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文檔簡介
1、2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 本構(gòu)關(guān)系(Constitutive Relations):材料變形過程中應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。 這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為本構(gòu)方程,也叫物理方程。 塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和屈服準(zhǔn)則都是求解塑性變形問題的基本方程。1機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)2.4.3增量理論2.4.4全量理論2.4.5實(shí)驗(yàn):繪制拉伸真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線定義 材料力學(xué)拉伸實(shí)驗(yàn):低碳鋼試樣拉伸圖 所得應(yīng)力-應(yīng)變曲線為: 曲線。名義 曲線。觀察頸縮后的現(xiàn)象:試件直
2、徑在急速變細(xì)! 定義: 得: 材料拉伸的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變( )曲線。 2機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1彈性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 這些式子表明, 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有如下特點(diǎn): 1)應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。 2)彈性變形是可逆的,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是單值對應(yīng)的。 3)彈性變形時(shí),應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積變化,泊松比0.5。 4)應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合。3機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1彈性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 這些式子表明, 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有如下特點(diǎn): 1)應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。 2)彈性變形是可逆的,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是單值對應(yīng)的。 3
3、)彈性變形時(shí),應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積變化,泊松比0.5。 4)應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合。4機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理演示2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1彈性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 這些式子表明, 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有如下特點(diǎn): 1)應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。 2)彈性變形是可逆的,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是單值對應(yīng)的。 3)彈性變形時(shí),應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積變化,泊松比0.5。 4)應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合。5機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 第二次修正。 齊別爾修正: (16-6) :頸縮處試樣外形的曲率半徑。7機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.
4、4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型 根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,把材料必須分類為: a)冪指數(shù)硬化曲線 b)剛塑性硬化曲線 c)剛塑性硬化直線 d)理想剛塑性水平直線真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線的簡化類型8機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型 根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,把材料必須分類為: (二)有初始屈服應(yīng)力的剛塑性硬化曲線型 當(dāng)有初始屈服應(yīng)力 時(shí),其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線可表達(dá)為 式中 ,B1、m、 是與材料性能有關(guān)的參數(shù)。 由于與塑性變形相比,彈性變形很小,可忽略,如圖16-5b。所以,該形式為剛塑性硬化曲線型。 10機(jī)械工程系 張海
5、濤 塑性成形原理p347式16-102.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型 根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,把材料必須分類為: (三)有初始屈服應(yīng)力的剛塑性硬化直線型 為了簡化計(jì)算,可用直線代替硬化曲線,如圖16-5c,則為線性硬化形式,其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線表達(dá)式為 式中,B2 是強(qiáng)度系數(shù)。 11機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p348式16-112.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型 根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,把材料必須分類為: (四)無加工硬化的水平直線型 對于幾乎不產(chǎn)生加工硬化的材料,此時(shí)n=0,其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線是一水平直線,如圖16-5d,表達(dá)式為
6、 這是理想剛塑性材料模型。12機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p348式16-122.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型示例 鋁在不同溫度下的靜載壓縮時(shí)的真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線14機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.1材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線 材料模型示例 低碳鋼在不同溫度下的靜載壓縮時(shí)的真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線15機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 定性地,彈性變形階段: 1. 應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系,即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合。 2. 彈性變形是可逆的,與應(yīng)變歷史(加載過程)無關(guān),即某瞬
