六同第三講直線型面積計算

1、,.第三講直線型面積計算教課目的：1.掌握等量代換和割補法的性質(zhì)與特色2.靈巧運用這兩種方法決求直線型圖形的面積。3.培育學生剖析問題解決問題的能力教課重難點：割補法在求圖形面積中的應用。教課方法：講練教課器具：講義教課過程:一、故事導入一位農(nóng)民請了工程師、物理學家和數(shù)學家來，想用最少的籬笆圍出最大的面積。工程師用籬笆圍出一個圓，聲稱這是最優(yōu)設計。物理學家將籬笆拉開成一條長長的直線，以為圍起半個地球總夠大了。（講到這里，老師們能夠停下來問問同學們還有更好的方法嗎？讓學生們暢所欲言）揭曉答案，數(shù)學家好好嘲諷了他們一番。他用極少的籬笆把自己圍起來，而后說：“我此刻是在外面?！睅煟哼@個故事告訴我們想

2、問題不可以故步自封，而要把思路發(fā)散開來。就像我們同學從3年級開始就已經(jīng)學習了長方形、正方形、梯形、三角形等圖形，關于他們的面積公式必定是熟記于心。（這里能夠帶著學生復習一下邊積公式：長方形S=ab；正方形S=aa；梯形S=(a+b)h2；三角形S=ah2。另外老師能夠準備一些規(guī)則以及不規(guī)則的圖形卡片，指引學生發(fā)現(xiàn)生活中實質(zhì)有好多平面圖形其實不是規(guī)則的圖形，那么我們該怎樣來求它們的面積呢？這就需要必定的方法了）下邊就隨著老師走進今日的數(shù)學講堂，學完今日的內(nèi)容大家就會豁然爽朗了！那么我們一同來學習-直線型面積計算二、新課學習,.例1：（原例3）、已知長方形ABCD的面積是40平方厘米，AE=5cm

3、，求BD的長。DCE5cmAB分析：能夠很簡單發(fā)現(xiàn)BD是三角形ABD的一條邊，又因為AE為BD的高，那么在已知高的狀況下怎樣求底邊？利用公式三角形S=ah2變形得a=s2h。能夠求得BD。三角形ABD的面積：402=20平方厘米BD的長：2025=8厘米小結：此題采納公式變形的方法計算出結果，稱之定義法。例2：（原例1）、三角形ABC的面積為36平方分米,DC=2BD,求暗影部分的面積。ABDC分析：由題意DC=2BD，能夠理解成BD被分紅3份，BD占1份，DC占2份，又因為三角形ADC和三角形ABD等高，因此三角形ADC是三角形ABD的2倍。36（1+2）2=24平方分米過渡：來看下一個例題

4、可不可以夠用這個方法呢？例3、如圖，在三角形ABC中，D是BC的中點，AE=3ED，三角形ABC的面積為96平方厘米，求陰影部分。,.AEBDC分析：D為三角形ABC的底邊BC的中點，BD=CD，并且三角形ABD和ADC等高，因此三角形ABD和ADC面積相等。也能夠理解為AD把三角形ABC分紅了面積相等的兩部分，三角形ABD占一份。同樣的，在三角形ABD中，底邊AD上有這樣的關系-AE=3ED，說明AD被分紅了4平分，ED占一份，AE占3份，即三角形ABD被分紅了面積相等的4部分，三角形ABE占3份。SABD=962=48平方厘米4843=36平方厘米小結：經(jīng)過以上兩個例題，我們知道了同高三角

5、形面積的份數(shù)關系等于底的分數(shù)關系（因為有些學生不知道比，因此老師們能夠視班里學生狀況總結）下邊我們看下練習7練習：以下列圖，已知在三角形ABC中，BE=3AE，CD=2AD。若三角形ADE的面積為1平方厘米。求三角形ABC的面積。AAEEDDBCBC分析：這一題和方才的兩題就有點差別了，題目中給出了邊的份數(shù)關系和小三角形ADE的面積。我們要求大三角形ABC的面積。連結BD，我們?nèi)允菑拇笕切伍_始剖析：CD=2AD，說明AC被分紅了3等份，CD占2份，即三角形ABC被分紅了面積相等的3等份，三角形ABD占一份；BE=3AE,說明AB被分紅,.了4等份，AE占一份，即三角形ABD的面積被分紅了4等

6、份，三角形ADE占一份。這樣我們就找到了SADE與SABC的關系。1（3+1）=4（平方厘米）4（2+1）=12（平方厘米）例4、下列圖是由大、小兩個正方形構成的，小正方形的邊長是4厘米，大正方形邊長為5厘米，求三角形AABC的面積。ABBFECDFECD分析：這個題目只有小正方形的邊長是已知的，而三角形ABC中有一部分在小正方形中，還有一部分在大正方形中。假如我們能經(jīng)過等量代換把三角形ABC所有都變換到小正方形中就好解決了。連結AD，明顯ADBC,接下來怎么轉(zhuǎn)變呢？我們把梯形ABCD獨自取出來議論，ABFDC發(fā)現(xiàn)，三角形ABD和ACD有公共的底AD，且它們的高相等（因為ADBC）。因此，SA

