Lesson07 第17章 金屬塑性變形的力學基礎 2.4 材料本構關系-材料班課件

1、2.4 材料本構關系 本構關系（Constitutive Relations）：材料變形過程中應力與應變之間的關系。 這種關系的數(shù)學表達式稱為本構方程，也叫物理方程。 塑性應力應變關系和屈服準則都是求解塑性變形問題的基本方程。1機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4.1材料真實應力-應變曲線 2.4.2彈性與塑性變形時應力應變關系的特點2.4.3增量理論2.4.4全量理論2.4.5實驗：繪制拉伸真實應力應變曲線2.4 材料本構關系 2.4.1材料真實應力-應變曲線 材料真實應力-應變曲線定義 材料力學拉伸實驗：低碳鋼試樣拉伸圖 所得應力-應變曲線為： 曲線。名義 曲線。觀察頸縮后的現(xiàn)象：試件直

2、徑在急速變細！ 定義： 得： 材料拉伸的真實應力-應變（ ）曲線。 2機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構關系 2.4.1彈性變形時應力應變關系的特點 這些式子表明， 彈性應力應變關系有如下特點： 1）應力與應變成線性關系。 2）彈性變形是可逆的，應力應變關系是單值對應的。 3）彈性變形時，應力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比0.5。 4）應力主軸與應變主軸重合。3機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構關系 2.4.1彈性變形時應力應變關系的特點 這些式子表明， 彈性應力應變關系有如下特點： 1）應力與應變成線性關系。 2）彈性變形是可逆的，應力應變關系是單值對應的。 3

3、）彈性變形時，應力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比0.5。 4）應力主軸與應變主軸重合。4機械工程系 張海濤 塑性成形原理演示2.4 材料本構關系 2.4.1彈性變形時應力應變關系的特點 這些式子表明， 彈性應力應變關系有如下特點： 1）應力與應變成線性關系。 2）彈性變形是可逆的，應力應變關系是單值對應的。 3）彈性變形時，應力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比0.5。 4）應力主軸與應變主軸重合。5機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構關系 2.4.1材料真實應力-應變曲線 第二次修正。 齊別爾修正： （16-6） ：頸縮處試樣外形的曲率半徑。7機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.

4、4 材料本構關系 2.4.1材料真實應力-應變曲線 材料模型 根據(jù)應力-應變關系，把材料必須分類為： a）冪指數(shù)硬化曲線 b）剛塑性硬化曲線 c）剛塑性硬化直線 d）理想剛塑性水平直線真實應力應變曲線的簡化類型8機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構關系 2.4.1材料真實應力-應變曲線 材料模型 根據(jù)應力-應變關系，把材料必須分類為： （二）有初始屈服應力的剛塑性硬化曲線型 當有初始屈服應力 時，其真實應力-應變曲線可表達為 式中 ，B1、m、 是與材料性能有關的參數(shù)。 由于與塑性變形相比，彈性變形很小，可忽略，如圖16-5b。所以，該形式為剛塑性硬化曲線型。 10機械工程系 張海

5、濤 塑性成形原理p347式16-102.4 材料本構關系 2.4.1材料真實應力-應變曲線 材料模型 根據(jù)應力-應變關系，把材料必須分類為： （三）有初始屈服應力的剛塑性硬化直線型 為了簡化計算，可用直線代替硬化曲線，如圖16-5c，則為線性硬化形式，其真實應力-應變曲線表達式為 式中，B2 是強度系數(shù)。 11機械工程系 張海濤 塑性成形原理p348式16-112.4 材料本構關系 2.4.1材料真實應力-應變曲線 材料模型 根據(jù)應力-應變關系，把材料必須分類為： （四）無加工硬化的水平直線型 對于幾乎不產(chǎn)生加工硬化的材料，此時n=0，其真實應力-應變曲線是一水平直線，如圖16-5d，表達式為

6、 這是理想剛塑性材料模型。12機械工程系 張海濤 塑性成形原理p348式16-122.4 材料本構關系 2.4.1材料真實應力-應變曲線 材料模型示例 鋁在不同溫度下的靜載壓縮時的真實應力應變曲線14機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構關系 2.4.1材料真實應力-應變曲線 材料模型示例 低碳鋼在不同溫度下的靜載壓縮時的真實應力應變曲線15機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構關系 2.4.2彈性與塑性變形時應力應變關系的特點 定性地，彈性變形階段： 1. 應力與應變完全成線性關系，即應力主軸與全量應變主軸重合。 2. 彈性變形是可逆的，與應變歷史（加載過程）無關，即某瞬

7、間的物體形狀，尺寸只與該瞬時的外載有關，而與該瞬時之前各瞬間的載荷情況無關。 3. 彈性變形時，應力球張量使物體產(chǎn)生體積的變化，泊松比 0.5 。 17機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構關系 2.4.2彈性與塑性變形時應力應變關系的特點 定量地，單向應力狀態(tài)下線彈性階段的應力應變關系服從虎克定律。將其推廣到一般應力狀態(tài)下的各向同性材料，就是廣義虎克定律，即： 18機械工程系 張海濤 塑性成形原理p358式17-12.4 材料本構關系 2.4.2彈性與塑性變形時應力應變關系的特點 通過變換，我們可以得到： 此式表明，彈性變形時其單位體積變化率（ ）與平均應力成正比，說明應力球張量使

