2016年“迎春杯”數(shù)學(xué)奧數(shù)決賽試卷（小高組a卷）

1、 PAGE PAGE 142016年“迎春杯”數(shù)學(xué)花園探秘決賽試卷（小高組A卷）一、填空題（共5小題,每小題8分,滿分40分）1（8分）算式的計(jì)算結(jié)果是 2（8分）銷售一種商品,利潤(rùn)率為25%,如果想把利潤(rùn)率提高到40%,那么售價(jià)應(yīng)該提高 %3（8分）小明發(fā)現(xiàn)今年的年份2016是一個(gè)非常好的數(shù),它既是6的倍數(shù),又是8的倍數(shù),還是9的倍數(shù),那么下一個(gè)既是6的倍數(shù),又是8的倍數(shù),還是9的倍數(shù)的年份是 年4（8分）在電影大圣歸來(lái)中,有一幕孫悟空大戰(zhàn)山妖,有部分山妖被打倒,打倒的比站著的多三分之一;過(guò)了一會(huì)了再有2個(gè)山妖打倒,但是又站起來(lái)了10個(gè)山妖,此時(shí)站著的比打倒的多四分之一,那么現(xiàn)在站著的山妖有

2、 個(gè)5（8分）在空格內(nèi)填入16,使得每行和每列的數(shù)字都不重復(fù)圖中相同符號(hào)所占的兩格數(shù)字組合相同,數(shù)字順序不確定,那么最后一行前五個(gè)數(shù)字按從左到右的順序組成的五位數(shù)是 二、填空題（共5小題,每小題10分,滿分50分）6（10分）請(qǐng)將09分別填入下面算式的方框中,每個(gè)數(shù)字恰用一次,或已將“1”、“3”、“0”填入,若等式成立,那么等式中唯一的四位被減數(shù)是 7（10分）2016名同學(xué)排成一排,從左到右依次按照1,2,n報(bào)數(shù)（n2）,若第2016名同學(xué)所報(bào)的數(shù)恰是n,則給這輪中所有報(bào)n的同學(xué)發(fā)放一件新年禮物那么無(wú)論n取何值,有 名同學(xué)將不可能得到新年禮物8（10分）如圖,正十二邊形的面積是2016平方

3、厘米,那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米9（10分）四位數(shù)除以兩位數(shù)的余數(shù)恰好為,如果不同的漢字表示不同的數(shù)字且和不互質(zhì),那么四位數(shù)最大是 10（10分）老師用0至9這十個(gè)數(shù)字組成五個(gè)兩位數(shù),每個(gè)數(shù)字恰用一次;然后將這五個(gè)兩位數(shù)分別給了A、B、C、D、E這五名聰明且誠(chéng)實(shí)的同學(xué),每名同學(xué)只能看見(jiàn)自己的兩位數(shù),并依次發(fā)生如下對(duì)話：A說(shuō)：“我的數(shù)最小,而且是個(gè)質(zhì)數(shù)”B說(shuō)：“我的數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)”C說(shuō)：“我的數(shù)第二小,恰有6個(gè)因數(shù)”D說(shuō)：“我的數(shù)不是最大的,我已經(jīng)知道A、B、C三人手中的其中兩個(gè)數(shù)是多少了”E說(shuō)：“我的數(shù)是某人的數(shù)的3倍”那么這五個(gè)兩位數(shù)之和是 三、填空題（共4小題,每小題12分,滿

4、分48分）11（12分）如圖,直角三角形ABC中,AB的長(zhǎng)度是12厘米,AC的長(zhǎng)度是24厘米,D、E分別在AC、BC上,那么等腰直角三角形BDE的面積是 平方厘米12（12分）已知S+,那么S的小數(shù)點(diǎn)后第2016位是 13（12分）A、B兩地間每隔5分鐘有一輛班車發(fā)出,勻速對(duì)開(kāi),且所有班車的速度都相同;甲、乙兩人同時(shí)從A、B兩地出發(fā),相向勻速而行;甲、乙出發(fā)后5分鐘,兩地同時(shí)開(kāi)出第一輛班車;甲乙相遇時(shí),甲被A地開(kāi)出的第9輛班車追上,乙也恰被B地開(kāi)出的第6輛班車追上;乙到A地時(shí),恰被B地開(kāi)出的第8輛班車追上,而此時(shí)甲離B地還有21千米那么乙的速度是每小時(shí) 千米14（12分）將一個(gè)固定好的正方形分

