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文檔簡介

1、第三章 模糊關(guān)系第1頁第1頁本章內(nèi)容1. 模糊關(guān)系基本概念2. 模糊矩陣3. 模糊關(guān)系和模糊矩陣合成4. 模糊等價矩陣第2頁第2頁同窗集合 X=張三,李四,王五外語選修課程集合 Y=英,法,德,日R= (張三, 英), (張三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英)什么是關(guān)系第3頁第3頁普通關(guān)系定義1:集合A,B直積AB=(a,b)|aA,bB一個子集R稱為A到B一個二元關(guān)系,簡稱關(guān)系??梢姡P(guān)系也是個集合。第4頁第4頁關(guān)系example1設(shè)X為橫軸,Y為縱軸,直積XY是整個平面,其上普通關(guān)系xy:YXY=XR:XY0第5頁第5頁模糊關(guān)系example1 其上模糊關(guān)系R=

2、“x遠(yuǎn)遠(yuǎn)不小于y”,怎么表示? 當(dāng)x=1000,y=100時,R(x,y)=0.999 當(dāng)x=20,y=10時,R(x,y)=0.5 當(dāng)x=20,y=18時,R(x,y)=0.0358R(x,y)X10y第6頁第6頁 概念定義3.1稱為從X 到Y(jié)模糊關(guān)系.(關(guān)聯(lián)度)。尤其,從X到X模糊關(guān)系稱為 X上模糊關(guān)系1. 模糊關(guān)系基本概念第7頁第7頁模糊關(guān)系example2例:設(shè)身高論域U=140,150,160,170,180,體重論域V=40,50,60,70,80,則身高與體重之間模糊關(guān)系:UV1401501601701804010.80.20.10500.8010.80.20.1600.20.8

3、10.80.2700.10.20.810.88000.10.20.81第8頁第8頁兩點闡明:第9頁第9頁模糊關(guān)系example3第10頁第10頁模糊關(guān)系運算 模糊關(guān)系就是模糊子集,只但是其論域是直積 AB罷了 模糊關(guān)系運算法則完全服從模糊集合運算 法則第11頁第11頁 運算可推廣包括:相等:并:交:余:第12頁第12頁下列是幾種特定模糊關(guān)系:倒置倒置倒置第13頁第13頁下列是幾種特定模糊關(guān)系:第14頁第14頁下列是幾種特定模糊關(guān)系:第15頁第15頁模糊關(guān)系性質(zhì):第16頁第16頁2.模糊關(guān)系表示模糊矩陣典型有限集合上關(guān)系,能夠使用矩陣來表示。若論域XY是有限集,模糊關(guān)系能夠表示為模糊矩陣。模糊矩

4、陣元素表示關(guān)系從屬值。若論域XY是連續(xù)或無限,則該論域上(模糊)關(guān)系不能用(模糊)矩陣來表示。第17頁第17頁模糊矩陣定義假如對于任意i=1,2,m, j=1,2,n,都有rij0,1,則稱矩陣R=(rij)mn為模糊矩陣。若rij0,1,則模糊矩陣變成Boole矩陣。模糊矩陣能夠表示模糊關(guān)系,對于“A上模糊關(guān)系”用模糊方陣來表示。第18頁第18頁模糊矩陣Example設(shè)有四種物品,蘋果、乒乓球、書、花構(gòu)成論域U,分別用x1,x2,,xn表示,它們相同程度能夠用模糊關(guān)系R來表示:第19頁第19頁例1.例2.身高與體重之間關(guān)系為:模糊矩陣Example第20頁第20頁模糊關(guān)系與模糊矩陣假如給定X

