數(shù)學(xué)模型層次分析法的基本步驟市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、 層次分析法建模 人們在日常生活中經(jīng)常碰到許多決議問題：買一件襯衫，你要在棉、絲、滌綸及花、白、方格之中作出選擇；請朋友吃飯，要策劃是辦家宴或去飯店，是吃中餐還是西餐或自助餐；假期旅游，是去風(fēng)光綺麗蘇杭，還是去迷人北戴河海濱，或者去山水甲天下桂林。假如認(rèn)為這些日常小事無須作決議問題認(rèn)真對待話，那么當(dāng)你面對報(bào)考學(xué)校，挑選專業(yè)，或者選擇工作崗位時(shí)候，就要慎重考慮、重復(fù)比較，盡也許地作出滿意得決議了。1第1頁第1頁 從事各種職業(yè)人也經(jīng)常面對抉擇：一個(gè)廠長要決定購買哪種設(shè)備，上馬什么產(chǎn)品；科技人員要選擇研究課題；醫(yī)生要為疑難病癥擬定治療方案；經(jīng)理要從若干應(yīng)試者中選拔秘書；各地域各部門官員則要對人口、交

2、通、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等領(lǐng)域發(fā)展規(guī)劃作出決議。 人們在處理上面這些決議問題時(shí)候，要考慮原因有多有少，有大有小，但是一個(gè)共同特點(diǎn)是他們通常涉及到經(jīng)濟(jì)、社會、人文等方面原因。再做比較、判斷、評價(jià)、決議時(shí)，這些原因主要性、影響力或者優(yōu)先程度往往難以量化，2第2頁第2頁人主觀選擇（當(dāng)然要依據(jù)客觀實(shí)際）會起著相稱主要作用，這就給普通數(shù)學(xué)辦法處理問題帶來本質(zhì)上困難。 T.L.Saaty等人在七十年代提出了一個(gè)能有效地處理這樣一類問題實(shí)用辦法，稱層次分析法（Analytic Hierarchy Process,簡記AHP).這是一個(gè)定性和定量相結(jié)合、系統(tǒng)化、層次化分析辦法。過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機(jī)理分析和統(tǒng)計(jì)

3、分析兩種辦法，起著用典型數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，共過大量觀測數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律，近年來發(fā)展系統(tǒng)分析又是一個(gè)辦法，而層次分析法就是系統(tǒng)分析數(shù)學(xué)工具之一。3第3頁第3頁 下面先簡介層次分析法基本環(huán)節(jié)和應(yīng)用實(shí)例，再討論該辦法在理論、計(jì)算以及建模等方面若干問題。4第4頁第4頁層次分析法基本環(huán)節(jié) 層次分析法基本思緒與人對一個(gè)復(fù)雜決議問題思維、判斷過程大體上是同樣。不妨用前面提到假期旅游為例，假如有P1、P2、P33個(gè)旅游勝地供你選擇，你會依據(jù)諸如景色、費(fèi)用和居住、飲食、旅途條件等一些準(zhǔn)則去重復(fù)比較那3個(gè)候選地點(diǎn)。首先，你會擬定這些準(zhǔn)則在你心目中各占多大比重，假如你經(jīng)濟(jì)寬裕、醉心旅游

4、，自然尤其看重景色條件，而平素樸素或手頭拮據(jù)人則會優(yōu)先考慮費(fèi)用，中老年旅游者還會對居住、飲食等條件寄以較大關(guān)注。5第5頁第5頁 另一方面，你會就每一個(gè)準(zhǔn)則將3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行對比，譬如P1景色最好，P2次之；P2費(fèi)用最低，P3次之；P3居住等條件比較好等等。最后，你要將這兩個(gè)比較判斷進(jìn)行綜合，在P1、P2、P3中擬定哪個(gè)作為最佳地點(diǎn)。 上面思維過程能夠加工整理成為下幾種環(huán)節(jié)： 1、講決議問題分解為3個(gè)層次、最上層為目的層，即選擇旅游地，最下層為方案層，有P1、P2、P33個(gè)供選擇地點(diǎn)，中間層為準(zhǔn)則層，有景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途5個(gè)準(zhǔn)則，各層間聯(lián)系涌現(xiàn)聯(lián)直線表示（圖9-1）。6第6頁第6頁目的層準(zhǔn)