5、割成3個(gè)等腰三角形,有如圖的4種不同方式：如果將一個(gè)固定好的正方形分割成4個(gè)等腰三角形,那么共有 種不同方式2016年“迎春杯”數(shù)學(xué)花園探秘決賽試卷（小高組A卷）參考答案與試題解析一、填空題（共5小題,每小題8分,滿分40分）1（8分）算式的計(jì)算結(jié)果是2017【解答】解：2016（1+）2017;故答案為：20172（8分）銷售一種商品,利潤(rùn)率為25%,如果想把利潤(rùn)率提高到40%,那么售價(jià)應(yīng)該提高12%【解答】解：1+25%125%1+40%140%（140%125%）125%15%125%12%答：售價(jià)應(yīng)該提高 12%故答案為：123（8分）小明發(fā)現(xiàn)今年的年份2016是一個(gè)非常好的數(shù),它既是

6、6的倍數(shù),又是8的倍數(shù),還是9的倍數(shù),那么下一個(gè)既是6的倍數(shù),又是8的倍數(shù),還是9的倍數(shù)的年份是2088年【解答】解：依題意可知：6,8,9的最小公倍數(shù)為：833722016后的下一個(gè)數(shù)字就是2016+722088故答案為：20884（8分）在電影大圣歸來(lái)中,有一幕孫悟空大戰(zhàn)山妖,有部分山妖被打倒,打倒的比站著的多三分之一;過(guò)了一會(huì)了再有2個(gè)山妖打倒,但是又站起來(lái)了10個(gè)山妖,此時(shí)站著的比打倒的多四分之一,那么現(xiàn)在站著的山妖有35個(gè)【解答】解：根據(jù)分析,一開(kāi)始打倒的比站著的多,所以打倒的占總山妖的,過(guò)一會(huì)兒,站著的比打倒的多,打倒的占總山妖的;這中間打倒的數(shù)量減少了8個(gè),一共有山妖：8（）63

7、;此時(shí),站著的山妖有：6335個(gè)故答案是：355（8分）在空格內(nèi)填入16,使得每行和每列的數(shù)字都不重復(fù)圖中相同符號(hào)所占的兩格數(shù)字組合相同,數(shù)字順序不確定,那么最后一行前五個(gè)數(shù)字按從左到右的順序組成的五位數(shù)是46123【解答】解：依題意可知：首先是第二行第二列的數(shù)字只能是5,第三行第四列只能是6繼續(xù)推理可知答案如圖所示：故答案為：46123二、填空題（共5小題,每小題10分,滿分50分）6（10分）請(qǐng)將09分別填入下面算式的方框中,每個(gè)數(shù)字恰用一次,或已將“1”、“3”、“0”填入,若等式成立,那么等式中唯一的四位被減數(shù)是2196【解答】解：依題意可知：設(shè)字母如圖所示首先這個(gè)四位數(shù)的千位如果A3

8、,則不可能減完以后得2016所有A2其次后面的兩個(gè)數(shù)的乘積為整數(shù),是100的倍數(shù)所以這兩個(gè)乘數(shù)一個(gè)是4的倍數(shù)一個(gè)是25的倍數(shù)所有必有一個(gè)數(shù)是以75結(jié)尾的如果75則與的積大于200等式不可能成立當(dāng)375,如果60,同樣的道理等式不成立,所有是小于60的4的倍數(shù),剩下的數(shù)（4,6,8,9）中,只能是48滿足要求所有所有這個(gè)四位數(shù)是2016+3750.482196原式是21963750.482016故答案為：21967（10分）2016名同學(xué)排成一排,從左到右依次按照1,2,n報(bào)數(shù)（n2）,若第2016名同學(xué)所報(bào)的數(shù)恰是n,則給這輪中所有報(bào)n的同學(xué)發(fā)放一件新年禮物那么無(wú)論n取何值,有576名同學(xué)將不

