高中數(shù)學(xué)典型例題解析

1、. -任意角三角函數(shù)三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例 1假設(shè) A、B、C 是ABC 的三個(gè)角,且ABC CA2,那么以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是cosCcotC.tanAtanC.cos.sinAsinC.cotAA1 B.2 C.3 D.4 錯(cuò)解 ：ACsinAsinC,tanAtanC應(yīng)選 B 錯(cuò)因 ：三角形角對(duì)大邊定理不熟識(shí),對(duì)函數(shù)單調(diào)性懂得不到位導(dǎo)致應(yīng)用錯(cuò)誤正解 ：法 1 A C 在 ABC 中,在大角對(duì)大邊,c a , sin C sin A法 2 考慮特別情形,A 為銳角, C 為鈍角,故排除 B、C、 D,所以選 A . 例 2 , 角的終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱,那么 與 的關(guān)系為 . 錯(cuò)解 ：, 角的

2、終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱,+ 2 k,k z 2 2錯(cuò)因 ：把關(guān)于 y 軸對(duì)稱片認(rèn)為關(guān)于 y 軸的正半軸對(duì)稱 . 正解 ：, 角的終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱k , k Z 即 2 k , k z 2 2說明 ：1假設(shè) , 角的終邊關(guān)于 x軸對(duì)稱,那么 與 的關(guān)系為 2 k , k Z 2 假 設(shè) , 角 的 終 邊 關(guān) 于 原 點(diǎn) 軸 對(duì) 稱 , 那 么 與 的 關(guān) 系 為 2 k 1 , k Z 3假設(shè) , 角的終邊在同一條直線上,那么 與 的關(guān)系為 k , k Z 3 4例 3 sin , cos,試確定 的象限 . 2 5 2 5錯(cuò)解 ：sin 30 , cos 4 0,是其次象限角,即2 5 2

3、 5 22 k 2 k , k z .2從而 4 k 4 k 2 , k z .故 是第三象限角或第四象限角或是終邊在 y 軸負(fù)半軸上的角 . 3 4錯(cuò)因 ：導(dǎo)出 是其次象限角是正確的,由 sin 0 , cos 0 即可確定,2 2 5 2 5. . word.zl-. -3 4而題中 sin , cos 不僅給出了符號(hào),而且給出了詳細(xì)的函數(shù)值,通過其值可進(jìn)2 5 2 5一步確定 的大小,即可進(jìn)一步縮小 所在區(qū)間 . 2 23 4正解 ：sin 0 , cos 0,是其次象限角,2 5 2 5 23 2 3 3又由 sin sin 知 2 k 2 k , k z2 5 2 4 4 234 k

4、 4 k 2 , k z,故 是第四象限角 . 2例 4角 的終邊經(jīng)過 P 4 a 3, a a 0 ,求 sin , cos , tan , cot 的值 . 錯(cuò)解 ：x 4 a , y 3 a , r x 2 y 2 5 a3 a 3 4 a 4 3 a 3 4 a 4sin , cos , tan , cot5 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3錯(cuò)因 ：在求得 r 的過程中誤認(rèn)為 a 0 正解 ：假設(shè) a 0,那么 r 5 a,且角 在其次象限3 a 3 4 a 4 3 a 3 4 a 4sin , cos , tan , cot5 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3假設(shè)

5、 a 0,那么 r 5 a,且角 在第四象限3 a 3 4 a 4 3 a 3 4 a 4sin , cos , tan , cot5 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3說明 ：1給出角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求角的某個(gè)三解函數(shù)值常用定義求解；2此題由于所給字母a的符號(hào)不確定,故要對(duì). a的正負(fù)進(jìn)展?fàn)幷? . word.zl-例 51為第三象限角,那么2是第象限角,2是第象限角；2假設(shè)4 ,那么是第象限角 . 3,kZ解：1是第三象限角,即2 k2k2k22k3,kZ,4 k224k3,kZ4當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí),2為其次象限角當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí),2為第四象限角而 2的終邊落在第一、二象限或y

6、軸的非負(fù)半軸上2由于34,所以為其次象限角 . 2. . -點(diǎn)評(píng) ：為第一、 二象限角時(shí),為第一、 三象限角,為第三、 四象限角時(shí),為其次、2 2四象限角,但是它們?cè)谝韵笙藿瞧椒志€為界的不同區(qū)域 . 例 6一扇形的周長為 20cm ,當(dāng)扇形的圓心角 等于多少時(shí),這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？解：設(shè)扇形的半徑為rcm,那么扇形的弧長l202rcm. 扇形的面積S1202rrr5 22525cm 22所以當(dāng)r5cm時(shí),即l10cm ,l2時(shí)S maxr點(diǎn)評(píng) ：涉及到最大小值問題時(shí),通常先建立函數(shù)關(guān)系,再應(yīng)用函數(shù)求最值的方法確定最值的條件及相應(yīng)的最值 . 例 7 是第三象限角,化簡 1 sin