5、則層方案層圖9-1 選擇旅游地層次結(jié)構(gòu)7第7頁第7頁 2、通過互相比較擬定各準(zhǔn)則對于目的權(quán)重，及各方案對于每一準(zhǔn)則權(quán)重。這些權(quán)重在人思維過程中通常是定性，而在層次分析法中則要給出得到權(quán)重定量辦法。 3、將方案層對準(zhǔn)則層權(quán)重及準(zhǔn)則對目的層權(quán)重進(jìn)行綜合，最后擬定方案層對目的層權(quán)重。在層次分析法中要給出進(jìn)行綜合計(jì)算辦法。 層次分析法將定性分析與定量計(jì)算結(jié)合起來完畢上述環(huán)節(jié)，給出決議結(jié)果。下面我們來闡明如何比較同一層各原因?qū)ι蠈釉蛴绊?，從而擬定它們在上層原因中占權(quán)重。8第8頁第8頁 成對比較距陣和權(quán)向量 包括到社會、經(jīng)濟(jì)、人文等原因決議問題主要困難在于，這些原因通常不易定量地測量。人們憑自己經(jīng)驗(yàn)和知

6、識進(jìn)行判斷，當(dāng)原因較多時(shí)給出結(jié)果往往是不全方面和不準(zhǔn)確，假如只是定性結(jié)果，則經(jīng)常不容易被他人接受。Saaty等人做法，一是不把全部原因放在一起比較，而是兩兩相互對比，而是對比時(shí)采取相對尺度，以盡也許地降低性質(zhì)不同諸原因相互比較困難，提升準(zhǔn)確度。9第9頁第9頁 假設(shè)要比較某一層n個(gè)原因C1,C2 , ，Cn對上層一個(gè)原因O影響，如旅游決議問題中比較景色等5個(gè)準(zhǔn)則在選擇旅游地這個(gè)目的中主要性。每次取兩個(gè)原因Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj對O影響之比,所有比較結(jié)果可用對比比較距陣 A=(aij)nn , aij 0 , (1) 表示。由（1）給出aij特點(diǎn),A稱為正互反矩陣。顯然比由aii=1。

7、如用C1，,C5依次表示景色、費(fèi)用、飲食、旅游5個(gè)準(zhǔn)則，設(shè)某人用成對比較距陣（正互反陣）為10第10頁第10頁（2）（2）中a12= ，表示景色C1和給用C2對選擇旅游地這個(gè)目的O主要性之比為1:2; a13=4表示景色C1和居住條件C3之比為4：1；a23=7表示費(fèi)用C2與居住條件C3之比為7:1。能夠看出在此人選擇旅游地時(shí)，費(fèi)用原因最主要，景色次之。如何由成對比較陣擬定諸原因C1,Cn對上層原因O權(quán)重。11第11頁第11頁 仔細(xì)分析一下（2）式給出成對比較陣A能夠發(fā)覺，既然C1與C2之比為1：2；C1與C3之比為4：1。那么C2與C3之比由于8：1而不是7:1才干闡明成對比較是一致。但是，

8、n個(gè)原因要做 次，所有一致要求是太苛刻了。Saaty等人給出了在成對比較不一致情況下計(jì)算各原因C1,，Cn對原因O權(quán)重辦法，并且擬定了這種不一致允許范圍。為了闡明這點(diǎn)我們先當(dāng)作對比較完全一致。 設(shè)想把一塊大石頭O砸成n塊小石頭C1,，Cn,假如準(zhǔn)確地稱出它們重量為w1,，wn,在作成對比較時(shí)令aij=wi/wj,12第12頁第12頁那么得到（3）這些比較顯然是一致，n塊小石頭對大石頭權(quán)重（即在大石頭中占比重）可用向量 w=(w1,w2,，wn)T13第13頁第13頁表示，假如大石頭為單位重量，則有顯然，A各個(gè)列向量與w僅相差一個(gè)百分比因子。 普通地，假如一個(gè)正互反陣A滿足 aijajk=aik

9、, i , j , k=1,2,，n (4)則A稱為一致性距陣，簡稱一致陣。（3）式給出A顯然是一致陣。容易證實(shí)n階一致陣A有下列性質(zhì)。 1、A秩為1，A唯一非零特性根為n; 2、A任一列(行)向量都是相應(yīng)于特性根n特性值。14第14頁第14頁 假如得到成對比較陣是一致陣，像（3）式A，自然應(yīng)取相應(yīng)于特性根n。歸一化特性向量(即分量之和為1)表示諸原因C1，Cn對上層原因O權(quán)重，這個(gè)向量稱為權(quán)向量。假如成對比較陣A不是一致陣，但在不一致允許范圍內(nèi)（下面將闡明如何擬定這個(gè)范圍），Saaty等人提議用相應(yīng)于A最大特性根（即作）特性向量（歸一化后）作為權(quán)向量w，即w滿足 Aw= w (5)直觀地看，

