高中數學典型例題解析

1、. -任意角三角函數三、經典例題導講例 1假設 A、B、C 是ABC 的三個角,且ABC CA2,那么以下結論中正確的個數是cosCcotC.tanAtanC.cos.sinAsinC.cotAA1 B.2 C.3 D.4 錯解 ：ACsinAsinC,tanAtanC應選 B 錯因 ：三角形角對大邊定理不熟識,對函數單調性懂得不到位導致應用錯誤正解 ：法 1 A C 在 ABC 中,在大角對大邊,c a , sin C sin A法 2 考慮特別情形,A 為銳角, C 為鈍角,故排除 B、C、 D,所以選 A . 例 2 , 角的終邊關于 y 軸對稱,那么 與 的關系為 . 錯解 ：, 角的

2、終邊關于 y 軸對稱,+ 2 k,k z 2 2錯因 ：把關于 y 軸對稱片認為關于 y 軸的正半軸對稱 . 正解 ：, 角的終邊關于 y 軸對稱k , k Z 即 2 k , k z 2 2說明 ：1假設 , 角的終邊關于 x軸對稱,那么 與 的關系為 2 k , k Z 2 假 設 , 角 的 終 邊 關 于 原 點 軸 對 稱 , 那 么 與 的 關 系 為 2 k 1 , k Z 3假設 , 角的終邊在同一條直線上,那么 與 的關系為 k , k Z 3 4例 3 sin , cos,試確定 的象限 . 2 5 2 5錯解 ：sin 30 , cos 4 0,是其次象限角,即2 5 2

3、 5 22 k 2 k , k z .2從而 4 k 4 k 2 , k z .故 是第三象限角或第四象限角或是終邊在 y 軸負半軸上的角 . 3 4錯因 ：導出 是其次象限角是正確的,由 sin 0 , cos 0 即可確定,2 2 5 2 5. . word.zl-. -3 4而題中 sin , cos 不僅給出了符號,而且給出了詳細的函數值,通過其值可進2 5 2 5一步確定 的大小,即可進一步縮小 所在區(qū)間 . 2 23 4正解 ：sin 0 , cos 0,是其次象限角,2 5 2 5 23 2 3 3又由 sin sin 知 2 k 2 k , k z2 5 2 4 4 234 k

4、 4 k 2 , k z,故 是第四象限角 . 2例 4角 的終邊經過 P 4 a 3, a a 0 ,求 sin , cos , tan , cot 的值 . 錯解 ：x 4 a , y 3 a , r x 2 y 2 5 a3 a 3 4 a 4 3 a 3 4 a 4sin , cos , tan , cot5 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3錯因 ：在求得 r 的過程中誤認為 a 0 正解 ：假設 a 0,那么 r 5 a,且角 在其次象限3 a 3 4 a 4 3 a 3 4 a 4sin , cos , tan , cot5 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3假設

5、 a 0,那么 r 5 a,且角 在第四象限3 a 3 4 a 4 3 a 3 4 a 4sin , cos , tan , cot5 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3說明 ：1給出角的終邊上一點的坐標,求角的某個三解函數值常用定義求解；2此題由于所給字母a的符號不確定,故要對. a的正負進展爭論. . word.zl-例 51為第三象限角,那么2是第象限角,2是第象限角；2假設4 ,那么是第象限角 . 3,kZ解：1是第三象限角,即2 k2k2k22k3,kZ,4 k224k3,kZ4當 k 為偶數時,2為其次象限角當 k 為奇數時,2為第四象限角而 2的終邊落在第一、二象限或y

6、軸的非負半軸上2由于34,所以為其次象限角 . 2. . -點評 ：為第一、 二象限角時,為第一、 三象限角,為第三、 四象限角時,為其次、2 2四象限角,但是它們在以象限角平分線為界的不同區(qū)域 . 例 6一扇形的周長為 20cm ,當扇形的圓心角 等于多少時,這個扇形的面積最大？最大面積是多少？解：設扇形的半徑為rcm,那么扇形的弧長l202rcm. 扇形的面積S1202rrr5 22525cm 22所以當r5cm時,即l10cm ,l2時S maxr點評 ：涉及到最大小值問題時,通常先建立函數關系,再應用函數求最值的方法確定最值的條件及相應的最值 . 例 7 是第三象限角,化簡 1 sin

