中考復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)

1、 銳角三角函數(shù)中考大綱ABC銳角三角函數(shù)了解銳角三角函數(shù)（ sin A ， tan A ）; 知道 ， 45角三角函數(shù)值由某個(gè)銳角的一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)這個(gè)角的其 能用三角函數(shù)解決與 余兩個(gè)三角函數(shù)值；會(huì)計(jì) 直三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單 算含有 30 實(shí)問(wèn)題角的三角函數(shù)式的值會(huì)解直角三角形；能根據(jù)解直角三角形知道解直角三角形的含義問(wèn)題的需要添加輔助線 構(gòu)造直角三角形；會(huì)解由 兩個(gè)特殊直角三角形構(gòu)能綜合運(yùn)用直角三角形 的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題成的組合圖形的問(wèn)題知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖銳角三角函數(shù) 銳角三角函數(shù) 特角的三角函值 三角函數(shù)間的關(guān)系 直角三角形的邊與角 解直角三角形 解直角三角形的型和解法 解直角三角形與實(shí)際問(wèn)題直角三

2、角形問(wèn)題知識(shí)精講一、銳角三角函數(shù)的定義如圖所示，在 eq oac(,Rt) eq oac(, ) 中 、 b 、 c 別為 、 、 的邊（1正弦： RtABC 中銳角 的邊與斜邊的比叫做 的弦，記作 sin A ，即 A 的對(duì)邊 = 斜邊 AB c（2余弦： Rt 中，銳角 A 的邊與斜邊的比叫做 的弦，記作 A ，即 A 鄰邊 AC = 斜邊 AB c（3正切： Rt 中，銳角 A 的邊與鄰邊的比叫做 的切，記作 tan ，即 tan 的鄰邊 a = 對(duì)邊 AC b二、特殊角是三角函數(shù)值三角函數(shù)sin A30123233452222603212三、三角函數(shù)之間的關(guān)系、由三角函數(shù)的定義和勾股定

3、理，可以得出同角三角函數(shù)的關(guān)系：（1 sin ；（） sin 對(duì)于（1）的變形如下：sin A A A)(1cos A 互余角三角函數(shù)關(guān)系：； sin (1 A)(1 (1)任意銳角的正弦值等于它的余的余弦值：sin ；(2)任意銳角的余弦值等于它的余的正弦值： A ；銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律： 、 B 是銳角，若 ， sin A sin ； A ， sin sin ； 、 B 是角，若 ， A B ； A ，則 cos A cos B ； 、 B 是角，若 ， A B 若 ，則 A tan B 四、解直角三角形的概念在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形 五、直角三角形的

4、邊和角的關(guān)系如圖，在 Rt 中若 90 三邊之間的關(guān)系： 勾股定)銳角之間的關(guān)系： 邊角之間的關(guān)系： B a， cos A sin B bc， 六、解直角三角形的類型及解法 、已知兩邊（1已知兩直角邊( a 和 b ，求出 a ，由 ，得 （2知邊和一直角(如斜邊 c 角 sin a求出 90 c、已知一邊一角（1已知斜邊和一銳角如斜邊 c ，銳角 )，出 90 a sin A ， b A （2已知一直角邊和一銳(如 和角 A )求出 B 90 b B ， 七、直角三角形中其他重要概念sin 、仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水線下方的叫做俯 角視線鉛垂線仰

5、角俯角水平線h視線圖(1)、坡角與坡度：坡面的垂直高度 h 和平寬度 l 的叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為 i l，坡面與水平面的夾角記作 ，做坡角，則 i hl坡度越大，坡面就越陡hi :l北l、方向角（或方位角）：方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方圖旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)為北（南）偏東（西度北八、解非直角三角形問(wèn)題：圖(在不含直角三角形的圖形中，我們應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)拇咕€構(gòu)造直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為解直角三角問(wèn) 題主要的轉(zhuǎn)化思想有：、構(gòu)造直角三角形當(dāng)所給的三角形不是直角三角形時(shí)，一般都應(yīng)轉(zhuǎn)化為直角三角形構(gòu)造直角三角形應(yīng)盡可能以不 壞已知為前提、補(bǔ)形

