高中數(shù)知識點(diǎn)大全

1、高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論大全 必修 11,集合的含義與表示 新課標(biāo) 一般地,我們把爭辯對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合；它具有三大特性： 確定性,互異性,無序性；集合的表示有列舉法,描述法； 描述法格式為： 元素 |元素的特點(diǎn) ,例如 x | x 5, 且 x N 2,常用數(shù)集及其表示方法 （ 1）自然數(shù)集 N（又稱非負(fù)整數(shù)集） ： 0, 1, 2, 3, （ 2）正整數(shù)集 N * 或 N+ ：1, 2, 3, （ 3）整數(shù)集 Z ： -2, -1,0, 1, （ 4）有理數(shù)集 Q ： 包含分?jǐn)?shù),整數(shù),有限小數(shù)等 （ 5）實(shí)數(shù)集 R：全體實(shí)數(shù)的集合 （ 6）空集 ：不含任何元素的集合

2、 3,元素與集合的關(guān)系：屬于,不屬于 例如： a 是集合 A 的元素,就說 a 屬于 A,記作 a A 4,集合與集合的關(guān)系：子集,真子集,相等 （ 1）子集的概念 假如集合 A 中的每一個(gè)元素都是集合 B 中的元素, 那么集合 A 叫做集合 B 的子集 如圖 1,記 作 A B 或 B A . Q 的元素,那么 P 不包含于 Q, B A 或 A,B 如集合 P 中存在元素不是集合 記作 P Q 圖 1 （ 2）真子集的概念 如集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一個(gè)元素不屬于 A, 那么集合 A 叫做集合 B 的 真子集 如圖 2.A B 或 B A . B A 圖 2 （ 3）

3、集合相等：如集合 A 中的元素與集合 B 中的元素完全相同就稱集合 A 等于集合 B, 記作 A=B. A B, B A A B 5,重要結(jié)論（ 1）傳遞性：如 A B , B C ,就 A C（ 2）空 集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集 . 6,含有 n 個(gè)元素的集合 , 它的子集個(gè)數(shù)共有 2 n 個(gè)；真子集有 2 n 1 個(gè)；非空子集有 2 n 1 個(gè) 即 不計(jì)空集 ；非空的真子集有 2 n 2 個(gè). 7,集合的運(yùn)算：交集,并集,補(bǔ)集 A B （ 1）一般地,由全部屬于 A 又屬于 B 的元素所組成的集合 ,叫做 A,B 的交集 記作 A B （讀作 A 交 B）,即 A B=

4、x| x A,且 x B （ 2）一般地, 對于給定的兩個(gè)集合 A,B 把它們?nèi)康脑夭⒃谝黄鹚M成的集合 ,叫做 A,B 的并 A B 第 1 頁,共 18 頁集記作 A B （讀作 A 并 B）,即 A B= x| x A,或 x B （ 3）如 A 是全集 U 的子集,由 U 中不屬于 A 的元素構(gòu)成的集合, 叫做 A 在 U 中的補(bǔ)集,記作 CU A , CU A x | x U, 且x A 的情形； A CU A A 注：爭辯集合的情形時(shí),不要發(fā)遺忘了 8,映射觀點(diǎn)下的函數(shù)概念 假如 A,B 都是非空的數(shù)集, 那么 A 到 B 的映射 f ：A B 就叫做 A 到 B 的函數(shù), 記

5、作 y=fx , 其中 xA,y B. 原象的集合 A 叫做函數(shù) y=fx 的定義域, 象的集合 C（ C B）叫做函數(shù) y=fx 的值域 . 函數(shù)符號 y=fx 表示“ y 是 x 的函數(shù)”,有時(shí)簡記作函數(shù) fx. 9,分段函數(shù)：在定義域的不同部分,有不同的對應(yīng)法就的函數(shù)；如 y 2x 1 2 x 0 x 3 x 010,求函數(shù)的定義域的原就： （解決任何函數(shù)問題,必需要考慮其定義域） 分式的分母不為零； 如 : y 1 ,就 x 1 0 x 1 偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零； 如 : y 5 x,就 x 0對數(shù)的底數(shù)大于且不等于； 如: y loga x 2, 就 5 0 且 1對數(shù)的真

