Lesson07 第17章 金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ) 2.4 材料本構(gòu)關(guān)系-材料班課件

1、2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 本構(gòu)關(guān)系（Constitutive Relations）：材料變形過程中應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。 這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為本構(gòu)方程，也叫物理方程。 塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和屈服準(zhǔn)則都是求解塑性變形問題的基本方程。1機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)2.4.3增量理論2.4.4全量理論2.4.5實(shí)驗(yàn)：繪制拉伸真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線定義 材料力學(xué)拉伸實(shí)驗(yàn)：低碳鋼試樣拉伸圖 所得應(yīng)力-應(yīng)變曲線為： 曲線。名義 曲線。觀察頸縮后的現(xiàn)象：試件直

2、徑在急速變細(xì)！ 定義： 得： 材料拉伸的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變（ ）曲線。 2機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1彈性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 這些式子表明， 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有如下特點(diǎn)： 1）應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。 2）彈性變形是可逆的，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是單值對應(yīng)的。 3）彈性變形時(shí)，應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比0.5。 4）應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合。3機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1彈性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 這些式子表明， 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有如下特點(diǎn)： 1）應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。 2）彈性變形是可逆的，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是單值對應(yīng)的。 3

3、）彈性變形時(shí)，應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比0.5。 4）應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合。4機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理演示2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1彈性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 這些式子表明， 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有如下特點(diǎn)： 1）應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。 2）彈性變形是可逆的，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是單值對應(yīng)的。 3）彈性變形時(shí)，應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比0.5。 4）應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合。5機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 第二次修正。 齊別爾修正： （16-6） ：頸縮處試樣外形的曲率半徑。7機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.

4、4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型 根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，把材料必須分類為： a）冪指數(shù)硬化曲線 b）剛塑性硬化曲線 c）剛塑性硬化直線 d）理想剛塑性水平直線真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線的簡化類型8機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型 根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，把材料必須分類為： （二）有初始屈服應(yīng)力的剛塑性硬化曲線型 當(dāng)有初始屈服應(yīng)力 時(shí)，其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線可表達(dá)為 式中 ，B1、m、 是與材料性能有關(guān)的參數(shù)。 由于與塑性變形相比，彈性變形很小，可忽略，如圖16-5b。所以，該形式為剛塑性硬化曲線型。 10機(jī)械工程系 張海

5、濤 塑性成形原理p347式16-102.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型 根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，把材料必須分類為： （三）有初始屈服應(yīng)力的剛塑性硬化直線型 為了簡化計(jì)算，可用直線代替硬化曲線，如圖16-5c，則為線性硬化形式，其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線表達(dá)式為 式中，B2 是強(qiáng)度系數(shù)。 11機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p348式16-112.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型 根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，把材料必須分類為： （四）無加工硬化的水平直線型 對于幾乎不產(chǎn)生加工硬化的材料，此時(shí)n=0，其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線是一水平直線，如圖16-5d，表達(dá)式為

6、 這是理想剛塑性材料模型。12機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p348式16-122.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型示例 鋁在不同溫度下的靜載壓縮時(shí)的真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線14機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型示例 低碳鋼在不同溫度下的靜載壓縮時(shí)的真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線15機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 定性地，彈性變形階段： 1. 應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合。 2. 彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史（加載過程）無關(guān)，即某瞬

7、間的物體形狀，尺寸只與該瞬時(shí)的外載有關(guān)，而與該瞬時(shí)之前各瞬間的載荷情況無關(guān)。 3. 彈性變形時(shí)，應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積的變化，泊松比 0.5 。 17機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 定量地，單向應(yīng)力狀態(tài)下線彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律。將其推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)下的各向同性材料，就是廣義虎克定律，即： 18機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p358式17-12.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 通過變換，我們可以得到： 此式表明，彈性變形時(shí)其單位體積變化率（ ）與平均應(yīng)力成正比，說明應(yīng)力球張量使

8、物體產(chǎn)生了彈性體積改變。（有一個(gè)例題?。?同樣，也可以得到： 此式表示應(yīng)變偏張量與應(yīng)力偏張量成正比，表明物體形狀的改變只是由應(yīng)力偏張量引起的。19機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p358式（17-2）p359式（17-4）2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 由式（17-2）和式（17-3），廣義虎克定律可寫成張量形式： 廣義虎克定律還可以寫成比例及差比的形式： 或： 20機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 這些式子表明， 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有如下特點(diǎn)： 1、應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合