7、間的物體形狀,尺寸只與該瞬時(shí)的外載有關(guān),而與該瞬時(shí)之前各瞬間的載荷情況無關(guān)。 3. 彈性變形時(shí),應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積的變化,泊松比 0.5 。 17機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 定量地,單向應(yīng)力狀態(tài)下線彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律。將其推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)下的各向同性材料,就是廣義虎克定律,即: 18機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p358式17-12.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 通過變換,我們可以得到: 此式表明,彈性變形時(shí)其單位體積變化率( )與平均應(yīng)力成正比,說明應(yīng)力球張量使
8、物體產(chǎn)生了彈性體積改變。(有一個(gè)例題?。?同樣,也可以得到: 此式表示應(yīng)變偏張量與應(yīng)力偏張量成正比,表明物體形狀的改變只是由應(yīng)力偏張量引起的。19機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p358式(17-2)p359式(17-4)2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 由式(17-2)和式(17-3),廣義虎克定律可寫成張量形式: 廣義虎克定律還可以寫成比例及差比的形式: 或: 20機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 這些式子表明, 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有如下特點(diǎn): 1、應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系,應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合
9、。 2)彈性變形是可逆的,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是單值對應(yīng)的。 3)彈性變形時(shí),應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積變化,泊松比0.5。21機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 塑性變形階段: 1. 應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的,因此,全量應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸不一定重合。 如:單向拉伸時(shí)拉伸曲線已變?yōu)榍€關(guān)系。 2. 塑性變形時(shí)可以認(rèn)為體積不變,即應(yīng)變球張量為零,泊松比 0.5 。 忽略體積變形:22機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理 單向拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線示意圖24機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理 如圖2.37所示,若是理想塑性材料,則同一 可以對應(yīng)
10、任何應(yīng)變(圖中虛線),若是硬化材料,則由 加載到 ,對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)?,若由 卸載到 ,則應(yīng)變?yōu)?。 所以不是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.2彈性與塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn) 由于塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載路線或加載的歷史有關(guān)。 因此,離開加載路線來建立應(yīng)力與全量塑性應(yīng)變之間的普遍關(guān)系是不可能的,一般只能建立應(yīng)力與應(yīng)變增量之間的關(guān)系,僅在簡單加載下,才可以建立全量關(guān)系。 簡單加載:是指在加載過程中各應(yīng)力分量按同一比例增加,應(yīng)力主軸方向固定不變。25機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理1、列維-米塞斯(Levy-Mises)理論 Levy和Mises分別于1871和1913年建立了理想
11、塑性材料的流動理論,該理論建立在下面四個(gè)假設(shè)基礎(chǔ)上。 四個(gè)假設(shè): 1)材料是理想剛塑性材料,即彈性應(yīng)變增量 為零。塑性應(yīng)變增量 就是總應(yīng)變增量 。 2)材料符合Mises屈服準(zhǔn)則,即 。 3)每一加載瞬時(shí),應(yīng)力主軸與應(yīng)變增量主軸重合。 4)塑性變形時(shí)體積不變,即 所以塑性應(yīng)變增量偏張量就是應(yīng)變增量張量,即27機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理1、列維-米塞斯(Levy-Mises)理論 在上述假設(shè)前提下,得到應(yīng)變增量和應(yīng)力偏量成正比的結(jié)論,即: 稱為Levy-Mises方程。 式中, d 是瞬時(shí)的非負(fù)比例系數(shù),在加載的不同瞬間是變化的,在卸載時(shí)d=0。 由于 ,所以也可以寫成比例形式和差比形式:
12、28機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式(17-6) 或 經(jīng)推導(dǎo)得出: 將式(17-10)代入式(17-7)中,Levy-Mises方程還可以寫成廣義表達(dá)式:29機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式(17-7)p361式(17-8)p361式(17-9)p361式(17-10) 特別說明: 1、 Levy-Mises方程僅適用于理想剛塑性材料,它只給出了應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系。由于 就不能確定,因而不能確定應(yīng)力球張量。因此,如果已知應(yīng)變增量,只能求得應(yīng)力偏量分量,一般不能求出應(yīng)力。 30機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式(17-11) 特別說明: 2、如果已知應(yīng)力分量
13、,因?yàn)?為常數(shù), 是不定值,也只能求得應(yīng)變增量各分量之間的比值,而不能直接求出它們的數(shù)值。31機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p361式(17-11) 2、應(yīng)力-應(yīng)變速率方程 將式(17-6p361)兩邊除以時(shí)間,可得 : 式中, 為應(yīng)變速率張量, 為等效應(yīng)變速率。 則有: 稱為應(yīng)力應(yīng)變速率方程, 它同樣可以寫成比例形式和廣義表達(dá)式。 式(17-12)由圣文南(B. Saint-Venant)于1870年提出,由于與牛頓粘性流體公式相似,故又稱為圣維南塑性流動方程。如果不考慮應(yīng)變速率對材料性能的影響,該式與列維-密塞斯方程是一致的。32機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p362式(17-12)3