6、數(shù)大于； 如 : y loga x 2, 就 a a 指數(shù)為的底不能為零； 如 : y m x x m1 2 0 011,函數(shù)的奇偶性（在整個(gè)定義域內(nèi)考慮） 1 , 就 （ 1）奇函數(shù)中意 f x f x , 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱； （ 2）偶函數(shù)中意 f x f x , 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱； 注：具有奇偶性的函數(shù) ,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱 ;如奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義 ,就 f 0 0依據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類： 奇函數(shù), 偶函數(shù), 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù), 非奇非偶函數(shù)； 12,函數(shù)的單調(diào)性（在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)考慮） 當(dāng) x1 x2 時(shí),都有 f x1 f x2 ,就 f x 在該區(qū)

7、間上是增函數(shù),圖象從左到右上升； 當(dāng) x1 x2 時(shí),都有 f x1 f x2 ,就 f x 在該區(qū)間上是減函數(shù),圖象從左到右下降； 函數(shù) f x 在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù),那么說 單調(diào)（增 /減）區(qū)間 13,一元二次方程 2 ax bx c 0 a 0 f x 在該區(qū)間具有單調(diào)性,該區(qū)間叫做 2 b b 4ac （ 1）求根公式 : x 1,2 2a （ 3） 0 時(shí)方程有兩個(gè)不等實(shí)根； （2）判別式： b24ac x 0 時(shí)方程有一個(gè)實(shí)根； 0 時(shí)方程無實(shí)根； （ 4）根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理 : x1 x2 b, x1 x2 c aa14,二次函數(shù)：一般式 y ax 2bx c a 0

8、； 兩根式 y a x x x x a 0 （ 1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2a b , 4ac b 4a 2 ；（ 2）對稱軸方程為： x= b； 2a y 0第 2 頁,共 18 頁2（ 3）當(dāng) a 0 時(shí),圖象是開口向上的拋物線,在 x= b處取得最小值 4 ac b2a 4a 2當(dāng) a 0 時(shí),圖象是開口向下的拋物線,x= b處取得最大值 4ac b在 2a 4 a （ 4）二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和判別式 的關(guān)系： 0 時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn)； 0 時(shí),有一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)） ； 0 時(shí),無交點(diǎn)； 15,函數(shù)的零點(diǎn) 使 f x 0 的實(shí)數(shù) x0 叫做函數(shù)的零點(diǎn)；例如 x0 1 是函數(shù) f x x

9、21 的一個(gè)零注：函數(shù) y f x 有零點(diǎn) 函數(shù) y f x 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) 方程 f x 點(diǎn)； 0 有實(shí)根 16,函數(shù)零點(diǎn)的判定： 假如函數(shù) y f x 在區(qū)間 a,b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線, 并且有 f a f b 0 ；那 么,函數(shù) y f x 在區(qū)間 a, b 內(nèi)有零點(diǎn),即存在 c a, b , 使得 f c 0 ； 17,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 （ a 0, m, n N,且 n 1 ） m 3 m 3（ 1） a n n a m . 如 x 3 x 2 ； 2 a na n 1m n 1a m . 如 1x 3 x 2；（ 3） n a n a ； n n n n a, a 0

10、（ 4）當(dāng) n 為奇數(shù) a a ； 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí), a | a | . 時(shí), a, a 018,有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（ a 0, r , s Q ） （ 1） a ra s a r s ； （ 2） a r s a rs ； （ 3） ab ra b r r 19,指數(shù)函數(shù) y a（ a 0 且 a 1）,其中 x 是自變量, a 叫做底數(shù),定義域是 Ra 1 0 a 1 y y 圖 象 1x 1x 0性 （ 1）定義域： R0（ 2）值域：（ 0, +） 質(zhì) （ 3）過定點(diǎn)（ 0, 1）,即 x=0 時(shí), y=1 （ 4）在 R 上是增函數(shù) （ 4）在 R 上是減函數(shù) b 20,如 a

