高中數(shù)學(xué)人教A版必修4優(yōu)秀教案示范教案向量減法運算及其幾何意義

1、2.2.2 向量減法運算及其幾何意義整體設(shè)計教學(xué)分析向量減法運算是加法的逆運算.同學(xué)在懂得相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算把握向量的減法運算 .因此 ,類比數(shù)的減法 減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù) ,第一引進相反向量的概念 ,然后引入向量的減法 減去一個向量 ,等于加上這個向量的相反向量 ,通過向量減法的三角形法就和平行四邊形法就 ,結(jié)合肯定數(shù)量的例題 ,深刻懂得向量的減法運算 .通過闡述向量的減法運算 ,可以轉(zhuǎn)化為向量加法運算 ,滲透化歸的數(shù)學(xué)思想 ,使同學(xué)懂得事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辨證思想 ,同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律 ,從而加強了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系 ,提

2、高同學(xué)的應(yīng)用意識 . 三維目標(biāo)1.通過探究活動 ,使同學(xué)把握向量減法概念,懂得兩個向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進行,把握相反向量 . 2.啟示同學(xué)能夠發(fā)覺問題和提出問題 ,善于獨立摸索 ,學(xué)會分析問題和制造地解決問題 .能嫻熟地把握用三角形法就和平行四邊形法就作出兩向量的差向量 . 重點難點教學(xué)重點 :向量的減法運算及其幾何意義 . 教學(xué)難點 :對向量減法定義的懂得 . 課時支配1 課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路 1.問題導(dǎo)入 上節(jié)課 ,我們定義了向量的加法概念 ,并給出了求作和向量的兩種方法 .由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算 :減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù) .向量的減法是否也有類似的法

3、就呢 .引導(dǎo)同學(xué)進一步探究 ,由此綻開新課 . 思路 2.直接導(dǎo)入 數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算 算 減法 .引導(dǎo)同學(xué)去探究、發(fā)覺 . 推動新課 新知探究 提出問題 向量是否有減法？.本節(jié)課 ,我們連續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運向量進行減法運算 ,必需先引進一個什么樣的新概念？如何懂得向量的減法？向量的加法運算有平行四邊形法就和三角形法就 活動 :數(shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算,那么 ,向量的減法是否也有類似的法就？,數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù) ,因此定義數(shù)的減法運算 ,必需先引進一個相反數(shù)的概念 .類似地 ,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算 .可類比數(shù)的減法運算

4、 ,我們定義向量的減法運算 ,也應(yīng)引進一個新的概念 ,這個概念又該如何定義 . 引導(dǎo)同學(xué)摸索 ,相反向量有哪些性質(zhì) . 由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原先的方向 于是 -a=a. ,因此 a 和 -a 互為相反向量 . 我們規(guī)定 ,零向量的相反向量仍是零向量 . 任一向量與其相反向量的和是零向量 ,即 a+- a=- a+a=0. 所以 ,假如 a、b 是互為相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. 1平行四邊形法就圖 1 如圖 1,設(shè)向量 AB =b, AC =a,就 AD =-b,由向量減法的定義 又 b+ BC =a,所以 BC =a-b. 由此 ,我們得到 a-b 的作圖方法 . 圖

5、 2 2三角形法就,知 AE =a+- b=a-b. 如圖 2,已知 a、b,在平面內(nèi)任取一點 O,作 OA=a, OB =b,就 BA =a-b,即 a-b 可以表示為從 b的終點指向 a 的終點的向量 ,這是向量減法的幾何意義 . 爭論結(jié)果 :向量也有減法運算 . 定義向量減法運算之前 ,應(yīng)先引進相反向量 . 與數(shù) x 的相反數(shù)是 -x 類似 ,我們規(guī)定 ,與 a 長度相等 ,方向相反的量 ,叫做 a 的相反向量 ,記作 -a. 向量減法的定義 .我們定義a-b=a+-b, 即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量. ,這也正是向量的運算的幾何意義所在,規(guī)定 :零向量的相反向量是零向量.

6、 向量的減法運算也有平行四邊形法就和三角形法就是數(shù)形結(jié)合思想的重要表達. 提出問題 上圖中 ,假如從 a 的終點到 b 的終點作向量 ,那么所得向量是什么 . 轉(zhuǎn)變上圖中向量 a、b 的方向使 a b,怎樣作出 a-b 呢. 爭論結(jié)果 : AB =b-a. 略 . 應(yīng)用示例 如圖 31,已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b,c-d. 圖 3 活動 :老師讓同學(xué)親自動手操作 ,引導(dǎo)同學(xué)留意規(guī)范操作 ,為以后解題打下良好基礎(chǔ) ;點撥同學(xué)依據(jù)向量減法的三角形法就 ,需要選點平移作出兩個同起點的向量 . 作法 :如圖 32,在平面內(nèi)任取一點 變式訓(xùn)練O,作 OA =a,OB =b,OC =c,

7、OD =d.就 BA =a-b, DC =c-d. 2022 上海高考 在 ABCD 中 ,以下結(jié)論中錯誤選項 A. AB = DC B.AD+ AB = AC C. AB -AD=BDD.AD+ BC =0 分 析 :A 顯 然 正 確 , 由 平 行 四 邊 形 法 就 可 知 B 正 確 ,C 中 , AB - AD = BD 錯 誤 ,D中, AD + BC = AD + DA =0 正確 . 答案 :C 例 2 如圖 4, ABCD 中, AB =a, AD =b,你能用 a、b 表示向量 AC 、 DB 嗎. 圖 4 活動 :本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明

8、幾何問題的基礎(chǔ). .要多留意這方面的訓(xùn)練,特殊要把握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系解:由向量加法的平行四邊形法就,我們知道 AC =a+b, 同樣 ,由向量的減法 ,知 DB = AB - AD =a-b. 變式訓(xùn)練1.2022 高考模擬 已知一點 O 到ABCD 的 3 個頂點 A、B、C 的向量分別是a、b、c,就向量 OD 等于 A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c 圖 5 解析 :如圖 5,點 O 到平行四邊形的三個頂點A、B、C 的向量分別是a、b、c, 結(jié)合圖形有 OD = OA+ AD = OA+ BC =OA+ OC - OB =a-b+c.

