高中數(shù)學(xué)第二節(jié)證明不等式的基本方法數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課時提升作業(yè)新人教A版選修

1、【全程復(fù)習(xí)方略】（福建專用）2022 版高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課時提升作業(yè)1.已知 a1,求證 : a1aaa1.11. zxyz12.已知 x,y,z 均為正數(shù) ,求證 :yzzxxyxy3.已知 a2,求證 :logaa-10, 其中 r 為有理數(shù) ,且 0r0,求證 :3a3+2b33a2b+2ab2. 6.已知 a,b,c0,且互不相等 ,abc=1,證明abc2111.abc7.已知 ab0,求證 : ab2a2babab.8a8b8.2022 無錫模擬 設(shè) a,b,c 是不全相等的正實(shí)數(shù). 求證 :lga2blgb2clgc2algalgblgc.59.已知 a,b,cR,

2、fx=ax2+bx+c. 如 a+c=0,fx 在-1,1 上最大值為2,最小值為 -2 , b求證 :a 0 且| a |Tn. 答案解析滿意 a1=2,an-1=anan+1-1,bn=an-1, 數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 Sn. 1.【證明】方法一:a1aaa1a1aaa1a 1,1a11a1a1aaa1,a-10,且 a-1a+1, a 1 a 1, a 1 a 1 0, a 1 a a a 12,a-11. logaa-10,loga+1a0. logaa1logaa1logaa12=log a2 a12, 由于loga 1a=logaa-1 logaa+122logaa212l

3、og a22=1, 即logaa1loga 1a2,0logaa2-10, logaa-1loga+1a. 4.【解析】 1f x=r-rxr-1=r1-xr-1, 令 fx=0, 解得 x=1. 當(dāng) 0 x1 時,fx1 時,fx0, 所以 fx 在1,+內(nèi)是增函數(shù) . 故函數(shù) fx 在 x=1 處取得最小值f1=0. 2由1知 ,當(dāng) x0,+時 ,有 fx f1=0, 即 xrrx+1-r.如 a1,a2 中至少有一個為0,就b a ab2a1b1+a2b2 成立 ; 2如 a1,a2 均不為 0,又 b1+b2=1,可得 b2=1-b1,于是在中令x=a 1,r=b1,可得a 11bb1

4、a 1+1-b1, b a ab2a1b1+a2b2.a2a2a 2即b a a1 b 12a1b1+a21-b1,亦即b a ab 22a1b1+a2b2. 綜上 ,對 a10,a20,b1,b2 為正有理數(shù)且b1+b2=1,總有232 中命題的推廣形式為: 設(shè) a1,a2, ,an 為非負(fù)實(shí)數(shù) ,b1,b2, ,bn 為正有理數(shù) . 如 b1+b2+ +bn=1, 就b a ab 22ab nna1b1+a2b2+ +anbn.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下: 當(dāng) n=1 時,b1=1,有 a1a1,成立 . 假設(shè)當(dāng) n=k 時,成立 ,即如 a1,a2, ,ak 為非負(fù)實(shí)數(shù) ,b1,b2, ,bk

5、 為正有理數(shù) ,且 b1+b2+ +bk=1, 就b a ab 22ab kka1b1+a2b2+ +akbk. 當(dāng) n=k+1 時,已知 a1,a2, , ak,ak+1 為非負(fù)實(shí)數(shù) ,b1,b2, ,bk,bk+1 為正有理數(shù) , 且 b1+b2+ +bk+bk+1=1, 此時 0bk+10, 于是b ba a 22b a ab k 1k 1=b a ab2abkab k 1k 1b2b ka11b 1k 12kb 1b2bk=1 b a 1k 11 b a 2k 11 b a kk 11 b k 1a bk 1k 1,因1b 1k 11b2k 11bkk 11,由歸納假設(shè)可得b 1bbb

6、1 b a 1k 1a 1 b2k 11 b a kk 1bb2bka b 1a b 2a bk+a21bk 1+ +ak1bk 1=1bk 1, 從而b ba a 22b a abk 1a b1a b 2bk 1a bk1 bk 1ab k 1k 1.1k 1又因 1-bk+1+bk+1=1, 由得a b1a b2k 1a b k1 b k 1ab k 1k 1a b1a b2bk 1a bk1-bk+1+ak+1bk+1, 1b1從而b ba a 22ab k 1k 1a1b1+a2b2+ +akbk+ak+1bk+1. 故當(dāng) n=k+1 時,成立 , 由可知 ,對一切正整數(shù) n,所推廣的

7、命題成立 . 說明 :3 中假如推廣中指出式對 n2 成立 ,就后續(xù)證明中不需討 論 n=1 的情形 . 5.【證明】 3a3+2b3-3a2b+2ab2=3a2a-b+2b2b-a=3a2-2b2a-b. 由于 ab0,故 a-b0,3a2-2b22a2-2b2=2a+ba-b 0, 所以 3a2-2b2a-b 0,即 3a3+2b33a2b+2ab2. 6.【證明】方法一:a,b,c0,且互不相等 ,abc=1. 121121111.111121abcbcacabbcacababc即abc111.abc11212 c,方法二 :abab11211 2 a,c1212 b,bcbcaac11

8、1abc.以上三式相加 ,得abc又 a,b,c 互不相等 ,等號不成立 , 即abc111.2,abc7.【證明】要證原不等式組成立, 只需證ab2a+b-2 abab4a4b即證ab2ab2ab2,2 a2 b只需證ababab,2 a2 b即證ab1ab,2 a2 bbaba即a 1b ,只需證a 1b0,a 1lga+lgb+lgc, ab bc caca0,只需證 :lg222lgabc, ab bc ca只需證 :222abc. a2bab0,b2cbc0,c2aab bc ca. 222 abc0 成立 . a,b,c 為不全相等的正數(shù),上式中等號不成立 原不等式成立 . 方法二

9、 : a,b,c正實(shí)數(shù) , a2bab0,b2cbc0,c2aca0,又 a,b,c 為不全相等的實(shí)數(shù), ab bc ca222abc, ab bc calg222lgabc, 即lga2blgb2clgc2alga+lgb+lgc. 9.【證明】由a+c=0 得 c=-a, fx=ax2+bx-a. b假設(shè) a=0 或| a |2. 1由 a=0,得 fx=bx, 依題意知 b 0,又 fx 在-1,1 上是單調(diào)函數(shù) , fx 的最大值為 |b|,最小值為 -|b|. 5于是 |b|=2,-|b|=-2 ,明顯沖突 ,故 a 0. 2由|bba |2,得|-2a |1 且 a 0, 因 fx 在-1,1 上單 調(diào),故其最大值為 |b|,最小值為