10、由于矩陣A特性根和特性向量連續(xù)地依賴于矩陣元素aij , 因此當(dāng)aij離一致性要求不遠(yuǎn)時(shí)，A特性根和特性向量也與一致陣相差不大。15第15頁第15頁 （5）式表示方法稱為由成對比較陣求權(quán)向量特性根法。求和w簡便算法和特性根法更深入意義，以及其它求權(quán)向量方法見9.3階。 比較尺度 當(dāng)比較兩個(gè)可能含有不同性質(zhì)原因Ci和Cj對于一個(gè)上層原因O影響時(shí)，采取什么樣尺度aij很好呢? Saaty等人提出用1-9尺度，即aij取值范圍是1，2，9及其互反數(shù)1， ， 。理由以下。16第16頁第16頁 1、再進(jìn)行定性成對比較時(shí)，人們頭腦中通常有5中明顯等級，用1-9尺度能夠以便地表示下列。 表9-1 1-9尺度

11、aij含義 尺度aij含 義1Ci與Cj得影響相同3Ci與Cj得影響稍強(qiáng)5Ci與Cj得影響強(qiáng)7Ci與Cj得影響明顯地強(qiáng)9Ci與Cj得影響絕對地強(qiáng)2，4，6，8Ci與Cj得影響之比在上述兩個(gè)相鄰等級之間1， ,，Ci與Cj得影響之比為上面aij互反數(shù)17第17頁第17頁2、心理學(xué)家認(rèn)為，進(jìn)行成對比較原因太多，將超出人判斷能力，最多達(dá)之72范圍。如以9個(gè)為限，用1-9尺度表示它們之間差異正適當(dāng)。3、Saaty曾用1-3，1-5， ，1-17，（d+0.1）-（d+0.9)(d=1,2,3,4),1p-9p(p=2,3,4,5)等共27中比較尺度，對在不同距離出判斷某光源亮度等實(shí)例結(jié)構(gòu)成對比較陣，并

12、算出權(quán)向量。把這些權(quán)向量與按照光強(qiáng)定律等物理知識得到實(shí)際權(quán)向量進(jìn)行對比發(fā)覺，1-9尺度不但在簡樸尺度中最好，而且結(jié)果并不劣于較復(fù)雜尺度。18第18頁第18頁 依據(jù)上述定理和連續(xù)地依賴于aij事實(shí)可知比n大得多，A不一致程度越嚴(yán)重，用特性向量作為權(quán)向量引起判斷誤差越大。因而能夠用-n數(shù)值大小來衡量A不一致程度,Saaty將 定義為一致指標(biāo).CI=0時(shí)A為一致陣；CI越大A不一致程度越嚴(yán)重，注意到An個(gè)特性根之和等于A對角元素之和（為何?)，而A對角元素均為1,因此特性根之和 .（不妨記1=）。由此可知，一致性指標(biāo)CI相稱于處外其余n-1個(gè)特性根平均值（取絕對值）。19第19頁第19頁 為了確定A

13、不一致程度允許范圍，需要找出衡量A一致性指標(biāo)CI標(biāo)準(zhǔn)。Saaty又引入了所謂隨機(jī)一致性指標(biāo)RI，計(jì)算RI過程是：對于固定n，隨機(jī)地結(jié)構(gòu)正互反陣A/(它元素aij/（ij)從1-9,1-1/9中取隨機(jī)值， aji/ 為aij/ 互反數(shù)，aii/=1),然后計(jì)算A/一致性指標(biāo)CI。能夠想象到，A/是非常不一致，它CI相稱大。如此結(jié)構(gòu)相稱多A/, 用他們CI平均值作為隨機(jī)一致性指標(biāo)。Saaty對于不同n（=111),用100-500個(gè)樣本A/算出隨機(jī)一致性指標(biāo)RI數(shù)值以下。20第20頁第20頁 表9-2 隨機(jī)一致性指標(biāo)RI數(shù)值 n1234567891011RI000.580.901.121.241.

14、321.411.451.491.51表中n-1,2時(shí)RI=0,是由于1，2階正互反陣總是一致陣。 對于n3成對比較陣A，將它一致性指標(biāo)CI與同階（指n相同）隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比成為一致性比率CR 當(dāng)（7）21第21頁第21頁時(shí)認(rèn)為A不一致程度在允許范圍之內(nèi)，可用其特性向量作為權(quán)向量。不然要重新進(jìn)行成對比較，對A加以調(diào)整。順便指出，（7）式中0.1選取是帶有一定主觀信度。 對于A利用（6），（7）式和表9-2進(jìn)行檢查成為一致性檢查。 對于（2）式給出A能夠算出，=5.073，歸一化特性向量 w=(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T .由（6）式22第22頁第22頁在