14、、普朗特-勞斯(Prandtl-Reuss)理論 Prandtl-Reuss理論是在Levy-Mises理論基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮彈性變形部分而發(fā)展起來的。即總應(yīng)變增量的分量由彈、塑性兩部分組成,即 塑性應(yīng)變增量 ,由Mises理論確定, 彈性應(yīng)變增量 ,由式(17-5)微分可得 所以Prandtl-Reuss方程為: 33機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p362式(17-13)p362式(17-14)3、普朗特-勞斯(Prandtl-Reuss)理論 式(2.117)也可寫成: Prandtl-Reuss理論與Levy-Mises理論的基本假設(shè)是類似的,差別在于前者考慮了彈性變形而后者未考慮,實(shí)質(zhì)
15、上后者是前者的特殊情況。 增量理論著重指出了塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系,可解釋為它是建立起各瞬時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,而整個(gè)變形過程可以由各瞬時(shí)的變形累積而得。 因此增量理論能表達(dá)加載過程的歷史對變形的影響,能反映出復(fù)雜加載情況。 但上述理論僅適用于加載情況,卸載情況下需按虎克定律進(jìn)行計(jì)算。34機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p362式(17-15)2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.4全量理論一種小變形塑性狀態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 全量理論最早是由漢基(H. Hencky)于1924年提出。 在小變形的簡單加載過程中應(yīng)力主軸保持不變,由于各瞬時(shí)應(yīng)變增量主軸和應(yīng)力主軸重合,所以應(yīng)變主軸也將保持不變。
16、在這種情況下,對應(yīng)變增量積分便可得到全量應(yīng)變。 在這種情況下建立塑性變形的全量應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系稱為全量理論,亦稱為形變理論。 35機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理 1、如果假定是剛塑性材料,而且不考慮彈性變形,則可用全量應(yīng)變 代替Levy-Mises方程中的應(yīng)變增量,即 式中 ,上式也可以寫成比例形式和差比形式,進(jìn)一步寫成廣義表達(dá)式。諸如: 36機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p363式(17-16) 寫成廣義表達(dá)式為: 2、如果是彈塑性材料的小變形,則同時(shí)要考慮彈性變形。此時(shí),Hencky方程為: 式(17-17)中第一式表示形狀變形,前一項(xiàng)是塑性應(yīng)變,后一項(xiàng)是彈性應(yīng)變。第二式表示彈性體
17、積變形。37機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p363式(17-17) 為了便于與廣義虎克定律式(17-4)進(jìn)行比較,令 為塑性切變模量, 使得: 則 在形式上與廣義胡克定律(17-4)便相同了。 且 38機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理p363p363式(17-18) 例題: 試確定例兩端封閉的受內(nèi)壓 p 的薄壁圓筒,產(chǎn)生塑性變形時(shí),圓筒的周向、徑向和軸向應(yīng)變的比例(設(shè)徑向應(yīng)力可以忽略,即按 求解)。39機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理解: 應(yīng)用材料力學(xué)可以求出圓筒的各應(yīng)力分量為:其平均應(yīng)力為:則應(yīng)力偏量的分量為: , ,40機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理由列維-米塞斯方程(2.110)得:
18、所以有:,這是平面變形狀態(tài)。2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 習(xí)題:p327 1、2、3、 選作:4、5、641機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理2.4 材料本構(gòu)關(guān)系 2.4.5實(shí)驗(yàn):繪制拉伸真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線42機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理金屬在冷塑性變形過程中,有加工硬化現(xiàn)象產(chǎn)生。這種硬化現(xiàn)象可用“硬化曲線”(即真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線)表示出來,如圖所示。1、 如何繪制拉伸真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線43機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理方法步驟如下: 求出屈服點(diǎn)s(一般略去彈性變形): 式中:Fs 材料開始屈服時(shí)的載荷,由實(shí)驗(yàn)機(jī)載荷刻度盤上讀出; A 試樣原始橫截面面積。 找出均勻塑性變形階段各瞬間的真實(shí)應(yīng)力 S 和
19、對數(shù)應(yīng)變 ?,F(xiàn):式中 F 各加載瞬間的載荷,由試驗(yàn)機(jī)載荷刻度盤上讀出; A 各加載瞬間的橫截面面積,由體積不變條件求出。 44機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理 式中 l 試樣標(biāo)距長度的瞬間伸長量,可由試驗(yàn)機(jī)上的標(biāo)尺上讀。所以有: 從屈服點(diǎn)開始到塑性失穩(wěn)點(diǎn),即在均勻塑性變形階段,可找出幾個(gè)對應(yīng)點(diǎn)。塑性失穩(wěn)點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)钥捎蒙鲜龉角蟪?,但此時(shí)的載荷為最大載荷Fmax。 45機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理 縮頸開始后為集中塑性變形階段,由于此階段 A 不能由體積不變條件求出,所以,此階段要求出各瞬間的應(yīng)力及其對應(yīng)的對數(shù)應(yīng)變是很困難的。 因此,只能找出斷裂時(shí)的真實(shí)應(yīng)力及其對應(yīng)的對數(shù)應(yīng)變。 找出斷裂時(shí)的真實(shí)應(yīng)力 及其對應(yīng)的對數(shù)應(yīng)變式中: l k 試樣斷裂時(shí)的標(biāo)距總長度。 這樣,可在 S - 坐標(biāo)平面上確定出 S - 曲線。46機(jī)械工程系 張海濤 塑性成形原理由于拉伸產(chǎn)生頸縮后,已不是單向應(yīng)力狀態(tài),故必須加以改正。建議采用齊別爾的修正公式:式中 S 未修正時(shí)的真實(shí)應(yīng)力, Sk 修正后的真實(shí)應(yīng)力 dk C頸縮處斷面直徑。 頸縮處試棒外形的曲率半徑,見圖d圖4 討論: 在均勻塑性變形階段,真實(shí)應(yīng)力S 大于條件
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