11、N ,就 叫做以 為底 N的對數(shù)；記作： log a Nb（ a 0,a 1 , N0 ） 第 3 頁,共 18 頁其中, a 叫做對數(shù)的底數(shù), N 叫做對數(shù)的真數(shù)； 注：指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式： log NbabN a 0, a 1, N 0 21,對數(shù)的性質(zhì) （ 1）零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù),即 loga N中 N0 ； Nln N （ 2） 1 的對數(shù)等于 0,即 loga 1 0； 底數(shù)的對數(shù)等于 1,即 log a a 122,常用對數(shù) lg N ：以 10 為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),記為： log10 N lg N 自然對數(shù) ln N ：以 ee=2.71828 為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),記

12、為： log e log a N 23,對數(shù)恒等式： a N24,對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（ a 0, a 1,M 0, N0） 1 loga MN loga Mloga N;2 log a Mlog a M log a N ; N3 log aMnnlog M n R （留意公式的逆用） 25,對數(shù)的換底公式 log a N log m N a 0 , 且 a 1 , m0 , 且 m1, N 0 . log m a 推論 或 log a b 1； n log am b nlog a b . log b a m26,對數(shù)函數(shù) y log a x（ a0 ,且 a 1）：其中, x 是自變量, a叫做底

13、數(shù), 定義域是 0, a 1 0 a 1y 圖像 x 0 1 x 0 1定義域： 0, 值域： R 性質(zhì) 過定點(diǎn) 1,0） （ 增函 減函數(shù) 0 x1 時(shí), y0 0 x0 取值范疇 x1 時(shí), y0 x1 時(shí), y 0 時(shí),有 x a2 x a2ax a . 小于取中間 第 12 頁,共 18 頁x a2 x a2x a 或 x a . 大于取兩邊 2 ,解一元二次不等式 2 ax bx c 0, a 0 的步驟： 求判別式 b 2 4ac 000一個(gè)實(shí)根 沒有實(shí)根 求一元二次方程的解： 兩相異實(shí)根 畫二次函數(shù) y 2 ax bx c 的圖象 結(jié)合圖象寫出解集 2 ax bx c 0 解集

14、x x x2 或 x x1 x x bR02a 2 ax bx c 0 解集 x x 1x x 2R 恒成立 2 注： ax bx c 0 a 0 解集為 R2 ax bx c 0 對 x （ 3）高次不等式：數(shù)軸標(biāo)根法 奇穿偶回,大于取上,小于取下 （ 4）分式不等式：先移項(xiàng)通分,化一邊為 0,再將除變乘,化為整式不等式,求解； 如解分式不等式 x 11 ：先移項(xiàng) x 110; x 1 通分 x x 0; Ax By C0 x x 再除變乘 2 x 1x 0 ,解出； 直線 87,線性規(guī)劃： （ 1）一條直線將平面分為三部分（如圖） ： Ax By C0By C0（ 2）不等式 Ax By

15、C0 表示直線 Ax By C0Ax 某一側(cè)的平面區(qū)域,驗(yàn)證方法：取原點(diǎn)（ 0, 0）代入不 等式,如不等式成立,就平面區(qū)域在原點(diǎn)所在的一側(cè)；假如 直線恰好經(jīng)過原點(diǎn),就取其它點(diǎn)來驗(yàn)證,例如取點(diǎn)（ 1, 0）； （ 3）線性規(guī)劃求最值問題：一般情形可以求出平面區(qū)域各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù) z ,最 大的為最大值； 選修 1-188,充要條件 第 13 頁,共 18 頁（ 1）如 p q ,就 p 是 q 充分條件, q 是 p 必要條件 . （ 2）如 p q ,且 q p ,就 p 是 q 充要條件 . 注：假如甲是乙的充分條件,就乙是甲的必要條件；反之亦然 . 89,規(guī)律聯(lián)結(jié)詞； “ p

16、或 q”記作： p q; “p且 q”記作： p q;非 p記作： p90,四種命題： 原命題：如 p,就 q 逆命題：如 q,就 p 否命題：如 p,就 q 逆否命題：如 q,就 p留意：（1）原命題與逆否命題同真同假,但逆命題的真假與否命題之間沒有關(guān)系； （2） p 是指命題 P 的否定,留意區(qū)分“否命題” ；例如命題 P：“如 a那么 P 的“否命題”是： “如 a 0 ,就 b 0 ”,而 p 是：“如 a 0 ,就 b0 ,就 b0 ”, 0”； 91,全稱命題： 含有“任意”,“全部” 等全稱量詞 （記為 ）的命題, 如 P： x 2 R, x 1 0特稱命題：含有“存在” ,“有