9、可能得到新年禮物【解答】解：首先從左到右這2016名同學(xué)編號(hào)為12016如果某個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)是n,則說(shuō)明這個(gè)同學(xué)的編號(hào)恰好是n的倍數(shù),所以n的倍數(shù)的同學(xué)都是n的倍數(shù),那么n一定能被2016整除,對(duì)2016分解質(zhì)因數(shù)201625327那么與2016互質(zhì)的數(shù)字是永遠(yuǎn)不可能得到禮物的互質(zhì)的個(gè)數(shù)有2016576（個(gè)）故答案為：5768（10分）如圖,正十二邊形的面積是2016平方厘米,那么圖中陰影部分的面積是672平方厘米【解答】解：根據(jù)分析,如圖,首先將陰影部分等積變形成下圖形狀,并設(shè)正三角形面積為a,四邊形面積為b,整個(gè)正十二邊形是由12個(gè)a這樣的正三角形和6個(gè)b這樣的四邊形組成,而陰影部分是由4個(gè)

10、a這樣的正三角形和2個(gè)b這樣的四邊形組成,恰好是整個(gè)正十二邊形的,故陰影部分面積2016672平方厘米故答案是：6729（10分）四位數(shù)除以兩位數(shù)的余數(shù)恰好為,如果不同的漢字表示不同的數(shù)字且和不互質(zhì),那么四位數(shù)最大是7281【解答】解：依題意可知：除以兩位的余數(shù)恰好為,則除以余數(shù)也是所以+,即N由余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系可知,設(shè),的公因數(shù)為d則有（）99（d）N因?yàn)榕c互質(zhì),那么就是99的約數(shù)所以的結(jié)果為9（11,1和99,33和3都不符合題意）為了使最大,9d,當(dāng)d9時(shí)取最大值7281故答案為：728110（10分）老師用0至9這十個(gè)數(shù)字組成五個(gè)兩位數(shù),每個(gè)數(shù)字恰用一次;然后將這五個(gè)兩位數(shù)分別給了A、

11、B、C、D、E這五名聰明且誠(chéng)實(shí)的同學(xué),每名同學(xué)只能看見(jiàn)自己的兩位數(shù),并依次發(fā)生如下對(duì)話：A說(shuō)：“我的數(shù)最小,而且是個(gè)質(zhì)數(shù)”B說(shuō)：“我的數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)”C說(shuō)：“我的數(shù)第二小,恰有6個(gè)因數(shù)”D說(shuō)：“我的數(shù)不是最大的,我已經(jīng)知道A、B、C三人手中的其中兩個(gè)數(shù)是多少了”E說(shuō)：“我的數(shù)是某人的數(shù)的3倍”那么這五個(gè)兩位數(shù)之和是180【解答】解：A能判斷出自己的數(shù)最小,說(shuō)明A的十位是1,又因?yàn)槭且粋€(gè)質(zhì)數(shù),所以A可能是13,17,19;C能判定自己的數(shù)第二小,且有6個(gè)因數(shù),所以可能是20,28,32;B是一個(gè)完全平方數(shù),但不能含有1、2,所以B的數(shù)可能是36,49,64;D又能剛好知道A,B,C三人中的其