9、 答案 :B 2.如 AC =a+b, DB =a-b. 當(dāng) a、 b 滿意什么條件時 ,a+b 與 a-b 垂直？當(dāng) a、 b 滿意什么條件時 ,|a+b|=|a-b|？當(dāng) a、 b 滿意什么條件時 ,a+b 平分 a 與 b 所夾的角？a+b 與 a-b 可能是相等向量嗎？圖 6 解析 :如圖 6,用向量構(gòu)建平行四邊形,其中向量 AC 、 DB 恰為平行四邊形的對角線. 由平行四邊形法就,得AC =a+b, DB = AB- AD =a-b. 由此問題就可轉(zhuǎn)換為: ,對角線相互垂直？|a|=|b| 當(dāng)邊 AB 、AD 滿意什么條件時當(dāng)邊 AB 、AD 滿意什么條件時,對角線相等？ a、b

10、相互垂直 當(dāng)邊 AB 、AD 滿意什么條件時,對角線平分內(nèi)角？a、b 相等 a+b 與 a-b 可能是相等向量嗎？不行能 ,由于對角線方向不同點評 :敏捷的構(gòu)想 ,特殊奇妙 ,數(shù)形結(jié)合思想得到充分表達 .由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形 ,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題 ,這就是數(shù)形結(jié)合解題的威力與魅力 ,老師引導(dǎo)同學(xué)留意領(lǐng)會 . 例 3 判定題 : 1如非零向量a 與 b 的方向相同或相反,就 a+b 的方向必與a、b 之一的方向相同. 2 ABC 中 ,必有 AB + BC + CA =0. 3如 AB + BC + CA =0,就 A 、B、C 三點是一個三角形的

11、三頂點 . 4|a+b| | a-b|. 活動 :依據(jù)向量的加、減法及其幾何意義 . 解:1a 與 b 方向相同 ,就 a+b 的方向與 a 和 b 方向都相同 ; 如 a 與 b 方向相反 ,就有可能 a 與 b 互為相反向量 , 此時 a+b=0 的方向不確定 ,說與 a、b 之一方向相同不妥 . 2由向量加法法就 AB + BC = AC , AC 與 CA 是互為相反向量 ,所以有上述結(jié)論 . 3由于當(dāng) A 、B、C 三點共線時也有 AB + BC + AC =0,而此時構(gòu)不成三角形 . 4當(dāng) a 與 b 不共線時 ,|a+b|與 |a-b|分別表示以 a 和 b 為鄰邊的平行四邊形的

12、兩條對角線的長 ,其大小不定 . 當(dāng) a、b 為非零向量共線時 ,同向就有 |a+b|a-b|,異向就有 |a+b|a-b|; 當(dāng) a、b 中有零向量時 ,|a+b|=|a-b|. 綜上所述 ,只有 2正確 . 例 4 如| AB |=8,| AC |=5,就 |BC |的取值范疇是 A.3,8B.3,8C.3,13D.3,13 解析 : BC = AC - AB . 1當(dāng) AB 、 AC 同向時 ,| BC |=8-5=3; 2當(dāng) AB 、 AC 反向時 ,| BC |=8+5=13; 3當(dāng) AB 、 AC 不共線時 ,3| BC |13. 綜上 ,可知 3|BC | 13.答案 :C 點評

13、 :此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì) 變式訓(xùn)練 已知 a、 b、c 是三個非零向量 的充要條件為 a+b+c=0. |a|-|b| | a+b| | a|+|b|求解 . ,且兩兩不共線 ,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形證明 :已知 a0,b0,c0,且 ab,bc,ca, 1必要性 :作 AB =a, BC =b,就由假設(shè) CA =c, 另一方面 a+b= AB + BC = AC . 由于 CA 與 AC 是一對相反向量 , 有 AC + CA =0, 故有 a+b+c=0. 2充分性 :作 AB =a, BC =b,就 AC =a+b,又由條件 a+b+c=0, AC +c=0.等式兩邊

14、同加 CA ,得 CA + AC +c= CA +0. c= CA ,故順次將向量a、b、c 的終點和始點相連接成一三角形. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí) 解答 : 1.直接在課本上據(jù)原圖作 這里從略 . 2. DB , CA , AC , AD , BA . 點評 :解題中可以將減法變成加法運算,如 AB - AD = DA + AB = DB ,這樣運算比較簡便. 3.圖略 . 課堂小結(jié)1.先由同學(xué)回憶本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)學(xué)問:相反向量 ,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖 . 2.老師與同學(xué)一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法 作業(yè)課本習(xí)題 2.2 A 組 6、7、8. ,類比 ,數(shù)形結(jié)合 ,幾何作圖 ,分類爭論 . 設(shè)計感想1.向量減法的幾何意義主要是結(jié)合平行四邊形法就和三角形法就進行講解的 ,兩種作圖方法各有千秋 .第一種作法結(jié)合向量