7、 1 sin；1 sin 1 sin2 2解：原式 1 sin2 1 sin2 1 sin 1 sin 2 sin1 sin 1 sin cos cos又 是第三象限角,cos 02 sin所以,原式2 tan；cos點評： 三角函數化簡一般要： 1盡可能不含分母； 2盡可能不含根式； 3盡可能使三角函數名稱最少； 4盡可能求出三角函數式的值 脫去根式,進展化簡 . .此題的關健是如何應用根本關系式例 8假設角滿意條件sin20,cossin0,那么在第象限A.一B.二C.三D.四 角在其次象限 .應選 B. 解：sin200sincos0sin0cossincossincos0例 9 cos

8、cos,且tan0. 1試判定sincos的符號；cossincos0. 2試判定lgsincos的符號 . 解：1由題意,1cos0,1sin0sincos0,cossin0,所以sincos0. cossin2由題意知為其次象限角,sincos1,所以lgsin. . word.zl-. -四、典型習題導練1鈍角的終邊經過點Psin2,sin4,且cos0.5,那么+的值為Aarctan1Barctan1Carctan1D3 4222角 的終邊與角 的終邊關于y 軸對稱,那么 為2 A.-B.-C.2k+1 -kZ D.k - kZ 3.假設 sintg0,k Z,那么角 的集合為A2k2

9、,2k+2 B. 2k2,2kC. 2k2,2k+22 kD.以上都不對4當 0 x時,那么方程 cos cosx=0 的解集為 A.6,5B.3,2C.3D.26335以下四個值 :sin3,cos3,tg3,ctg3的大小關系是 A.cos3tg3ctg3 sine C.cot3tan3cos3sin3 B.sin3cos3 tg3ctg3 D.sin3tan3cos3 cot3 6x0, 2,那么下面四式 : 中正確命題的序號是. + 2kz其中終邊一樣的是sinxxtgx sincosxcosxcossinx sin3x+cos3x1 cossinxsincosxcosx 7有以下四組

10、角：1k+ 2；2k- 2；32k 2；4-kA.1和2 B.1、2和3 C.1、2和4 D.1、2、3和4 8 假 設 角 的 終 邊 過 點 sin30 ,-cos30 , 那么 sin 等 于 記憶口訣A. 1 2B.1 2C.3 2 D.3余弦3角函數正弦2ksincos函數名不變sin cos2 sincos符號看象限sin cos sincos. . word.zl-. -cos sin 22cossin函數名不變 cos sin符號看象限32 cossin32誘導公式可將“ 負角正化,大角小化,鈍角銳化. 3誘導公式解決常見題型1求值：一個角的某個三角函數,求這個角其他三角函數；

11、2化簡：要能求值那么求值,次數、種類盡量少,盡量化去根式,盡可能不含分母 . 二、疑難學問導析 1三角變換的常見技巧“1” 的代換；sincos,sincos,sincos三個式子,據方程思想知一sin21；2 cos可求其二由于其間隱含著平方關系式2在進展三角函數化簡和三角等式證明時,細心觀看題目的特點,敏捷恰當地選用公式,一般思路是將切割化弦.盡量化同名,同次,同角；.在利.3角的某個三角函數值,求角的其余 5 種三角函數值時,要留意公式的合理挑選用同角公式中的平方關系并要開方時,要依據角的圍來確定符號,常要對角的圍進展爭論解決此類問題時,要細心求證角的圍. 三、典型例題導講例 1sinc

12、os1,（0,）,就cot_ 1,得. word.zl-5錯解 ：兩邊同時平方,由sincos12與sincos255sincos2sin22sincos2 cos4 sincossincos24 sincos49sincos7255sin4,cos3,進而可求cot.解得：cot3554或sin3,cos4,進而可求cot.解得：cot4553錯因 ：沒有留意到條件0,時,由于sincos0所以sincos的值為正而導致錯誤. 正解：sincos1,（0,）,5. . -12 1兩邊同時平方,有 sin cos 0 與 sin cos 聯立,25 54 3 3求出 sin,cos,cot5

13、5 4例 2假設 sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 為銳角且 a1,0b 1,求 tanA 的值sin A a sin B a錯解 ：由 得 tan A= tan B cos A b cos B b錯因 ：對題目最終要求懂得錯誤.不清晰最終結論用什么代數式表示正解 ：由 sin A a sin B 2+ 2 得 a 2sin 2B+b 2cos 2B=1 cos A b cos B2 2 2a 1 1 b 1 bcos 2B= 2 2sin 2B= 2 2tan 2B= 2a b a b a 11 b 2B 為銳角 tan B= 2a 1 得 tan A= a tan B=