12、中兩個(gè)數(shù),經(jīng)實(shí)驗(yàn),D36,37,39,40,47,48,49時(shí),可以推斷出A,B,C三人中的其中兩個(gè)數(shù),如下：發(fā)現(xiàn)無(wú)論哪種情況,5均沒(méi)有出現(xiàn),所以E中一定有一個(gè)數(shù)字5;E說(shuō)自己的數(shù)字是某個(gè)人的數(shù)的三倍,與5組合能構(gòu)成3的倍數(shù)的數(shù)只有7還沒(méi)有被用到,所以E的數(shù)只能是57或75,顯然75325沒(méi)有在上表中出現(xiàn)過(guò),所以E的數(shù)是57,則ABCDE這5個(gè)人手中的數(shù)有以下兩種可能：19,36,28,40,57或者19,36,20,48,57,19+36+28+40+5718019+36+20+48+57180答：這五個(gè)兩位數(shù)之和是 180故答案為：180三、填空題（共4小題,每小題12分,滿分48分）11

13、（12分）如圖,直角三角形ABC中,AB的長(zhǎng)度是12厘米,AC的長(zhǎng)度是24厘米,D、E分別在AC、BC上,那么等腰直角三角形BDE的面積是80平方厘米【解答】解：根據(jù)分析,如圖,作DFBC交BC于F,在等腰直角三角形BDE里,很顯然FBFDFE,在ABC中,在ABAC的情況下,AB：AC1：2,同樣的道理,DFFC,所以DF：FC1：2,又DFFE,DFEC,即FDFBFEEC,BE,故,所以,陰影部分的面積S（平方厘米）故答案是：8012（12分）已知S+,那么S的小數(shù)點(diǎn)后第2016位是4【解答】解：根據(jù)分析,S+0.+;,小數(shù)點(diǎn)后第n,2n,3n位都是1,當(dāng)n是2016的約數(shù)時(shí),小數(shù)點(diǎn)后第

14、2016位是1,其它情況小數(shù)點(diǎn)的2016位是0,201625327,有（5+1）（2+1）（1+1）36個(gè)約數(shù),而大于1000的約數(shù)有兩個(gè)：1008、2016,不大于1000的約數(shù)有：36234個(gè);在不考慮進(jìn)位的情況下,這一位上有34個(gè)1相加,這一位的數(shù)字是4下面考慮進(jìn)位,第2017位：2017是質(zhì)數(shù)2017位上只有1個(gè)1相加,不構(gòu)成進(jìn)位;第2018位：201821009,有4個(gè)約數(shù),所以2018位上有2個(gè)1累加,也不構(gòu)成進(jìn)位;第2019位及以后都不足以進(jìn)位到第2016位上;綜上所述,S小數(shù)點(diǎn)后第2016位是4故答案是：413（12分）A、B兩地間每隔5分鐘有一輛班車發(fā)出,勻速對(duì)開(kāi),且所有班車

15、的速度都相同;甲、乙兩人同時(shí)從A、B兩地出發(fā),相向勻速而行;甲、乙出發(fā)后5分鐘,兩地同時(shí)開(kāi)出第一輛班車;甲乙相遇時(shí),甲被A地開(kāi)出的第9輛班車追上,乙也恰被B地開(kāi)出的第6輛班車追上;乙到A地時(shí),恰被B地開(kāi)出的第8輛班車追上,而此時(shí)甲離B地還有21千米那么乙的速度是每小時(shí)27千米【解答】解：依題意可知：設(shè)甲乙在C點(diǎn)相遇,由于班車的速度一定,所以從某一輛車追上甲（乙）到下一輛車追上甲（乙）的時(shí)間是相等的先考慮乙B到C（相遇點(diǎn)）,乙被6輛車追上,從C到A又被2輛車追上,說(shuō)B到C的時(shí)間是A到C的時(shí)間的3倍所以BC3AC又因?yàn)镃是相遇點(diǎn),所以乙的速度是甲的速度的3倍所以當(dāng)乙走完全程時(shí),甲走完全程的此時(shí)甲距離B還有21千米,所以全程的路程是21（1）千米當(dāng)甲乙相遇時(shí),甲被9輛車追上,乙被6輛車追上,追上乙的那輛車比追上甲的那輛車早出發(fā)了15分鐘即小時(shí)因?yàn)閮绍囅嘤鍪侨痰乃牡确贮c(diǎn),所以追