9、。 2）彈性變形是可逆的，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是單值對應(yīng)的。 3）彈性變形時(shí)，應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比0.5。21機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 塑性變形階段： 1. 應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的，因此，全量應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸不一定重合。 如：單向拉伸時(shí)拉伸曲線已變?yōu)榍€關(guān)系。 2. 塑性變形時(shí)可以認(rèn)為體積不變，即應(yīng)變球張量為零，泊松比 0.5 。 忽略體積變形：22機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理 單向拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線示意圖24機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理 如圖2.37所示，若是理想塑性材料，則同一 可以對應(yīng)

10、任何應(yīng)變（圖中虛線），若是硬化材料，則由 加載到 ，對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)?，若由 卸載到 ，則應(yīng)變?yōu)?。 所以不是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 由于塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載路線或加載的歷史有關(guān)。 因此，離開加載路線來建立應(yīng)力與全量塑性應(yīng)變之間的普遍關(guān)系是不可能的，一般只能建立應(yīng)力與應(yīng)變增量之間的關(guān)系，僅在簡單加載下，才可以建立全量關(guān)系。 簡單加載：是指在加載過程中各應(yīng)力分量按同一比例增加，應(yīng)力主軸方向固定不變。25機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理1、列維-米塞斯（Levy-Mises）理論 Levy和Mises分別于1871和1913年建立了理想

11、塑性材料的流動理論，該理論建立在下面四個(gè)假設(shè)基礎(chǔ)上。 四個(gè)假設(shè)： 1）材料是理想剛塑性材料，即彈性應(yīng)變增量 為零。塑性應(yīng)變增量 就是總應(yīng)變增量 。 2）材料符合Mises屈服準(zhǔn)則，即 。 3）每一加載瞬時(shí)，應(yīng)力主軸與應(yīng)變增量主軸重合。 4）塑性變形時(shí)體積不變，即 所以塑性應(yīng)變增量偏張量就是應(yīng)變增量張量，即27機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理1、列維-米塞斯（Levy-Mises）理論 在上述假設(shè)前提下，得到應(yīng)變增量和應(yīng)力偏量成正比的結(jié)論，即： 稱為Levy-Mises方程。 式中, d 是瞬時(shí)的非負(fù)比例系數(shù)，在加載的不同瞬間是變化的，在卸載時(shí)d=0。 由于 ，所以也可以寫成比例形式和差比形式：

12、28機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式(17-6) 或 經(jīng)推導(dǎo)得出： 將式（17-10）代入式（17-7）中，Levy-Mises方程還可以寫成廣義表達(dá)式:29機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式（17-7）p361式（17-8）p361式（17-9）p361式（17-10） 特別說明： 1、 Levy-Mises方程僅適用于理想剛塑性材料，它只給出了應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系。由于 就不能確定，因而不能確定應(yīng)力球張量。因此，如果已知應(yīng)變增量，只能求得應(yīng)力偏量分量，一般不能求出應(yīng)力。 30機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式（17-11） 特別說明： 2、如果已知應(yīng)力分量

13、，因?yàn)?為常數(shù)， 是不定值，也只能求得應(yīng)變增量各分量之間的比值，而不能直接求出它們的數(shù)值。31機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式（17-11） 2、應(yīng)力-應(yīng)變速率方程 將式（17-6p361）兩邊除以時(shí)間，可得 ： 式中， 為應(yīng)變速率張量， 為等效應(yīng)變速率。 則有： 稱為應(yīng)力應(yīng)變速率方程， 它同樣可以寫成比例形式和廣義表達(dá)式。 式（17-12）由圣文南（B. Saint-Venant）于1870年提出，由于與牛頓粘性流體公式相似，故又稱為圣維南塑性流動方程。如果不考慮應(yīng)變速率對材料性能的影響，該式與列維-密塞斯方程是一致的。32機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p362式（17-12）3

14、、普朗特-勞斯（Prandtl-Reuss）理論 Prandtl-Reuss理論是在Levy-Mises理論基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮彈性變形部分而發(fā)展起來的。即總應(yīng)變增量的分量由彈、塑性兩部分組成，即 塑性應(yīng)變增量 ，由Mises理論確定， 彈性應(yīng)變增量 ，由式（17-5）微分可得 所以Prandtl-Reuss方程為： 33機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p362式（17-13）p362式（17-14）3、普朗特-勞斯（Prandtl-Reuss）理論 式（2.117）也可寫成： Prandtl-Reuss理論與Levy-Mises理論的基本假設(shè)是類似的，差別在于前者考慮了彈性變形而后者未考慮，實(shí)質(zhì)