15、表9-2中查出RI=1.12.按（7）式計(jì)算，于是通過了一致性檢查，故上述w可作為權(quán)向量。23第23頁第23頁 組合權(quán)向量 在旅游決議問題中我們已經(jīng)得到了第2層（準(zhǔn)則層）對第1層（目的層，只有一個(gè)原因）權(quán)向量，記作w(2)=(w1(2),，w5(2)T（即由（2）式A算出w）。用同樣辦法結(jié)構(gòu)第3層（方案層，見圖9-1）對第2層每一個(gè)準(zhǔn)則成對比較陣，不妨設(shè)他們?yōu)?4第24頁第24頁 這里距陣Bk(k=1,，5）中元素bij(k)是方案（旅游地）Pi與Pj對于準(zhǔn)則Ck(景色、費(fèi)用等）優(yōu)越性比較尺度。 由第3 層成對比較陣Bk計(jì)算出權(quán)向量wk(3)，最大特性根k和一致性指標(biāo)CIk，結(jié)果列入下表 表9

16、-3 旅游決議問題第3層計(jì)算結(jié)果k123450.5950.0820.4290.6330.166wk(3)0.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6683.0053.00233.0093CIk0.0030.00100.005025第25頁第25頁不難看出，由于n=3時(shí)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=0.58 (表9-2），因此上面CIk均可通過一致性檢查。 下面問題是由各準(zhǔn)則對目的權(quán)向量w(2)和各方案對一準(zhǔn)則權(quán)向量wk(3)(k=1,，5），計(jì)算各方案對目的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量，記作w(3)。對于方案P1，它在景色等5個(gè)準(zhǔn)則中權(quán)重用wk(3)第1個(gè)分

17、量表示（圖9-3中wk(3)第一行），而5各準(zhǔn)則對于目的權(quán)重又用權(quán)向量w(2)表示，因此方案P1在目的中組合權(quán)重應(yīng)為它們相應(yīng)兩兩乘積之和，即 0.595*0.263+0.82*0.475+0.429*1.055 +0.633*0.099+0.166*0.110=0.300 26第26頁第26頁同樣能夠計(jì)算P2,P3 在目的中組合權(quán)重為0.246和0.456，于是組合向量w(3)=(0.300,0.246,0.456)T.結(jié)果表明方案P3在旅游地選擇中占權(quán)重近于1/2，遠(yuǎn)不小于P1,P2，應(yīng)作為第1選擇地點(diǎn)。27第27頁第27頁 由上述計(jì)算可知，對于3個(gè)層次決議問題。若第1層只有1個(gè)原因，第2、

18、3層分別有n、m個(gè)原因，記第2、3層對第1、2層權(quán)向量分別為： w(2)=(w1(2),，wn(2)T wk(3)=(wk1(3),，wkn(3)T,k=1,2，n以wk(3)為列向量構(gòu)成矩陣 W(3)=w1(3),，wn(3)則第3層對第1層組合權(quán)向量為 w (3)= W(3) w(2) （8）28第28頁第28頁 更普通地，若共有s層，則第k層對第1層（設(shè)只有1個(gè)原因）組合權(quán)向量為 w (k)= W(k) w(k) ,k = 3,4,，s （9）其中W(k)是以第k層對第k-1層權(quán)向量為列向量構(gòu)成矩陣。于是最下層（第s層）對最上面一層組合權(quán)向量為 w (s)= W(s) W(s-1)W(3

19、) w (2) (10)29第29頁第29頁 組合一致性檢查 在層次分析整個(gè)計(jì)算過程中，除了對每個(gè)成對比較陣進(jìn)行一致性檢查，以判斷每個(gè)權(quán)向量是否能夠應(yīng)用外，還要進(jìn)行所謂組合一致性檢查，一邊擬定組合權(quán)向量是否能夠作為最后決議依據(jù)。 組合一致性檢查能夠逐層進(jìn)行。若第p層一致性指標(biāo)為CI1(p),， CIn(p)(n是第p-1層原因數(shù)目），隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI1(p),， RIn(p),定義 CI(p)=CI1(p)， CIn(p)w(p-1) (11) RI(p)=RI1(p)， RIn(p)w(p-1) (12)30第30頁第30頁則第p層對第1層組合一致性比率為 CR(p)=CR(p-1)+CI(p)/RI(p),p=3,4,，s (13)其中CR(2)為由（7）式計(jì)算一致性比率。最后，當(dāng)最下層對最上層組合一致性比率 CR(s) 0.1 (14)認(rèn)為整個(gè)層次比較判斷通過一致性檢查。 在旅游決議問題中能夠算出CI(3)=0.00176，RI(3)=0.58,