17、些”等存在量詞（記為 ）的命題,如 q： x R, x21注：全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是全稱命題, 如上述命題 p 和 q 的否定： p： mR,m 2 1 0 , q： x 2 R, x 192,橢圓 定義：如 F1, F2 是兩定點(diǎn), P 為動(dòng)點(diǎn),且 PF1 PF2 2a a 為常數(shù) 就 P 點(diǎn)的軌跡是橢圓； 標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在 x 軸: 2 x 2 y 1 a b0 ； 焦點(diǎn)在 y 軸 : 2 y 2 x 1 a b0 ； a 2 b 2 a 2 b 2 長軸長 = 2a ,短軸長 =2b 焦距： 2c 恒等式： a 2-b 2=c2 離心率 ： e c a93,雙曲線 定

18、義：如 F1, F2 是兩定點(diǎn), PF1 PF2 2a （ a 為常數(shù)）,就動(dòng)P 的軌跡是雙曲線； 點(diǎn) 圖形：如圖 標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在 x 軸 : 2 x 2 y 1 a 0, b 0 焦點(diǎn)在 y 軸 : a 2 b2 1 a 0, b 0 2 y 2 x a2b2實(shí)軸長 = 2a ,虛軸長 =2b, 焦距： 2c 恒等式： a2+b 2=c2 離心率 ： e c b x ；當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸時(shí),漸近線方程為 ay ax a漸近線方程： 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸時(shí),漸近線方程為 y b第 14 頁,共 18 頁等軸雙曲線：當(dāng) ab 時(shí),雙曲線稱為等軸雙曲線,可設(shè)為 2 x 2 y ； 94,拋物線 定義

19、：到定點(diǎn) F 距離與到定直線 l 的距離相等的點(diǎn) M 的軌跡是拋物線（如左下圖 MF=MH ）； 圖形： HM,0 F F p 2準(zhǔn)線 方程 2 y 2 px, p 0 2 y 2 p x, p2 0 x 2 p y, p 2 0 x 2 p y, p 0 1 2 x 焦點(diǎn)： F p ,0 F 2 p,0 F 0, p 2 F 0, p22準(zhǔn)線方程： x px py py p2222留意：幾何特點(diǎn)：焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離 = p；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 = p ； 295導(dǎo)數(shù)的幾何意義： / f x0 表示曲線 f x 在 x x0 處的切線的斜率 k ； 導(dǎo)數(shù)的物理意義： / f x0 表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)

20、刻 x0 處的瞬時(shí)速度； 96,幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1 C 0 （ C 為常數(shù)） . 2 xn n nx 1 n Q . 3 sin x cos x .4 cos x sin x . 5 ln x 1x ； a x a ln a . 6 x e x e ;. 1（ 7） x x 97,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法就 （1） u vu v . （ 2） uv uv uv . u （ 3） v u v uv v 0 . 2 v 98函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間（ a , b）內(nèi),假如 f x 0 ,那么函數(shù) y f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 0 0極大值 假如

21、 f x 0 ,那么函數(shù) y 注：如函數(shù) y f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,就 f x 如函數(shù) y f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,就 f x 99,判別 f x0 是極大（?。┲档姆椒?1 求導(dǎo) f x ； 第 15 頁,共 18 頁（ 2）令 f x =0,解方程,求出全部實(shí)根 x0 微小值 （ 3）列表,判定每一個(gè)根 x0 左右兩側(cè) f x 的正負(fù)情形： 假如在 x0 鄰近的左側(cè) f x 0 ,右側(cè) f x 0 ,就 f x0 是極大值； 假如在 x0 鄰近的左側(cè) f x 0 ,右側(cè) f x 0 ,就 f x0 是微小值 . 100,求函數(shù)在閉區(qū)間 a , b 上的最值的步驟： （ 1）求