5、上模糊關(guān)系I滿足 則稱I為X“恒等關(guān)系”,表示恒等關(guān)系I矩陣為單位矩陣。第21頁第21頁模糊關(guān)系與模糊矩陣若給定XY上模糊關(guān)系O,滿足 則稱O為XY“零關(guān)系”, 表示零關(guān)系O矩陣為零矩陣。第22頁第22頁模糊關(guān)系與模糊矩陣假如給定XY上模糊關(guān)系E滿足 稱E為XY“全稱關(guān)系”,表示全稱關(guān)系E矩陣為全稱矩陣。第23頁第23頁模糊關(guān)系與模糊矩陣假如給定XY上模糊關(guān)系R,定義 稱RT為R“倒置關(guān)系”,表示模糊關(guān)系RT矩陣為R矩陣轉(zhuǎn)置矩陣。第24頁第24頁模糊矩陣關(guān)系設(shè)A、B為模糊矩陣,記A=(aij), B=(bij),i=1,2,m, j=1,2,n, 則 (1)相等:A=B 對任意i, j 有 a

6、ij = bij (2)包括:A B 對任意i, j 有 aij bij因此,對任何 總有:第25頁第25頁模糊矩陣運算設(shè)A、B為模糊矩陣,記A=(aij), B=(bij),i=1,2,m, j=1,2,n, 則 (1)并:AB (aijbij)mn (2)交: AB (aijbij)mn (3)余: Ac (1-aij) mn例:求第26頁第26頁模糊矩陣運算性質(zhì)(1)冪等律:AAA , AA=A;(2)互換律:AB=BA, AB=BA;(3)結(jié)合律:(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC);(4)吸取律:A(AB)= A, A(AB)=A;(5)分派律: (AB)C=( AC)

7、(BC), (AB)C= ( AC)(BC);第27頁第27頁模糊矩陣運算性質(zhì)(6)0-1律:AOA, AOO; EA=E,EA=A;(7)還原律:(Ac)c=A;(8)對偶律:(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc. 排中律不成立! AcA E, AAc O 注意第28頁第28頁模糊矩陣包括性質(zhì)第29頁第29頁3. 模糊關(guān)系合成第30頁第30頁模糊關(guān)系合成定義第31頁第31頁例1:設(shè)生物群落論域模糊關(guān)系合成舉例表示X與U兩生物群落種群之間密切關(guān)系表示U與Y兩生物群落種群之間密切關(guān)系第32頁第32頁模糊關(guān)系合成舉例則表示生物群落X與Y之間密切關(guān)系。第33頁第33頁合成運算Exampl

8、e2設(shè)R1為XY上模糊關(guān)系,其從屬函數(shù)滿足 設(shè)R2為YZ上模糊關(guān)系,其從屬函數(shù)滿足 試求R1、 R2合成。第34頁第34頁合成運算Example2先求兩曲線交點,由解得(另一解舍去)當(dāng) 時故第35頁第35頁模糊關(guān)系合成運算性質(zhì)性質(zhì)1:結(jié)合律 (A B) C = A (B C); 性質(zhì)2:分派律 A ( BC ) = ( A B )( A C ); ( BC ) A = ( B A )( C A );性質(zhì)3:( A B )T = BT AT;性質(zhì)4:A B,C D A C B D.性質(zhì)5:A B A C B C , C A C B, A n B n注:(1) 合成( )運算關(guān)于()分派律不成立,

9、即( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 這些性質(zhì)在有限論域情況下,就是模糊矩陣合成運算性質(zhì).第36頁第36頁模糊矩陣合成運算與模糊方陣冪 設(shè)A = (aik)ms,B = (bkj)sn,定義模糊矩陣A 與B 合成為:A B = (cij)mn,其中cij = (aikbkj) | 1ks .模糊方陣冪定義:若A為 n 階方陣,定義A2 = A A,A3 = A2 A,Ak = Ak-1 A.第37頁第37頁模糊矩陣合成運算性質(zhì)性質(zhì)1(結(jié)合律):性質(zhì)2:性質(zhì)3(分派律)能夠推廣到多個:性質(zhì)4(01律):第38頁第38頁性質(zhì)5:性質(zhì)6:模糊矩陣合成運算性質(zhì)第39頁第39頁模糊矩