8、物體產(chǎn)生了彈性體積改變。（有一個例題！） 同樣，也可以得到： 此式表示應變偏張量與應力偏張量成正比，表明物體形狀的改變只是由應力偏張量引起的。19機械工程系 張海濤 塑性成形原理p358式（17-2）p359式（17-4）2.4 材料本構關系 2.4.2彈性與塑性變形時應力應變關系的特點 由式（17-2）和式（17-3），廣義虎克定律可寫成張量形式： 廣義虎克定律還可以寫成比例及差比的形式： 或： 20機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構關系 2.4.2彈性與塑性變形時應力應變關系的特點 這些式子表明， 彈性應力應變關系有如下特點： 1、應力與應變成線性關系，應力主軸與應變主軸重合

9、。 2）彈性變形是可逆的，應力應變關系是單值對應的。 3）彈性變形時，應力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比0.5。21機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構關系 2.4.2彈性與塑性變形時應力應變關系的特點 塑性變形階段： 1. 應力與應變之間的關系是非線性的，因此，全量應變主軸與應力主軸不一定重合。 如：單向拉伸時拉伸曲線已變?yōu)榍€關系。 2. 塑性變形時可以認為體積不變，即應變球張量為零，泊松比 0.5 。 忽略體積變形：22機械工程系 張海濤 塑性成形原理 單向拉伸時的應力-應變曲線示意圖24機械工程系 張海濤 塑性成形原理 如圖2.37所示，若是理想塑性材料，則同一 可以對應

10、任何應變（圖中虛線），若是硬化材料，則由 加載到 ，對應的應變?yōu)?，若由 卸載到 ，則應變?yōu)?。 所以不是單值的一一對應關系。2.4 材料本構關系 2.4.2彈性與塑性變形時應力應變關系的特點 由于塑性應力應變關系與加載路線或加載的歷史有關。 因此，離開加載路線來建立應力與全量塑性應變之間的普遍關系是不可能的，一般只能建立應力與應變增量之間的關系，僅在簡單加載下，才可以建立全量關系。 簡單加載：是指在加載過程中各應力分量按同一比例增加，應力主軸方向固定不變。25機械工程系 張海濤 塑性成形原理1、列維-米塞斯（Levy-Mises）理論 Levy和Mises分別于1871和1913年建立了理想

11、塑性材料的流動理論，該理論建立在下面四個假設基礎上。 四個假設： 1）材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增量 為零。塑性應變增量 就是總應變增量 。 2）材料符合Mises屈服準則，即 。 3）每一加載瞬時，應力主軸與應變增量主軸重合。 4）塑性變形時體積不變，即 所以塑性應變增量偏張量就是應變增量張量，即27機械工程系 張海濤 塑性成形原理1、列維-米塞斯（Levy-Mises）理論 在上述假設前提下，得到應變增量和應力偏量成正比的結論，即： 稱為Levy-Mises方程。 式中, d 是瞬時的非負比例系數(shù)，在加載的不同瞬間是變化的，在卸載時d=0。 由于 ，所以也可以寫成比例形式和差比形式：

12、28機械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式(17-6) 或 經(jīng)推導得出： 將式（17-10）代入式（17-7）中，Levy-Mises方程還可以寫成廣義表達式:29機械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式（17-7）p361式（17-8）p361式（17-9）p361式（17-10） 特別說明： 1、 Levy-Mises方程僅適用于理想剛塑性材料，它只給出了應變增量與應力偏量之間的關系。由于 就不能確定，因而不能確定應力球張量。因此，如果已知應變增量，只能求得應力偏量分量，一般不能求出應力。 30機械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式（17-11） 特別說明： 2、如果已知應力分量

13、，因為 為常數(shù)， 是不定值，也只能求得應變增量各分量之間的比值，而不能直接求出它們的數(shù)值。31機械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式（17-11） 2、應力-應變速率方程 將式（17-6p361）兩邊除以時間，可得 ： 式中， 為應變速率張量， 為等效應變速率。 則有： 稱為應力應變速率方程， 它同樣可以寫成比例形式和廣義表達式。 式（17-12）由圣文南（B. Saint-Venant）于1870年提出，由于與牛頓粘性流體公式相似，故又稱為圣維南塑性流動方程。如果不考慮應變速率對材料性能的影響，該式與列維-密塞斯方程是一致的。32機械工程系 張海濤 塑性成形原理p362式（17-12）3

14、、普朗特-勞斯（Prandtl-Reuss）理論 Prandtl-Reuss理論是在Levy-Mises理論基礎上進一步考慮彈性變形部分而發(fā)展起來的。即總應變增量的分量由彈、塑性兩部分組成，即 塑性應變增量 ，由Mises理論確定， 彈性應變增量 ，由式（17-5）微分可得 所以Prandtl-Reuss方程為： 33機械工程系 張海濤 塑性成形原理p362式（17-13）p362式（17-14）3、普朗特-勞斯（Prandtl-Reuss）理論 式（2.117）也可寫成： Prandtl-Reuss理論與Levy-Mises理論的基本假設是類似的，差別在于前者考慮了彈性變形而后者未考慮，實質

