- 級(jí)數(shù)： n11收斂, p1n 1 n 1 n aq 常見典型級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)： 發(fā)散, q1np發(fā)散, p1n 0 （二） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1, 定義：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) n 1 un x ,收斂域,收斂半徑,和函數(shù)； 02, 冪級(jí)數(shù)： n anx 3, n 0 1 , 0收斂半徑的求法： lim nan 1,就收斂半徑 R0, a n, 4, 泰勒級(jí)數(shù) 0n 0 f n x0 x n. n x0 lim Rn x nlim nf n 1 n1 x x0 f x n 1 . 開放步驟：（直接開放法） 收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除 第 10 頁(yè),共 12 頁(yè)精品文檔 1） 求出 f n x, n1,2,3, ； x 0 n 10 是否成立； 2） 求出 f n x , n0,1,2, ； 3） 寫出 n 0 f n x0 x n. x 0n ； 4） 驗(yàn)證 lim R x nlim nf n 1 x n 1. 間接開放法：（利用已知函數(shù)的開放式） 1） ex n1 nx , 0 n. x , ； 函數(shù)系中任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間 , 上積分 2） sin x n 0 n 1 11 2n