10、陣合成運算性質(zhì) 合成運算交運算分派律不成立注意不滿足互換律。求: 定義。第40頁第40頁模糊矩陣合成舉例令第41頁第41頁采用max-min合成采用max-乘積合成模糊矩陣合成舉例第42頁第42頁模糊矩陣轉(zhuǎn)置 定義 設(shè)A = (aij)mn, 稱AT = (aijT )nm為A轉(zhuǎn)置矩陣,其中aijT = aji.轉(zhuǎn)置運算性質(zhì):性質(zhì)1:( AT )T = A;性質(zhì)2:( AB )T = ATBT, ( AB )T = ATBT;性質(zhì)3:( A B )T = BT AT;( An )T = ( AT )n ;性質(zhì)4:( Ac )T = ( AT )c ;性質(zhì)5:A B AT BT .第43頁第43

11、頁證實性質(zhì)3:( A B )T = BT AT;( An )T = ( AT )n .證實:設(shè)A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 記( A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由轉(zhuǎn)置定義知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T . 模糊矩陣轉(zhuǎn)置第44頁第44頁模糊矩陣截矩陣模糊集合- 截集模糊

12、矩陣- 截矩陣定義:設(shè)給定模糊矩陣R=(rij),對任意 0,1,稱R=(rij ()為R截矩陣,其中第45頁第45頁模糊矩陣截矩陣 設(shè)則:模糊矩陣A 截矩陣 相應(yīng)于有限論域上模糊關(guān)系 截關(guān)系,顯然, 元素僅能是0或1,因此, 是布爾矩陣。第46頁第46頁-截矩陣性質(zhì)模糊矩陣A, B, 0,1,性質(zhì)2. 性質(zhì)1.第47頁第47頁性質(zhì)3:證實 設(shè)A=(aik)ms,B=(bkj)sn, A。B=(cij)mn-截矩陣性質(zhì)第48頁第48頁-截矩陣性質(zhì)第49頁第49頁性質(zhì)4:-截矩陣性質(zhì)第50頁第50頁4. 模糊等價矩陣(1)普通等價關(guān)系對稱關(guān)系:傳遞關(guān)系:自反關(guān)系:等價關(guān)系:自反、對稱、傳遞 模糊

13、等價關(guān)系第51頁第51頁(2)模糊自反關(guān)系(fuzzy reflexive relations)定義則稱R為模糊自反關(guān)系.命題1依據(jù)主對角線元素是否為1鑒定R 是否自反證實:第52頁第52頁(3) 模糊對稱關(guān)系(fuzzy symmetric relations) 定義:則稱R為模糊對稱關(guān)系.依據(jù)矩陣是否為對稱陣鑒定R 是否對稱關(guān)系。顯然,R為模糊對稱關(guān)系.第53頁第53頁命題2證實:第54頁第54頁(4)模糊傳遞關(guān)系(fuzzy transitive relations)定義比如命題3第55頁第55頁(4)模糊傳遞關(guān)系(fuzzy transitive relations)第56頁第56頁命

14、題4設(shè)R是模糊傳遞,證實:依據(jù)命題3知:R模糊傳遞.由命題3知第57頁第57頁(5)模糊等價關(guān)系(fuzzy equivalency relations)定義 若R是模糊自反、對稱、傳遞關(guān)系,則稱 R是一個模糊等價關(guān)系。比如R是對稱陣且主對角線元素全為1,故為模糊對稱及自反關(guān)系。命題5: R為模糊等價關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng) 是普通等價關(guān)系。第58頁第58頁對模糊等價關(guān)系,第59頁第59頁伴隨劃分水平提升,劃分加細(xì)第60頁第60頁 模糊等價矩陣定義1. 若模糊矩陣 A Mnn滿足A I,則稱A為自反模糊矩陣。比如:在有限論域中自反模糊矩陣表示一個自反模糊關(guān)系。幾種概念與定理第61頁第61頁自反矩陣定理定理