15、上后者是前者的特殊情況。 增量理論著重指出了塑性應變增量與應力偏量之間的關系，可解釋為它是建立起各瞬時應力與應變的關系，而整個變形過程可以由各瞬時的變形累積而得。 因此增量理論能表達加載過程的歷史對變形的影響，能反映出復雜加載情況。 但上述理論僅適用于加載情況，卸載情況下需按虎克定律進行計算。34機械工程系 張海濤 塑性成形原理p362式（17-15）2.4 材料本構關系 2.4.4全量理論一種小變形塑性狀態(tài)的應力-應變關系 全量理論最早是由漢基（H. Hencky）于1924年提出。 在小變形的簡單加載過程中應力主軸保持不變，由于各瞬時應變增量主軸和應力主軸重合，所以應變主軸也將保持不變。

16、在這種情況下，對應變增量積分便可得到全量應變。 在這種情況下建立塑性變形的全量應變與應力之間的關系稱為全量理論，亦稱為形變理論。 35機械工程系 張海濤 塑性成形原理 1、如果假定是剛塑性材料，而且不考慮彈性變形，則可用全量應變 代替Levy-Mises方程中的應變增量，即 式中 ，上式也可以寫成比例形式和差比形式，進一步寫成廣義表達式。諸如： 36機械工程系 張海濤 塑性成形原理p363式（17-16） 寫成廣義表達式為： 2、如果是彈塑性材料的小變形，則同時要考慮彈性變形。此時，Hencky方程為： 式（17-17）中第一式表示形狀變形，前一項是塑性應變，后一項是彈性應變。第二式表示彈性體

17、積變形。37機械工程系 張海濤 塑性成形原理p363式（17-17） 為了便于與廣義虎克定律式（17-4）進行比較，令 為塑性切變模量， 使得： 則 在形式上與廣義胡克定律（17-4）便相同了。 且 38機械工程系 張海濤 塑性成形原理p363p363式（17-18） 例題： 試確定例兩端封閉的受內壓 p 的薄壁圓筒，產(chǎn)生塑性變形時，圓筒的周向、徑向和軸向應變的比例（設徑向應力可以忽略，即按 求解）。39機械工程系 張海濤 塑性成形原理解: 應用材料力學可以求出圓筒的各應力分量為：其平均應力為：則應力偏量的分量為： ， ，40機械工程系 張海濤 塑性成形原理由列維-米塞斯方程（2.110）得：

18、所以有：，這是平面變形狀態(tài)。2.4 材料本構關系 習題：p327 1、2、3、 選作：4、5、641機械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構關系 2.4.5實驗：繪制拉伸真實應力應變曲線42機械工程系 張海濤 塑性成形原理金屬在冷塑性變形過程中，有加工硬化現(xiàn)象產(chǎn)生。這種硬化現(xiàn)象可用“硬化曲線”（即真實應力-應變曲線）表示出來，如圖所示。1、 如何繪制拉伸真實應力應變曲線43機械工程系 張海濤 塑性成形原理方法步驟如下： 求出屈服點s（一般略去彈性變形）： 式中：Fs 材料開始屈服時的載荷，由實驗機載荷刻度盤上讀出； A 試樣原始橫截面面積。 找出均勻塑性變形階段各瞬間的真實應力 S 和

19、對數(shù)應變 ?，F(xiàn)：式中 F 各加載瞬間的載荷，由試驗機載荷刻度盤上讀出； A 各加載瞬間的橫截面面積，由體積不變條件求出。 44機械工程系 張海濤 塑性成形原理 式中 l 試樣標距長度的瞬間伸長量，可由試驗機上的標尺上讀。所以有： 從屈服點開始到塑性失穩(wěn)點，即在均勻塑性變形階段，可找出幾個對應點。塑性失穩(wěn)點的應力和應變仍可用上述公式求出，但此時的載荷為最大載荷Fmax。 45機械工程系 張海濤 塑性成形原理 縮頸開始后為集中塑性變形階段，由于此階段 A 不能由體積不變條件求出，所以，此階段要求出各瞬間的應力及其對應的對數(shù)應變是很困難的。 因此，只能找出斷裂時的真實應力及其對應的對數(shù)應變。 找出斷裂時的真實應力 及其對應的對數(shù)應變式中： l k 試樣斷裂時的標距總長度。 這樣，可在 S - 坐標平面上確定出 S - 曲線。46機械工程系 張海濤 塑性成形原理由于拉伸產(chǎn)生頸縮后，已不是單向應力狀態(tài)，故必須加以改正。建議采用齊別爾的修正公式：式中 S 未修正時的真實應力， Sk 修正后的真實應力 dk C頸縮處斷面直徑。 頸縮處試棒外形的曲率半徑，見圖d圖4 討論： 在均勻塑性變形階段，真實應力S 大于條件