7、 1 sin；1 sin 1 sin2 2解：原式 1 sin2 1 sin2 1 sin 1 sin 2 sin1 sin 1 sin cos cos又 是第三象限角,cos 02 sin所以,原式2 tan；cos點(diǎn)評(píng)： 三角函數(shù)化簡一般要： 1盡可能不含分母； 2盡可能不含根式； 3盡可能使三角函數(shù)名稱最少； 4盡可能求出三角函數(shù)式的值 脫去根式,進(jìn)展化簡 . .此題的關(guān)健是如何應(yīng)用根本關(guān)系式例 8假設(shè)角滿意條件sin20,cossin0,那么在第象限A.一B.二C.三D.四 角在其次象限 .應(yīng)選 B. 解：sin200sincos0sin0cossincossincos0例 9 cos

8、cos,且tan0. 1試判定sincos的符號(hào)；cossincos0. 2試判定lgsincos的符號(hào) . 解：1由題意,1cos0,1sin0sincos0,cossin0,所以sincos0. cossin2由題意知為其次象限角,sincos1,所以lgsin. . word.zl-. -四、典型習(xí)題導(dǎo)練1鈍角的終邊經(jīng)過點(diǎn)Psin2,sin4,且cos0.5,那么+的值為Aarctan1Barctan1Carctan1D3 4222角 的終邊與角 的終邊關(guān)于y 軸對(duì)稱,那么 為2 A.-B.-C.2k+1 -kZ D.k - kZ 3.假設(shè) sintg0,k Z,那么角 的集合為A2k2

9、,2k+2 B. 2k2,2kC. 2k2,2k+22 kD.以上都不對(duì)4當(dāng) 0 x時(shí),那么方程 cos cosx=0 的解集為 A.6,5B.3,2C.3D.26335以下四個(gè)值 :sin3,cos3,tg3,ctg3的大小關(guān)系是 A.cos3tg3ctg3 sine C.cot3tan3cos3sin3 B.sin3cos3 tg3ctg3 D.sin3tan3cos3 cot3 6x0, 2,那么下面四式 : 中正確命題的序號(hào)是. + 2kz其中終邊一樣的是sinxxtgx sincosxcosxcossinx sin3x+cos3x1 cossinxsincosxcosx 7有以下四組

10、角：1k+ 2；2k- 2；32k 2；4-kA.1和2 B.1、2和3 C.1、2和4 D.1、2、3和4 8 假 設(shè) 角 的 終 邊 過 點(diǎn) sin30 ,-cos30 , 那么 sin 等 于 記憶口訣A. 1 2B.1 2C.3 2 D.3余弦3角函數(shù)正弦2ksincos函數(shù)名不變sin cos2 sincos符號(hào)看象限sin cos sincos. . word.zl-. -cos sin 22cossin函數(shù)名不變 cos sin符號(hào)看象限32 cossin32誘導(dǎo)公式可將“ 負(fù)角正化,大角小化,鈍角銳化. 3誘導(dǎo)公式解決常見題型1求值：一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù),求這個(gè)角其他三角函數(shù)；

11、2化簡：要能求值那么求值,次數(shù)、種類盡量少,盡量化去根式,盡可能不含分母 . 二、疑難學(xué)問導(dǎo)析 1三角變換的常見技巧“1” 的代換；sincos,sincos,sincos三個(gè)式子,據(jù)方程思想知一sin21；2 cos可求其二由于其間隱含著平方關(guān)系式2在進(jìn)展三角函數(shù)化簡和三角等式證明時(shí),細(xì)心觀看題目的特點(diǎn),敏捷恰當(dāng)?shù)剡x用公式,一般思路是將切割化弦.盡量化同名,同次,同角；.在利.3角的某個(gè)三角函數(shù)值,求角的其余 5 種三角函數(shù)值時(shí),要留意公式的合理挑選用同角公式中的平方關(guān)系并要開方時(shí),要依據(jù)角的圍來確定符號(hào),常要對(duì)角的圍進(jìn)展?fàn)幷摻鉀Q此類問題時(shí),要細(xì)心求證角的圍. 三、典型例題導(dǎo)講例 1sinc

12、os1,（0,）,就cot_ 1,得. word.zl-5錯(cuò)解 ：兩邊同時(shí)平方,由sincos12與sincos255sincos2sin22sincos2 cos4 sincossincos24 sincos49sincos7255sin4,cos3,進(jìn)而可求cot.解得：cot3554或sin3,cos4,進(jìn)而可求cot.解得：cot4553錯(cuò)因 ：沒有留意到條件0,時(shí),由于sincos0所以sincos的值為正而導(dǎo)致錯(cuò)誤. 正解：sincos1,（0,）,5. . -12 1兩邊同時(shí)平方,有 sin cos 0 與 sin cos 聯(lián)立,25 54 3 3求出 sin,cos,cot5

13、5 4例 2假設(shè) sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 為銳角且 a1,0b 1,求 tanA 的值sin A a sin B a錯(cuò)解 ：由 得 tan A= tan B cos A b cos B b錯(cuò)因 ：對(duì)題目最終要求懂得錯(cuò)誤.不清晰最終結(jié)論用什么代數(shù)式表示正解 ：由 sin A a sin B 2+ 2 得 a 2sin 2B+b 2cos 2B=1 cos A b cos B2 2 2a 1 1 b 1 bcos 2B= 2 2sin 2B= 2 2tan 2B= 2a b a b a 11 b 2B 為銳角 tan B= 2a 1 得 tan A= a tan B=

