線性代數(shù)-第1章 矩陣的初等變換與線性方程組課件

1、線 性 代 數(shù)1 線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系問(wèn)題。線性關(guān)系即數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是以一次形式來(lái)表達(dá)的。 例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個(gè)平面相交，由兩個(gè)三元一次方程所組成的方程組來(lái)表示。含有n個(gè)未知量的一次方程稱為線性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。2 線性代數(shù)作為獨(dú)立的分支直到20世紀(jì)才形成，然而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。 最古老的線性問(wèn)題是線性方程組的解法，在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)方程中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。 隨著

2、研究線性方程組和變量的線性變換問(wèn)題的深入，行列式和矩陣在1819世紀(jì)期間先后產(chǎn)生，為處理線性問(wèn)題提供了有力的工具，從而推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展。3 向量概念的引入，形成了向量空間的概念。線性問(wèn)題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣?yán)碚?，?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容。 線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支。比如，“以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)一個(gè)很自然的思想。許多經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域的大型線性問(wèn)題的計(jì)算使得線性代數(shù)成為應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一。4第一章解線性方程組的消元法與矩陣的初等變換1.3 解

3、線性方程組的的消元法1.2 矩陣及初等變換1.1 若干典型問(wèn)題5問(wèn)題：（1）如何判別（*）是否有解？若有解，解是否唯一？（2）如何解（*）？（3）當(dāng)（*）有無(wú)窮多解時(shí)，其解如何表示？（*）問(wèn)題2. 線性方程組的一般理論7 問(wèn)題3 航線連接問(wèn)題 四個(gè)城市間的單向航線如圖：1234可簡(jiǎn)單地用一個(gè)數(shù)表來(lái)表示：8 矩陣誕生于19世紀(jì)，晚于行列式約一百年。從表面上看，矩陣與行列式不過(guò)是一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言和書記符號(hào)；但是，正是這種“結(jié)構(gòu)好的語(yǔ)言的好處，它的簡(jiǎn)潔的記法常常是深?yuàn)W理論的源泉?！?P.S.Laplace) 進(jìn)入20世紀(jì)，線性代數(shù)的發(fā)展曾一度被認(rèn)為相當(dāng)成熟，作為研究課題已壽終正寢。隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，

4、各種快速算法相繼涌現(xiàn)，矩陣數(shù)值分析快速發(fā)展，矩陣?yán)碚撗芯窟M(jìn)入一個(gè)新的發(fā)展階段。2 矩陣及其初等變換10定義 為表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括號(hào)，并用大寫字母記之。11(1) 11的矩陣可以理解為一個(gè)數(shù)。 (2) 行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣 A，稱為 n 階方陣或 n 階矩陣。 (3) 只有一行的矩陣稱為行矩陣或 n 維行向量。稱為列矩陣或 m 維列向量。(4) 只有一列的矩陣12定義設(shè) ，如果(此時(shí)稱A與B是同型矩陣) 且則稱 A 與 B 相等，記作 A = B。問(wèn)： 與 相等嗎？14(3) 把矩陣的某一行乘上一個(gè)數(shù)加到另一行上， 稱矩陣的下面三種變換分別為第一、第二、第三種初等行變換(1)

5、 交換矩陣的某兩行，記為(2) 以不等于的數(shù)乘矩陣的某一行，記為記為類似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換定義15行最簡(jiǎn)階梯形矩陣（3）臺(tái)階左下方元素全為零；（1）每個(gè)臺(tái)階上只有一行；（2）每個(gè)臺(tái)階上第一個(gè)元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡(jiǎn)階梯形(1)(2)(3) + (4)臺(tái)階上的第一個(gè)元素為1,且其所在列其它元素全為零。17 只用初等行變換必能將矩陣化為行階梯形，從而再化為行最簡(jiǎn)形。行階梯形不唯一，行最簡(jiǎn)形唯一。書P6-定理1.1.1定理 例118化階梯形：從上到下，從左到右,化最簡(jiǎn)形：從下向上，從右到左。19練習(xí) 將下列矩陣用初等行變換化為階梯形矩陣,再化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣

6、20矩陣的初等行變換是可逆的,其逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同初等列變換也有類似的結(jié)果逆變換逆變換逆變換21如果 ,則稱 A 與 B 相抵(也稱等價(jià))定義矩陣的相抵關(guān)系是不是一個(gè)等價(jià)關(guān)系?(等價(jià)關(guān)系)在一個(gè)集合 S 中如果有一種關(guān)系 R 滿足 (1) 自反性：aRa; (2) 對(duì)稱性：aRb bRa; (3) 傳遞性：aRb, bRc aRc。則稱 R 為 S 的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。定義作業(yè) P7 3 4課后思考 P7 5 622（*）線性方程組記一. 線性方程組的矩陣形式24（*）（1）若，則稱（*）為非齊次線性方程組;（2）若，則稱（*）為齊次線性方程組.25引例 用加減消元法解方程組27282930例2求解非齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣用行變換化階梯形最后一行對(duì)應(yīng)的方程是：0 = 2 ,所以無(wú)解。31解方程組例3第一步:把增廣矩陣用行變換化階梯形,判斷是否有解;若有解,繼續(xù)化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。32第二步：寫出等價(jià)的(獨(dú)立的)方程組，保留第一個(gè)未知數(shù)在左邊其余的移到右邊，移到右邊的稱為自由變量。第三步：令自由變量為任意實(shí)數(shù)，寫出通解。再改寫為向量形式。令通解33思考 利用矩陣解線性非齊次方程組的步驟.祥見(jiàn)教材第12頁(yè).練習(xí) 解方程組34例4求解齊次線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換化為最簡(jiǎn)階梯形:35寫出