6、、轉(zhuǎn)化通過(guò)添加輔助線、平移等方式，把分散開(kāi)來(lái)的元素集中在一個(gè)直角三角形中，再通過(guò)解直角三角 來(lái)解決、構(gòu)造幾何圖形解題方法技巧、一些特殊角是三角函數(shù)值的補(bǔ)充：三角函數(shù)90sin 06 24 A06 242 3【注意】由于一些題目會(huì)用到 所以這里將 15的三角函數(shù)值補(bǔ)充一下，作為學(xué)生的了解、正切值為1 和 的個(gè)角的和為 2 、一些特殊角的三角函數(shù)值的推導(dǎo)：【例】 求 tan15sin15【答案】在 eq oac(, ) 中 90 延長(zhǎng) CA 至 D ,使 ，連接 BD .設(shè) ，BAC 90 ，由勾股理可得AC x，且1D BAC 2由勾股定理可得 CD x 3 ) 8 x 2 sin BC x 2

7、 BD ( 6) x 4，sin15 6 4; x 3 x， C D A【例】 計(jì) 【答案】作 ABC 使 令 BC ， AC ， 1 1 1 1 過(guò) ABC 的平分線 ，交 AC D , 因?yàn)榈妊?ABC 腰 所以BC CD ，故 CD ，a 由此得 AD b 因?yàn)?， a bb即得b令，則 2 ，解方程得x 5 2故b 5 ，a 2過(guò)點(diǎn) D 作 DM AD ， AM sin A DMADab b b 1 5 a ( ) ( ) 4 4 2 5) 10 a a 4 4 16 4 4AMB C易錯(cuò)點(diǎn)辨析、應(yīng)用三角函數(shù)定義時(shí)，要保證直角三角形這個(gè)前提、在求解直角三角形的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要畫(huà)出圖形，以

8、利于分析解決問(wèn)題、選擇關(guān)系式時(shí)，要盡量利用原始數(shù)據(jù)，以防止“累積誤差”、遇到不是直角三角形的圖形時(shí)，要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形求銳角三角函數(shù)習(xí)題集課堂練習(xí)題型一：銳角三角函數(shù)的定義【例】 如圖，在 ABC 中 ， ， sin 值是（ ）BA A3 4B4 3CD45【例】 如圖，在 eq oac(,Rt) eq oac(, )ABC 中 90， BC ， ，則下列結(jié)論正確的是（ ）A sin 32B tan B 32D tan 3 A【例】 把 邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的 3 倍則銳角 正弦函數(shù)值（ ）A不變B縮小為原來(lái)的13C大為原來(lái)的 倍D能定【例】 如圖， eq oac(,Rt

9、) 中 C AD BC 于 D ， BD : 2 則 tan =（ ）ABDA3 2B2 3C6 D2 3【例】 如圖，在 eq oac(,Rt) eq oac(, )ABO 中斜邊 AB OCBA （ ）B A點(diǎn) 到 的離為 sin54 C A 到 的距離為 sin54 O CB點(diǎn) 到 距離為 tan36 D A OC 的離為 cos36 【例】 如圖，已知 l / / l / / l ，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角 ABC 的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)分別在這三條平行直線上，則 sin的值是（ ）ABC5 D5 10Clll題型二：特殊角的三角函數(shù)值【例】 在 ， C 33則 )A3B1 C2

10、4D32【例】 在 中，三邊之比a : : c 3 : 2，則 sin tan 等（ ）A3 3B 6 3 2【例】 如果 ABC 中 cos B A ABC 是角三角形 C 是腰直角三角形22，則下列最確切的結(jié)論是（ ）B 等腰三角形 D 是角三角形【例1】在 ，若sin A ，則 度數(shù)是（ A 45B 60C 105D 【例1】在 eq oac(, ) ， C 90 AB ，現(xiàn)給出下列結(jié)論： A 32 ； cos B ； tan 33； B ，其中正確的結(jié)論需上正確結(jié)論的序號(hào)）題型三：同角、互余兩角的關(guān)系【例1】比下列各式的大?。? sin43 （2當(dāng) 是角， A A 【例1】如，已知：

11、45 90下各式成立的是（） CA A cos A sin A【例1】計(jì)下列各題：B cos A D sin A （1 （2 cos(60 題型四：化簡(jiǎn)求值【例1】求列各式的值：（1 （2 1cos60 cos45【例1】計(jì)（1） ；（2sin60 cos30 【例1】先簡(jiǎn)，再求代數(shù)式a a 的值，其中 題型五：解直角三角形【例1】如是教學(xué)用直角三角板，邊 30 90 33，則邊 長(zhǎng)為（ ）A 3cmB 3cm 3cmD 3【例1】菱的邊長(zhǎng)是 a ，一個(gè)內(nèi)角為 50較的對(duì)角線是（ ）A sin50 B 2a 25 cos25 【例2】如，四邊形 ABCD 是形，對(duì)角線 cm ， ， DH 于點(diǎn)

