復變函數(shù)哈爾濱工程大學市公開課獲獎課件

1、復變函數(shù)與積分變換zPN第1頁第1頁 復變函數(shù)與積分變換主講教師：趙景霞第2頁第2頁課程基本簡介課程名稱：復變函數(shù)與積分變換開課學時： 48 學時考核方式： 30分平時成績（考勤+作業(yè)） 70分卷面成績（期末考試）答疑時間及地點：理學樓425周四、周五到11號樓書庫購買作業(yè)本，價錢3元，必買 第3頁第3頁研究對象 復變函數(shù)（自變量為復數(shù)函數(shù)）主要任務研究復變數(shù)之間互相依賴關系，詳細地就是復數(shù)域上微積分。主要內(nèi)容復變函數(shù)積分、級數(shù)、留數(shù)、保形映射，積分變換等。復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、課程基本簡介第4頁第4頁學習辦法復變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復數(shù)域內(nèi)推廣和發(fā)展，它們之間有許多相

2、同之處。但又有不同之處，在學習中要善于比較、區(qū)分、尤其要注意復數(shù)域上特有那些性質(zhì)與結果。第5頁第5頁復變函數(shù)發(fā)展過程復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進。為使負數(shù)開方故意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復數(shù)概念及性質(zhì)理解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，因此，在歷史上長時期人們把復數(shù)看作不能接受“虛數(shù)”。第6頁第6頁 直到十八世紀，J.DAlembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復數(shù)幾何意義和物理意義，澄清了復數(shù)概念，并且應用復數(shù)和復變函數(shù)研究了流體力學等方面一些問題。復數(shù)才被人們廣泛認可接受，復變函數(shù)

3、論才干順利建立和發(fā)展。復變函數(shù)發(fā)展過程第7頁第7頁復變函數(shù)發(fā)展過程1774年，歐拉在他一篇論文中考慮了由復變函數(shù)積分導出兩個方程。比他更早時，法國數(shù)學家達朗貝爾在他關于流體力學論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，以后人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細研究，因此這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。第8頁第8頁復變函數(shù)論全面發(fā)展是在十九世紀，就像微積分直接擴展統(tǒng)治了十八世紀數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新分支統(tǒng)治了十九世紀數(shù)學。當初數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最富饒數(shù)學分支，并且稱為這個世紀數(shù)學享受，也有些人稱贊它是抽象科學中最友

4、好理論之一。復變函數(shù)發(fā)展過程第9頁第9頁二十世紀以來，復變函數(shù)已被廣泛地應用在理論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其它分支聯(lián)系也日益密切。復變函數(shù)發(fā)展過程第10頁第10頁第一章 復數(shù)與復變函數(shù)第一講 復數(shù)及復平面學習要點掌握復數(shù)意義及代數(shù)運算掌握復平面與復數(shù)表示辦法掌握復數(shù)乘冪與方根第11頁第11頁1 復數(shù)及其代數(shù)運算1. 復數(shù)概念 復數(shù)z 實部 Re(z) = x ; 虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)第12頁第12頁 普通, 任意兩個復數(shù)不能比較大小。復數(shù)相等2. 四則運算 z1=x1+iy1與z2=x2+iy2和、差、積和商為：

5、 z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)第13頁第13頁復數(shù)運算滿足加法互換律、結合律；乘法互換律、結合律和分派律。第14頁第14頁 共軛復數(shù)性質(zhì)定義 若z=x + iy , 稱z=x - iy 為z 共軛復數(shù).(conjugate)3. 共軛復數(shù)第15頁第15頁第16頁第16頁第17頁第17頁解：第18頁第18頁2 復數(shù)幾何表示1. 點表示橫坐標軸稱為實軸，縱坐標軸稱為虛軸；復平面普通稱為z-平面，w-平面等。 第19頁第19頁2. 向量表示法oxy(z)P(x,y)xy z=0時，幅角無意義。 第

6、20頁第20頁幅角無窮多：Arg z=0+2k， kZ，第21頁第21頁 當z落于一,四象限時，不變。 當z落于第二象限時，加p。 當z落于第三象限時，減p . 第22頁第22頁依據(jù)向量運算及幾何知識，我們能夠得到兩個主要不等式 oxy(z) z1z2 z1+z2oxy(z) z1z2z2- z1第23頁第23頁3. 三角表示法能夠用復數(shù)模與輻角來表示非零復數(shù)z4. 指數(shù)表示法yox第24頁第24頁例1例2例3第25頁第25頁例1解：第26頁第26頁例2解：第27頁第27頁例2解：第28頁第28頁例3證實：第29頁第29頁例3證實：第30頁第30頁3 復數(shù)乘冪與方根1. 復數(shù)乘積與商利用復數(shù)三

7、角表示，我們能夠更簡樸表示復數(shù)乘法與除法集合相等定理：第31頁第31頁對除法，有 將復數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法幾何意義第32頁第32頁例1解：第33頁第33頁第34頁第34頁2. 復數(shù)乘冪則有：德摩弗 (De Moivre)公式第35頁第35頁3. 復數(shù)方根第36頁第36頁而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復出現(xiàn)。第37頁第37頁例2例3第38頁第38頁例2第39頁第39頁例3第40頁第40頁第41頁第41頁幾何上， n個值是以原點為中心， 為半徑圓周上n個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周正n邊形n個頂點。xyo第42頁第42頁ONzP4. 復球面與無窮遠點球極平面射影法取一個在原點O與z平面相切球面，過O點作z平面垂線與球面交于N點（稱為北極或者球極）。對于平面上任一點z，用一條空間直線把它和球極連接起來，交球面于P。第43頁第43頁從幾何上能夠看出：z平面上每個以原點為圓心圓周相應于球面上某一個緯圈;N這個圓周以外點則相應于相應緯圈以北點，并且若點z模越大，球面上相應點則越靠近北極