15、上后者是前者的特殊情況。 增量理論著重指出了塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系，可解釋為它是建立起各瞬時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，而整個(gè)變形過程可以由各瞬時(shí)的變形累積而得。 因此增量理論能表達(dá)加載過程的歷史對變形的影響，能反映出復(fù)雜加載情況。 但上述理論僅適用于加載情況，卸載情況下需按虎克定律進(jìn)行計(jì)算。34機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p362式（17-15）2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.4全量理論一種小變形塑性狀態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 全量理論最早是由漢基（H. Hencky）于1924年提出。 在小變形的簡單加載過程中應(yīng)力主軸保持不變，由于各瞬時(shí)應(yīng)變增量主軸和應(yīng)力主軸重合，所以應(yīng)變主軸也將保持不變。

16、在這種情況下，對應(yīng)變增量積分便可得到全量應(yīng)變。 在這種情況下建立塑性變形的全量應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系稱為全量理論，亦稱為形變理論。 35機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理 1、如果假定是剛塑性材料，而且不考慮彈性變形，則可用全量應(yīng)變 代替Levy-Mises方程中的應(yīng)變增量，即 式中 ，上式也可以寫成比例形式和差比形式，進(jìn)一步寫成廣義表達(dá)式。諸如： 36機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p363式（17-16） 寫成廣義表達(dá)式為： 2、如果是彈塑性材料的小變形，則同時(shí)要考慮彈性變形。此時(shí)，Hencky方程為： 式（17-17）中第一式表示形狀變形，前一項(xiàng)是塑性應(yīng)變，后一項(xiàng)是彈性應(yīng)變。第二式表示彈性體

17、積變形。37機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p363式（17-17） 為了便于與廣義虎克定律式（17-4）進(jìn)行比較，令 為塑性切變模量， 使得： 則 在形式上與廣義胡克定律（17-4）便相同了。 且 38機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p363p363式（17-18） 例題： 試確定例兩端封閉的受內(nèi)壓 p 的薄壁圓筒，產(chǎn)生塑性變形時(shí)，圓筒的周向、徑向和軸向應(yīng)變的比例（設(shè)徑向應(yīng)力可以忽略，即按 求解）。39機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理解: 應(yīng)用材料力學(xué)可以求出圓筒的各應(yīng)力分量為：其平均應(yīng)力為：則應(yīng)力偏量的分量為： ， ，40機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理由列維-米塞斯方程（2.110）得：

18、所以有：，這是平面變形狀態(tài)。2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 習(xí)題：p327 1、2、3、 選作：4、5、641機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.5實(shí)驗(yàn)：繪制拉伸真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線42機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理金屬在冷塑性變形過程中，有加工硬化現(xiàn)象產(chǎn)生。這種硬化現(xiàn)象可用“硬化曲線”（即真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線）表示出來，如圖所示。1、 如何繪制拉伸真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線43機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理方法步驟如下： 求出屈服點(diǎn)s（一般略去彈性變形）： 式中：Fs 材料開始屈服時(shí)的載荷，由實(shí)驗(yàn)機(jī)載荷刻度盤上讀出； A 試樣原始橫截面面積。 找出均勻塑性變形階段各瞬間的真實(shí)應(yīng)力 S 和

19、對數(shù)應(yīng)變 ?，F(xiàn)：式中 F 各加載瞬間的載荷，由試驗(yàn)機(jī)載荷刻度盤上讀出； A 各加載瞬間的橫截面面積，由體積不變條件求出。 44機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理 式中 l 試樣標(biāo)距長度的瞬間伸長量，可由試驗(yàn)機(jī)上的標(biāo)尺上讀。所以有： 從屈服點(diǎn)開始到塑性失穩(wěn)點(diǎn)，即在均勻塑性變形階段，可找出幾個(gè)對應(yīng)點(diǎn)。塑性失穩(wěn)點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)钥捎蒙鲜龉角蟪?，但此時(shí)的載荷為最大載荷Fmax。 45機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理 縮頸開始后為集中塑性變形階段，由于此階段 A 不能由體積不變條件求出，所以，此階段要求出各瞬間的應(yīng)力及其對應(yīng)的對數(shù)應(yīng)變是很困難的。 因此，只能找出斷裂時(shí)的真實(shí)應(yīng)力及其對應(yīng)的對數(shù)應(yīng)變。 找出斷裂時(shí)的真實(shí)應(yīng)力 及其對應(yīng)的對數(shù)應(yīng)變式中： l k 試樣斷裂時(shí)的標(biāo)距總長度。 這樣，可在 S - 坐標(biāo)平面上確定出 S - 曲線。46機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理由于拉伸產(chǎn)生頸縮后，已不是單向應(yīng)力狀態(tài)，故必須加以改正。建議采用齊別爾的修正公式：式中 S 未修正時(shí)的真實(shí)應(yīng)力， Sk 修正后的真實(shí)應(yīng)力 dk C頸縮處斷面直徑。 頸縮處試棒外形的曲率半徑，見圖d圖4 討論： 在均勻塑性變形階段，真實(shí)應(yīng)力S 大于條件