D9-4重積分的應用課件

1、第四節(jié)一、立體體積 二、曲面的面積 三、物體的重心 四、物體的轉(zhuǎn)動慣量 五、物體的質(zhì)量 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 重積分的應用 第九章 1. 能用重積分解決的實際問題的特點所求量是 對區(qū)域具有可加性 從重積分定義出發(fā)建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點 畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為 占有空間有界域 的立體的體積為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 任一點的切平面與曲面所圍立體的體積 V . 解: 曲

2、面的切平面方程為它與曲面的交線在 xoy 面上的投影為(記所圍域為D )在點例1. 求曲面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解: 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *解法2利用三重積分換元法. 令則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素)則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有且機動 目錄 上頁 下頁 返回

3、 結(jié)束 例4. 計算雙曲拋物面被柱面所截解: 曲面在 xoy 面上投影為則出的面積 A .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 計算半徑為 a 的球的表面積.解:設(shè)球面方程為 球面面積元素為方法2 利用直角坐標方程. 方法1 利用球坐標方程.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的重心坐標就近似該物體的重心坐標.的質(zhì)點,即得此質(zhì)點在第 k 塊上任取一點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同理可得則得形心坐標：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例6. 求位于兩圓和的重心. 解: 利用對稱性可知而之間均勻薄片機動 目

4、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例7. 一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線的方程為內(nèi)儲有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解: 利用對稱性可知重心在 z 軸上，采用柱坐標, 則爐壁方程為因此故自重, 求它的重心.若爐不計爐體的其坐標為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x , y , z) 處的微元 因此物體 對 z 軸 的轉(zhuǎn)動慣量:對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似可得:對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,則球體的質(zhì)量例9.求均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)球 所占域為(用球坐標) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、物體的質(zhì)量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 提示:1、記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為 S ,則(用極坐標) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由題意知令得(小時)因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時間為100小時.機動 目