15、1. 設(shè)模糊矩陣 A Mnn是自反矩陣,則有證實:幾種概念與定理第62頁第62頁定義2: 包括R而又被任何包括R自反矩陣包括 自反矩陣叫R自反閉包。記為r (R) .定理2:證:需證 (1) 為自反矩陣 ;(2)任意包括 R自反矩陣必包括 。為自反矩陣。(2)設(shè)Q為任意包括R自反矩陣,則幾種概念與定理第63頁第63頁定義3:若模糊矩陣 A Mnn滿足AT=A,則稱A為模糊對稱矩陣。比如:幾種概念與定理在有限論域中,模糊對稱矩陣表示一個模糊對稱關(guān)系。第64頁第64頁幾種概念與定理定義4:R為模糊對稱矩陣,包括R而又被任何包括R 對稱矩陣所包括對稱矩陣,叫做R對稱閉 包。記為S(R)。為對稱矩陣。

16、定理3:證:需證 (1) 為對稱矩陣 ;(2)任意包括 R對稱矩陣必包括 。(2)設(shè)Q為任意包括R對稱矩陣, 則因Q對稱,因此QT=Q,由此得 從而第65頁第65頁定義5: 若模糊矩陣 A Mnn滿足 A2 A,則稱A為模糊傳遞矩陣。 比如:在有限論域中,模糊傳遞矩陣表示一個模糊傳遞關(guān)系。幾種概念與定理第66頁第66頁幾種概念與定理定義6:R為模糊傳遞矩陣,包括R而又被任何包括R 傳遞矩陣所包括傳遞矩陣,叫做R傳遞閉 包。記為t(R)。R 傳遞閉包t(R)含有下列性質(zhì):(傳遞性)(包括性)(最小性)性質(zhì)表明:R傳遞閉包是包括R最小模糊傳遞矩陣。第67頁第67頁定理4: 設(shè)模糊矩陣 A Mnn,

17、則其中,t(A)是傳遞閉包。幾種概念與定理第68頁第68頁幾種概念與定理定理4證實:需證(1)是傳遞函數(shù)。(2)對任意傳遞矩陣(1) 因因此,是傳遞函數(shù)。合成運算推廣性質(zhì)第69頁第69頁幾種概念與定理(2) 設(shè)為任意傳遞矩陣,且因Q是傳遞矩陣,因此從而有即由k任意性得:于是上述定理給出了任意模糊矩陣傳遞閉包表示式,但無法操作。下面定理給出改進(jìn)。第70頁第70頁定理5: 設(shè)模糊矩陣 A Mnn,則其中,t(A)是傳遞閉包。幾種概念與定理上式表明:當(dāng)A是n階方陣時,至多用n次并運算便可求出A傳遞閉包。第71頁第71頁比如:幾種概念與定理第72頁第72頁定義7:設(shè)論域U=x1, x2, , xn ,

18、RMnn , I為單 位矩陣,若R滿足 (1)自反性:R I; (2)對稱性:RT=R; (3)傳遞性:R2 R 則稱R為模糊等價矩陣.幾種概念與定理在有限論域中,模糊等價矩陣表示一個模糊等價關(guān)系。第73頁第73頁例:設(shè)論域U=x1, x2,R是否為模糊等價矩陣?幾種概念與定理第74頁第74頁幾種概念與定理定理6:設(shè) 則若 為模糊自反矩陣,則為模糊自反矩陣;若 為模糊對稱矩陣,則為模糊對稱矩陣;為模糊傳遞矩陣;若 為模糊傳遞矩陣,則 此定理表明模糊矩陣自反性、對稱性與傳遞性對于交運算是封閉。第75頁第75頁定理7: R是模糊等價矩陣 對于任何0,1,R是等價布爾矩陣。證實:(1)R自反性:(2

