實驗三積分市公開課獲獎課件

1、試驗三 積分第1頁第1頁二.學習Matlab命令sum、symsum(求和)1.求和命令sum調(diào)用格式： 當x為向量時，sum(x)表示向量x各個元素累加和 例1.x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; sum(x) ans=55 當x為矩陣時，則sum(x)是x每列和。 例2.x=1,2,3;4,5,6;7,8,9 sum(x) ans= 12 15 18第2頁第2頁 2.求和命令symsum調(diào)用格式 調(diào)用格式symsum(s,1,n) 調(diào)用格式symsum(s,k,m,n) 調(diào)用格式symsum(s(k),1,n) 調(diào)用格式symsum(s(k),k,m,n)第3頁第3頁例5.求

2、解：syms k; symsum(2*k+1,k,1,10)例6.求 解：syms k n; y=symsum(k2,k,1,n) t=factor(y) %factor函數(shù)用于對y因式分解 pretty(t) %將式子t化為習慣數(shù)學書寫方式第4頁第4頁三.定積分概念1.定積分思想：分割、取近似、求和、取極限分割：設閉區(qū)間a,b上有n+1個點，記做 把a,b分成n個小區(qū)間 這些小區(qū)間構成對a,b一個分割，記為小區(qū)間長度為 ，其中 稱為分割模。求和：設f是定義在a,b上一個函數(shù)，對于a,b一個分割 ，任取點 作和式 ，稱此和式為函數(shù)f在a,b上一個積分和。第5頁第5頁 取極限：若 存在，把此極限

3、稱為f在a,b上定積分，記做2.定積分幾何意義：計算曲邊梯形面積3.判斷定積分是否可積充要條件達布上和與達布下和第6頁第6頁 設 為對a,b任一分割，由f在a,b上有界，它在每個 上存在上、下確界，記 作和 分別稱為f關于分割T 達布上和與達布下和，顯然第7頁第7頁 可積準則：函數(shù)f在a,b上可積充要條件是：4.可積函數(shù)類若函數(shù)f為a,b上連續(xù)函數(shù)，則f在a,b上可積。若函數(shù)f是a,b上只有有限個間斷點有界函數(shù)，則f在a,b上可積。若f是a,b上單調(diào)函數(shù)，則f在a,b上可積。第8頁第8頁第9頁第9頁下面計算s1和s2，輸入命令：x=linspace(0,1,21); %包括0，1，共21個點，

4、20個區(qū)間y=exp(x);y1=y(1:20); %取區(qū)間左端點，計算函數(shù)值，形成小矩形s1=sum(y1)/20 %各個小矩形面積和運營結果：s1=1.6725x=linspace(0,1,21); %包括0，1，共21個點，20個區(qū)間y=exp(x);y2=y(2:21); %取區(qū)間右端點，計算函數(shù)值，形成小矩形s2=sum(y2)/20 %各個小矩形面積和運營結果：s2=1.7616第10頁第10頁 （二）同樣辦法將區(qū)間0,1等分成50個小區(qū)間，計算達布下和s1和達布上和s2，能夠計算s1=1.7012,s2=1.7355.能夠看出伴隨分點逐步增長時，s2-s1值越來越小。 （三）將區(qū)

5、間0,1等分成n個小區(qū)間，取極限 （取每個子區(qū)間右端點），下面用Matlab求此極限,輸入命令 syms i n; s=symsum(exp(i/n)/n,i,1,n); limit(s,n,inf)結果：ans=exp(1)-1 第11頁第11頁 通過繪圖觀測伴隨分點逐步增長，達布上和與達布下和之間差越來越小，越來越靠近曲邊梯形面積。在同一窗口中繪制將區(qū)間0,1等分成20個小區(qū)間和等分成50個小區(qū)間時小矩形圖形。subplot(2,2,1); %第一個圖形x=linspace(0,1,21); %將區(qū)間0,1等分成20個小區(qū)間y=exp(x);plot(x,y,r)hold onfor i=

6、1:20fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i),y(i),0,b)%取每個區(qū)間左端點,繪制小矩形end注:fill函數(shù)作用是將資料點視為多邊形頂點,并將此多邊形涂上顏色第12頁第12頁 subplot(2,2,2); %繪制第二個圖形for i=1:20fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i+1),y(i+1),0,b)hold onendplot(x,y,r)subplot(2,2,3); %繪制第三個圖形x=linspace(0,1,51); %將區(qū)間0,1等分成50個小區(qū)間y=exp(x);plot

7、(x,y,r)hold onfor i=1:50fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i),y(i),0,b)%取每個區(qū)間右端點,繪制小矩形end第13頁第13頁subplot(2,2,4); %繪制第三個圖形for i=1:50 fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i+1),y(i+1),0,b)hold onendplot(x,y,g)第14頁第14頁第15頁第15頁四.用Matlab求積分1.求定積分求 調(diào)用格式 syms x; int(函數(shù)f(x),a,b)例1.求 解： syms x; int(ex

8、p(x),0,1)結果：ans=exp(1)-1第16頁第16頁例2：求 解：輸入命令： syms x; syms t; y=int(cos(x)2,x,2,t) z=simple(y) %搜索符號表示式最簡形式 pretty(z) %轉(zhuǎn)化為習慣數(shù)學書寫方式第17頁第17頁2.求廣義積分例3：判斷廣義積分 斂散性，收斂時計算積分值。解：輸入命令： syms x; int(1/sqrt(2*pi)*exp(-x2/2),-inf,inf) int(1/(1-x)2,0,2)第18頁第18頁3.重積分計算 用Matlab計算二重積分或三重積分時，必須將二重積分或三重積分化為相應二次積分或三次積分，

9、再用Matlab求解。例4：求二次積分 解：輸入命令： syms x; syms y; int(int(x*y,y,2*x,x2+1),x,0,1)結果：ans=1/2第19頁第19頁例5：計算 ，期中 分析： 解：輸入命令 syms x; syms y; int(int(x+y)2,y,0,1),x,0,1) 結果：ans=7/6 第20頁第20頁 在直角坐標系下難以計算重積分能夠化為極坐標計算，比如下題。例6：求 分析：若采用直角坐標系求解，積分區(qū)域：將二重積分化為二次積分 輸入命令： syms x; syms y; int(int(sin(pi*(x2+y2),y,-sqrt(1-x2),sqrt(1-x2),x,-1,1)第21頁第21頁其結果中仍帶有sum函數(shù)，表示用直角坐標系求不出這一結果，因此采用極坐標來做二重積分化為二次積分為解：輸入命令： syms r; syms a; int(int(r*sin(pi*r2),r,0,1),a,0,2*pi)結果：ans=2第22頁第22頁4.曲線積分第一型曲線積分（對弧長曲線積分） 用Matlab計算第一型曲線積分時，需要將其化為定積分，分下面兩種情況： a.設有光滑曲線函數(shù)f(x,y