12、 H ，且 DH 與 AC 于 G ， ）DAAHB28 25 cm B cm D25 21cm【例2】在 eq oac(, ) 中， C 據(jù)列條件解直角三角形（1 b （2 3， b （3 ， b 2【例2】已 知：如圖，在 eq oac(,Rt) eq oac(, ) 中 3，點(diǎn) D 為 邊一點(diǎn)，且 BD AD ， 的長(zhǎng)。（結(jié)果保留根號(hào)D【例2】等三角形的面積為 2腰長(zhǎng)為 5 ，角為，求 tan題型六：實(shí)際問(wèn)題與解直角三角形（仰角與俯角；坡度與坡角；方位角）【例2】如在里市某廣場(chǎng)上空飄著一只汽球 A是地面上相距 90 米兩點(diǎn)它分別在汽球的正西和正東得角 45 PBA 的精到 米3=1.73

13、2） B 【例2】周，身高都為 6 米小芳、小麗來(lái)到溪江公園，準(zhǔn)備用她們所學(xué)的知識(shí)測(cè)算南塔的高度如圖，小芳站在 A 處得她看頂?shù)难鼋菫?麗站在 處（ A 、 B 塔的軸心共線）測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋?為 30們又測(cè)出 、 B 兩點(diǎn)的距離為 米假設(shè)她們的眼睛離頭頂都為 10cm ，可計(jì)算出塔高約為（結(jié)果精確到 01參考數(shù)據(jù)： 2 414 ， ） ）A36 B3771 米C98 D48 米【例2】如，某游樂(lè)場(chǎng)一山頂滑梯的為 ，梯的坡角為 ，么滑梯長(zhǎng) l為（ ）lhAsin BtanD h 【例2】如所示河橫斷面迎水坡 的比是1: 堤 cm 則面 AB 的（ mA 100 D 3【例2】一船在海島 A

14、南東 20向的 B 處險(xiǎn)，測(cè)得海島 A 與 的距離為 海里，船將險(xiǎn)情報(bào)告 給位于 A 處的救援船后，沿北偏西 方向向海島 C 靠，同時(shí)，從 A 處發(fā)的救援船沿南偏西 方向勻速航行， 20 分后，救援船在海島 處好追上漁船，那么救援船航行的速度為 （ ）里小A10 B C20 3D30 【例2】如， AC 是某市環(huán)城路的一段， BF CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城路 AC 的叉路口分別是 經(jīng)測(cè)量花卉世界 D 位點(diǎn) A 的偏東 、 B 的北偏東 30上AB ， （1求 之的距離； （2求 C 之的距離FD題型七：解非直角三角形問(wèn)題【例3】如，在 ABC 中已知AB 45 ，求 、BC 的長(zhǎng)C 【

15、例3】如，在四邊形 ABCD 中 90 AB ， AD 求 CD 的DA 【例3】如，已知在直角梯形 中， 60 cm ， 、F 分為 AB、 的中 點(diǎn)， EF cm ，兩底 、 長(zhǎng)？D CEFA B cA 6 C cA 6 C 3 米B 米課作【練】 ， C 90 A ，則 BC 的_【練】 ， b 、 分別是 的邊 么列結(jié)論正確的 ）A c sin A B cos B C tan A D c tan 【練】 小想要測(cè)量一棵樹(shù)的高度發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子恰好落在地面和一斜坡上圖時(shí)測(cè)得地面上的 影長(zhǎng)為 ，坡面上的影長(zhǎng)為 米已知斜坡的坡角為 ，同一時(shí)刻，一長(zhǎng)為 米、垂直于地 面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為 ，則樹(shù)的高度為（ ） 【練】 計(jì)（1 ( 2 45 米D 米1（2 ( ) tan60 3【練】 在 Rt ABC 中， C 90別下列條件，解直角三角形 （1 c （2 ， 45（3 ， 【練】 已，如圖在菱形 中 AB 于 E ， BE cm ， sin A 1213求菱形的周長(zhǎng)DC【練】 臺(tái)是種然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海