19、)R對稱性:對稱性(3)R傳遞性:傳遞性幾種概念與定理模糊等價矩陣判別條件第76頁第76頁定理7意義: 將模糊等價矩陣轉(zhuǎn)化為普通等價矩陣。普通等價矩陣等價于有限論域上普通等價關(guān)系,普通等價關(guān)系能夠分類。因此,當(dāng)在0,1上變動時,得到不同R, 從而得到不同分類。幾種概念與定理第77頁第77頁定義1. 設(shè)R是UU上模糊關(guān)系 ,若R滿足(1)自反性:R(x,x)=1;(2)對稱性:R(x,y)=R(y,x);則稱R為U上模糊相同關(guān)系,其中隸屬度R(x,y)表示x,y相同程度。比如:模糊關(guān)系“熟悉”,“朋友”,“同窗”等。 模糊相同關(guān)系定理1:R是U上模糊相同關(guān)系充足必要條件是, 對任意 是U上普通相

20、同關(guān)系。第78頁第78頁定義2. 設(shè)有限論域U=x1, x2, , xn ,RMnn ,I為單位矩陣,若R滿足(1)自反性:R I (即rii=1);(2)對稱性:RT=R (即rji=rij);則稱R為模糊相同矩陣。 模糊相同矩陣第79頁第79頁 模糊相同矩陣?yán)?則R為模糊相同矩陣。Q不是,Q含有對稱性,但不含有自反性。第80頁第80頁模糊相同矩陣性質(zhì)定理1. 設(shè)RMnn 是模糊相同矩陣,則對于任何自然 數(shù)k,Rk也是模糊相同矩陣。 用數(shù)學(xué)歸納法證實第81頁第81頁模糊相同矩陣性質(zhì) 當(dāng)k1時, RK是模糊相同矩陣。 假設(shè)k=n時, RK是模糊相同矩陣,又 故有含有自反性。含有對稱性。第82頁

21、第82頁模糊相同矩陣vs. 模糊等價矩陣定理2. 設(shè)RMnn 是模糊相同矩陣,則存在一個 最小自然數(shù)k(k n),使得傳遞閉包 t(R)=Rk,對于任何自然數(shù)bk,都有 Rb=Rk,此時,t(R)是模糊等價矩陣。以上定理表明:通過求傳遞閉包t(R),能夠?qū)⒛:嗤仃嚫脑斐蔀槟:葍r矩陣。模糊等價矩陣含有傳遞性,同時又保留了自反性與對稱性。第83頁第83頁平辦法求相同矩陣傳遞閉包從模糊相同矩陣R出發(fā),依次求平方:當(dāng)?shù)谝淮纬霈F(xiàn)Rk Rk =Rk時, Rk就是所求傳遞閉包t(R)第84頁第84頁比如:平辦法例第85頁第85頁第86頁第86頁平辦法例設(shè)求傳遞閉包t(R)通過i次求得nn階模糊相同矩陣

22、R傳遞閉包t(R)=R2i,必有2in,ilogn/log2,因此,最多計算log2n1次便可求t(R).第87頁第87頁例題: 綜合評判綜合評判是綜合決議內(nèi)容。下面以電腦評判為例來闡明如何評價。某同窗想購買一臺電腦,他關(guān)懷電腦下列幾種指標(biāo):“運算功效(數(shù)值、圖形等)”;“存儲容量(內(nèi)、外存)”;“運營速度(CPU、主板等)”;“外設(shè)配備(網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等)”;價格”。于是請同宿舍同窗一起去買電腦。為了數(shù)學(xué)處理簡樸,先令第88頁第88頁=“運算功效(數(shù)值、圖形等)”;=“存儲容量(內(nèi)、外存)”;=“運營速度(CPU、主板等)”;=“外設(shè)配備(網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等)”;=“價格”。稱原因集。例題: 綜合評判第89頁第89頁評語集其中=“很受歡迎”;=“較受歡迎”;=“不太受歡迎”;=“不受歡迎”;任選幾臺電腦,請同窗和購買者對各原因進(jìn)行評價。若對于運算功能 有20%人認(rèn)為是“很受歡迎”,50%人認(rèn)為“較受歡迎”,30%人認(rèn)為“不太受歡迎” ,沒有些人認(rèn)為“不受歡迎”,則 單原因評價向量為第90頁第90

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