14、b ab 1a 2 b 21例 305 年高考卷假設(shè)函數(shù) f x 1 cos 2 x a sin x cos x 的最大值為 2,試4 sin x 2 22確定常數(shù) a 的值 . 2解 : f x 2 cos xa sin xcos x4 cos x 2 21 acos x sin x2 2214 a4 sin x , 其中角 滿意 sin1 1a 22由已知有 1 a 4 .4 4解之得 , a 15 .點(diǎn)評(píng) ：本試題將三角函數(shù)“,誘導(dǎo)公式有機(jī)地溶于式子中,考察了同學(xué)對(duì)根2底學(xué)問的把握程度,這就要求同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要腳踏實(shí)地,狠抓根底 . 例 405 年高考卷 tan =2 ,求21 tan

15、的值；26sin cos的值4 3sin 2cos. . word.zl-. -解：1 tan2=2, tan12 tan22214 3; 61 7；17. 14tan 22所以tan4tantan4tan1=4 31 41tantan1tan432由 I, tan= 4 , 所以 6sin 3 3sincos=6tan 3tan1 2=4 34 32cos326點(diǎn)評(píng) ：此題設(shè)計(jì)簡潔明白,入手簡潔,但對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)、同角間的根本關(guān)系式要求嫻熟應(yīng)用,運(yùn)算精確. = 6=7 9例 5化簡：sin4 n1cos4 n1nz 44錯(cuò)解 ：原式sinn4cosn4sin4cos4sin24cos

16、4cos4cos40錯(cuò)因 ：對(duì)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式不完全懂得,不加爭論而導(dǎo)致錯(cuò)誤. 正解 ：原式sinn4cosn41當(dāng)n2k1 kz,時(shí)原式sin k4+cos k4sin4cos4cos4cos4=0 2當(dāng)n2kkz,時(shí)原式sin k4+cos k4sin4+cos4=0 例 605 年高考卷假設(shè)sin61,那么cos2233A7B1C1D79339sin2錯(cuò)解 ：cos22=cos32=cos32=123. word.zl-. . -錯(cuò)因 ：誘導(dǎo)公式應(yīng)用符號(hào)錯(cuò). 1 25,.正解 ：cos22=cos323=cos32= 1+2sin26= 7 .應(yīng)選 A. 9例 7 05 年高考卷2x0,

17、sinxcosx1. 51求 sinx cosx 的值；2求3 sin2x2sinxcos x2cot xcos 2x的值 . 222tanx解法一 ：1由sinxcosx1,平方得sin2x2sinxcosxcos2x5即2sinxcosx24.sinxcosx212sinxcosx49.25257又2x0 ,sinx0,cosx0,sinxcosx0 ,故sinxcosx523sin2xsinx 2cosxcos2x2sin2xsinx12222 xx7 5.cotsincosxtanxxcosxsinxsinxcosx2cosxsinx1221108255125解法二 ：1聯(lián)立方程sin

18、xcosx1,5sin2cos2x1.由得sinx1cosx ,將其代入,整理得252 cosx5cosx12,05cosx3或cosx4.2x0,sinx43,故sinxcos555cosx.523sin2xsinx 2cosx2 cosx222. word.zl-cottanxx2sin si2xsinx12 xcosxcosxsinx. . -sinxcosx2cosx3sinx 34241085555125點(diǎn)評(píng) ：本小題主要考察三角函數(shù)的根本公式、學(xué)問,以及推理和運(yùn)算才能 . 三角恒等變換、 三角函數(shù)在各象限符號(hào)等根本例 81 化 簡 ：sec sin22 1csc cos2 21 +

19、cos 2 csc 2 12 設(shè) sin + 2= 4,且 sin2 0 求 sin ,t ansin 2 cos 2解 ： 原 式 =tan 2cot 2 +cos2 csc 2=cos 2+sin 2+cos 2csc 2=1+cot 2=csc 2 1 12 解 ： 由 sin + 2 =-4 cos =- 4 sin2 0 2k 2 2k+ k 0 的圖像與x 軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為6,0,又 f2+x=f2 x,f00,求這個(gè)函數(shù)的解析式. 解：f2+x=f2-x fx關(guān)于 x=2 對(duì)稱,又 x 軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為N6,0T =6-2=4 ,即 T=16 ,42=8. T將 N6,0代入 fx=sin8x+得： sin3+=0,4得：=2k+4或=2k+5kZ, 4f00,=2k+5kZ,滿意條件的最小正數(shù)=5, 44所求解析式fx=sin8x+5. 4例 8 ABC 的周長為 6,BC,CA,AB 成等比數(shù)列,求1 ABC 的面積 S的最大值；2BABC的取值圍 . 1, 3. word.zl-解設(shè)BC,CA,AB 依次為 a,b,c,那么 a+b+c=6 ,b2=ac,由余弦定理得cosBa2c2b2a2c2ac2 aca