醫(yī)用高數(shù)一元函數(shù)積分學(xué)不定積分市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、一、不定積分概念二、不定積分性質(zhì)基本積分公式 三、換元積分法 四、分部積分法 五、有理函數(shù)積分第一節(jié) 不定積分第三章 一元函數(shù)積分學(xué)第1頁第1頁一、不定積分概念 定義3-1 若在某區(qū)間上 ,則稱 為 在該區(qū)間上一個(gè)原函數(shù)例 第2頁第2頁（ 為任意常數(shù)）分析（2）若 和 都是 原函數(shù),則（ 為任意常數(shù)）結(jié)論（1）若 ，則對(duì)于任意常數(shù) ，都有（3） 為 原函數(shù)全體問題(1) 原函數(shù)是否唯一？(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？(3) 原函數(shù)全體如何表示? 第3頁第3頁任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表示式 定義3-2 若函數(shù) 是 一個(gè)原函數(shù),則 原函數(shù)全體 稱為不定積分.記為 . 積分變量 由此可知,求

2、 不定積分只需求出 一個(gè)原函數(shù),再加上任意常數(shù) .第4頁第4頁例3-1 求解例3-2 求解第5頁第5頁不定積分幾何意義是積分曲線上、下平移所得到一族積分曲線，稱為積分曲線族在點(diǎn)處有相同斜率，即這些切線互相平行第6頁第6頁二、不定積分性質(zhì)和基本積分公式 或性質(zhì)3-1或性質(zhì)3-2性質(zhì)3-3性質(zhì)3-4第7頁第7頁基本積分公式 (3)(4)第8頁第8頁第9頁第9頁例3-3 求例3-4 求解解第10頁第10頁例3-5 求解第11頁第11頁例3-7 求例3-6 求解 解 第12頁第12頁例3-8 求解 第13頁第13頁但是處理辦法 利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量. 問題提出三、換元積分法 由于第一類換元法(湊

3、微分法)第14頁第14頁注意 使用此公式關(guān)鍵在于定理3-1則有換元公式證實(shí)第15頁第15頁解例3-9 求第16頁第16頁例3-10 求解對(duì)換元積分比較純熟以后,不必寫出中間變量例3-11 求解第17頁第17頁例3-12 求解例3-13 求解第18頁第18頁例3-14 求解第19頁第19頁同理可得例3-15 求解第20頁第20頁解例3-16 求例3-17 求解第21頁第21頁解法1例3-18 求解法2解法3第22頁第22頁湊微分常見類型第23頁第23頁第24頁第24頁第一類換元法是通過變量替換 將積分 下面簡介第二類換元法是通過變量換 將積分2第二類換元法定理3-2設(shè) 單調(diào)、可導(dǎo)，且，若含有原函

4、數(shù) ，則有第25頁第25頁證實(shí) 注意 使用此公式關(guān)鍵在于通過變量替換 將 換成一個(gè)容易求得積分 來計(jì)算第26頁第26頁例3-19 求解 令第27頁第27頁 對(duì)被積函數(shù)中含有無理根式積分，通過適當(dāng)變換去掉根式后再積分，也稱根式代換.例3-20 求解 令第28頁第28頁 若被積函數(shù)中含有 時(shí),可采用三角替換辦法化去根式,這種辦法稱為三角代換.三角代換常有下列規(guī)律可令可令可令第29頁第29頁解 設(shè)例3-21 求第30頁第30頁解 令例3-22 求第31頁第31頁解 令例3-23 求第32頁第32頁注 倒數(shù)代換 也是慣用代換之一 解 令例3-24 求第33頁第33頁考慮積分處理思緒利用分部積分法 四、

5、分部積分法 定理3-3證實(shí)由導(dǎo)數(shù)公式即兩邊求不定積分分部積分公式因此第34頁第34頁解 令假如令顯然， 選擇不妥，積分更難進(jìn)行.例3-25 求更復(fù)雜了!第35頁第35頁 選擇注意下列兩點(diǎn) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）乘積, 設(shè)冪函數(shù)為 .例3-26 求解第36頁第36頁解例3-27 求例3-28 求解第37頁第37頁解 令例3-29 求 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）乘積，設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 .第38頁第38頁解例3-30 求 若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時(shí),兩者皆可作為 ,但作為 函數(shù)類型不變.第39頁第39頁例3-31 求解 設(shè) ,則第40頁第40頁

6、有理函數(shù) 兩個(gè)多項(xiàng)式商表示函數(shù).五、有理函數(shù)積分其中 、 都是非負(fù)整數(shù)； 及 都是實(shí)數(shù),并且 ， .假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式.第41頁第41頁例注意 (1)利用多項(xiàng)式除法,假分式能夠化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.(2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可認(rèn)為幾種最簡分式之和.最簡分式是下面兩種形式分式其中 都是待定常數(shù). 第42頁第42頁分母中若有因式 ，則分解后為(3)有理函數(shù)化為部分分式之和普通規(guī)律分母中若有因式 ，則分解后為其中, 為待定常數(shù) . 其中 為待定常數(shù). 第43頁第43頁 便于求積分必須把真分式化為部分分式之和,同時(shí)要把上面待定常數(shù)擬定,這種辦法叫待定系數(shù)法例3-32 求解 設(shè)下面擬定系數(shù)A、辦法1：去分母,兩端同乘以 ,得比較兩端 同次冪系數(shù),得第44頁第44頁解方程組,得辦法2：在恒等式中 ,令 ,得 ;令 ,得 .第45頁第45頁例3-33 求解 設(shè)第46頁第46頁解 設(shè)例3-34 求第47頁第47頁第48頁第48頁解 例3-35 求 分析: 被積函數(shù)分母 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解,可用湊微分法求解.第49頁第49頁 1原函數(shù)概念不定積分概念不定積分性質(zhì)基本積分公式主要內(nèi)容2兩類換元法3分部積分法 （1） 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)（或三角函