22、函數(shù) f x 的全部極值； （ 2）求閉區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值 f a, f b ； （ 3）將各極值與 f a, f b 比較,其中最大的為最大值,最小的為最小值； 留意：（1）無論是極值仍是最值,都是函數(shù)值,即 f x0 ,千萬不能寫成導(dǎo)數(shù)值 / f x0 ； （2）如在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,就不用與端點(diǎn)比較也知道這個(gè)極值就是函數(shù)的最值； 選修 1-2101,復(fù)數(shù) z abi ,其中 a 叫做實(shí)部, b 叫做虛部 a bi c di a c, b d . （ a, b, c, d R ） 1 復(fù)數(shù)的相等 2 當(dāng) a=0,b 0 時(shí) ,z=bi 為純虛數(shù) ; 3 當(dāng) b=0 時(shí),z=a 為實(shí)數(shù) ;

23、4 復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)是 z a bi 2 25 復(fù)數(shù) z a bi 的模 | z |= a b . 6i 2=-1, （ -i ） =-1. 27 復(fù)數(shù) z a bi 對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn) a, b , 102,復(fù)數(shù)的四就運(yùn)算法就 1 加： a bi c di a c b d i ; ） 2 減： a bi c di a c b di ; 3 乘： a bi c di ac bd bc ad i ; 類似多項(xiàng)式相乘 4 除： a c bi a bi c di （分子,分母乘分母共軛復(fù)數(shù),此法稱為“分母實(shí)數(shù)化” di c di c di 103,常用不等式： （ 1）重要不等式 : 如 a,b

24、R ,就 a 2 （ 2）基本不等式 : 如 a 0,b 0 ,就 ab b2 2ab 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取“ =”號 2 ab 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取“ =”號 基本不等式的適用原就可口訣表示為：一正,二定,三相等 當(dāng) ab 為定值時(shí), a b 有最小值,簡稱“積定和最小” 當(dāng) a b 為定值時(shí), ab 有最大值,簡稱“和定積最大” 104,推理： （ 1）合情推理：包含歸納推理（從特殊到一般）和類比推理（從特殊到特殊） （ 2）演繹推理：從一般到特殊；三段論是演繹推理的一般模式,包括：大前提（已知的一般原 第 16 頁,共 18 頁理）,小前提（所爭辯的特殊情形） 105,證明： ,結(jié)論

25、（依據(jù)一般原理,對特殊情形得出的判定） （ 1）直接證明：包括綜合法（又叫由因?qū)Чǎ┖头治龇ǎㄓ纸袌?zhí)果索因法） （ 2）間接證明：又叫反證法,通常假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最終得出沖突,因此 說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立； 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 106,極坐標(biāo)系：其中 | OM | 點(diǎn) M x, y 極徑 （ 1）如圖,點(diǎn) M 的極坐標(biāo)為 , 極點(diǎn) O 極角 y 極軸 x x 與 y 的關(guān)系, （ 2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式： x x cos , y sin ; 22 x 2 y , tan y x 107,參數(shù)方程形如 x f t , t 為參 gt 數(shù) （ *） y 參數(shù)方程

26、是借助參數(shù) t ,間接給出 x, y 之間的關(guān), 而一般方程是直接給出 系 如 x y 1 0 （1）圓 2 x 2 y 2 r 的參數(shù)方程是 x r cos , 為參數(shù) y r sin （2）橢圓 2 x 2 y 1 的參數(shù)方程 x acos , 為參數(shù) , a b0 a2b2y bsin （3）參數(shù)方程與一般方程的互化：消去參數(shù)方程的參數(shù),得到一般方程； 2 2消去參數(shù)的方法有：公式法：用公式 sin cos 1 等 代入法：方程（ * ）中,由 x f t 解出 t h x ,代入 y g t 加減消元法：方程（ * ）中,兩式相加（減）消去參數(shù) t x a r c o s 請 同 學(xué) 們 試 著 將 圓 的 參 數(shù) 方 程 , 為 參 數(shù) , 化 為 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 y b r si n ,說說你用的是什么方法？ 提示：解參數(shù)方程問題,通常先將參數(shù)方程化為一般方程,再求解； 幾何證明選講 108平行線等分線段定理：假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上 截得的線段也相等； 第 17 頁,共 18 頁推論 1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊 推論 2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn),且與底邊平行的直線平分國一腰