14、b ab 1a 2 b 21例 305 年高考卷假設函數 f x 1 cos 2 x a sin x cos x 的最大值為 2,試4 sin x 2 22確定常數 a 的值 . 2解 : f x 2 cos xa sin xcos x4 cos x 2 21 acos x sin x2 2214 a4 sin x , 其中角 滿意 sin1 1a 22由已知有 1 a 4 .4 4解之得 , a 15 .點評 ：本試題將三角函數“,誘導公式有機地溶于式子中,考察了同學對根2底學問的把握程度,這就要求同學們在學習中要腳踏實地,狠抓根底 . 例 405 年高考卷 tan =2 ,求21 tan

15、的值；26sin cos的值4 3sin 2cos. . word.zl-. -解：1 tan2=2, tan12 tan22214 3; 61 7；17. 14tan 22所以tan4tantan4tan1=4 31 41tantan1tan432由 I, tan= 4 , 所以 6sin 3 3sincos=6tan 3tan1 2=4 34 32cos326點評 ：此題設計簡潔明白,入手簡潔,但對兩角和與差的三角函數、同角間的根本關系式要求嫻熟應用,運算精確. = 6=7 9例 5化簡：sin4 n1cos4 n1nz 44錯解 ：原式sinn4cosn4sin4cos4sin24cos

16、4cos4cos40錯因 ：對三角函數誘導公式不完全懂得,不加爭論而導致錯誤. 正解 ：原式sinn4cosn41當n2k1 kz,時原式sin k4+cos k4sin4cos4cos4cos4=0 2當n2kkz,時原式sin k4+cos k4sin4+cos4=0 例 605 年高考卷假設sin61,那么cos2233A7B1C1D79339sin2錯解 ：cos22=cos32=cos32=123. word.zl-. . -錯因 ：誘導公式應用符號錯. 1 25,.正解 ：cos22=cos323=cos32= 1+2sin26= 7 .應選 A. 9例 7 05 年高考卷2x0,

17、sinxcosx1. 51求 sinx cosx 的值；2求3 sin2x2sinxcos x2cot xcos 2x的值 . 222tanx解法一 ：1由sinxcosx1,平方得sin2x2sinxcosxcos2x5即2sinxcosx24.sinxcosx212sinxcosx49.25257又2x0 ,sinx0,cosx0,sinxcosx0 ,故sinxcosx523sin2xsinx 2cosxcos2x2sin2xsinx12222 xx7 5.cotsincosxtanxxcosxsinxsinxcosx2cosxsinx1221108255125解法二 ：1聯立方程sin

18、xcosx1,5sin2cos2x1.由得sinx1cosx ,將其代入,整理得252 cosx5cosx12,05cosx3或cosx4.2x0,sinx43,故sinxcos555cosx.523sin2xsinx 2cosx2 cosx222. word.zl-cottanxx2sin si2xsinx12 xcosxcosxsinx. . -sinxcosx2cosx3sinx 34241085555125點評 ：本小題主要考察三角函數的根本公式、學問,以及推理和運算才能 . 三角恒等變換、 三角函數在各象限符號等根本例 81 化 簡 ：sec sin22 1csc cos2 21 +

19、cos 2 csc 2 12 設 sin + 2= 4,且 sin2 0 求 sin ,t ansin 2 cos 2解 ： 原 式 =tan 2cot 2 +cos2 csc 2=cos 2+sin 2+cos 2csc 2=1+cot 2=csc 2 1 12 解 ： 由 sin + 2 =-4 cos =- 4 sin2 0 2k 2 2k+ k 0 的圖像與x 軸在原點右側的第一個交點為6,0,又 f2+x=f2 x,f00,求這個函數的解析式. 解：f2+x=f2-x fx關于 x=2 對稱,又 x 軸在原點右側的第一個交點為N6,0T =6-2=4 ,即 T=16 ,42=8. T將 N6,0代入 fx=sin8x+得： sin3+=0,4得：=2k+4或=2k+5kZ, 4f00,=2k+5kZ,滿意條件的最小正數=5, 44所求解析式fx=sin8x+5. 4例 8 ABC 的周長為 6,BC,CA,AB 成等比數列,求1 ABC 的面積 S的最大值；2BABC的取值圍 . 1, 3. word.zl-解設BC,CA,AB 依次為 a,b,c,那么 a+b+c=6 ,b2=ac,由余弦定理得cosBa2c2b2a2c2ac2 aca