7、BD=SACD，而這兩個三角形有一個公共的部分-三角形ADF，依據(jù)我們前面講的，等式兩邊都減去SADF后所得結果仍舊相等，聯(lián)系圖形，即SABF=SCDF。這是有名的蝶形定理中的一個性質(zhì)。而后，我們就能夠把三角形ABC所有轉(zhuǎn)變到小正方形中了，SABC=SBCD。SABC=SBCD=442=8（平方厘米）答：三角形ABC的面積為8平方厘米。,.小結：這一題我們連結AD，利用兩個正方形的對角線，找出一個梯形，而后再進行等量代換。把三角形ABC中的ABF割下來補到三角形CDF中，這樣就用到了我們今日要學習的第二種方法-割補法，把不能直接求的面積轉(zhuǎn)變?yōu)槟軌蚯蟮拿娣e。這一題還要注意蝶形定理的運用。例5：兩

8、個相同的直角三角形以下列圖所示（單位：厘米）重疊在一同，求暗影部分的面積.ADB3OC2EF10分析：先看一個簡單的加減法算式13=5+8，假如等式的兩邊都減去3，結果還會不會相等呢？（發(fā)問）其實這里面隱含著一個很重要的性質(zhì)-兩個相等的量同時減去一個相同的量，所得結果仍舊相等，簡稱同減。此刻我們來看這一題，暗影部分的面積不可以直接求出，能夠轉(zhuǎn)變?yōu)锳BC與DOC的面積差。ABC和DEF是相同的三角形，因此SABC=SDEF；從圖中看出，DOC是ABC和DEF的公共部分。依據(jù)我們前面的剖析，能夠得出SABC-SDOC=SDEF-SDOC，因此S陰=SOEFC。SOEFC=（10+7）22=17（平

9、方厘米）答：暗影部分的面積為17平方厘米。例6、以下列圖所示，在一個等腰直角三角形中，削去一個三角形后，剩下一個上底長5厘米、下地長9厘米的等腰梯形（暗影部分）。求這個梯形的面積。,.分析：已知條件只給出了大、小兩個直角三角形的斜邊長，但是求三角形的面積需要知道直角邊長，怎么辦呢？能不可以想方法把直角邊轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯沁吥?？題目所給的三角形特別特別，等腰直角三角形，其底角為45度。我們將這個三角形沿著此中一條直角邊旋轉(zhuǎn)180度，以后獲得下列圖：ADBEFC我們發(fā)現(xiàn)，三角形ABC和DEF仍舊是等腰直角三角形，且這兩個三角形的面積能夠直接得出。然后依據(jù)我們方才學習的等量代換的思想，能夠計算出暗影部分的面

10、積，而后再得出題目所求。SABC=992=40.5（平方厘米）SDEF=552=12.5（平方厘米）S陰=40.5-12.5=28（平方厘米）S梯=282=14（平方厘米）這類方法我們利用了這里特別的45度角，除了利用補圖形的方法外，還有沒有其余方法呢？求三角形的面積需要知道底邊長和對應邊上的高，我們給這個等腰三角形作高，大家有沒有什么發(fā)現(xiàn)呢？（引導學生，讓他們學會利用等腰直角三角形特別的45度角）以下列圖MN垂直于AC，三角形CNM和FHM也都是等腰直角三角形，MN=CN=AC2=4.5（厘米）MH=FH=CD2=2.5（厘米）HN=4.5-2.5=2（厘米）S梯=（5+9）22=14（平方

11、厘米）,.ADNHMFC小結：這一題我們有兩種方法，都是利用了等腰直角三角形中特別的45度角，或許是旋轉(zhuǎn)補圖形，或許是作高。下邊大家看練習題8練習：在下列圖所示的等腰直角三角形中，剪去一個三角形后，剩下的部分是一個直角梯形（暗影部分）。已知梯形的面積為36平方厘米，上底為3厘米，求下底和高。分析：這一題和例題的條件很相像，不過例題中平行于底邊剪掉一個三角形，而此題中則平行于一條直角邊剪掉一個三角形。依據(jù)方才的學習，大家應當平等腰直角三角形中特別的45度角很有好感了！因為它對我們解題很有幫助。與例題近似，我們先補圖形，以下列圖：AEOFBDC我們發(fā)現(xiàn)，三角形AOF，AEF，ABC都是等腰直角三角

12、形。因為題目中告訴了直角梯形的上底，即OF=OE=3，AO=3，因此三角形AEF的面積可求。等腰梯形EFCB的面積也可求，這樣就能求出三角形ABC的面積。依據(jù)三角形的面積計算公式，能夠求出BC，AD，而后再求CD，OD，即下底和高。（3+3）32=9（平方厘米）362+9=81（平方厘米）,.BCAD2=CDAD=CDCD=81（平方厘米）CD=AD=9（厘米）OD=9-3=6（厘米）答：下底為9厘米，高為6厘米。例7、在下列圖的直角三角形中有一個矩形，求矩形的面積。46分析：求矩形的面積我們一定知道其長和寬，而題目給出的條件與所求沒有任何關系，因此我們要想方法把已知條件轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀兡軌蛴玫牧俊?/p>

13、因為題目給出的是一個直角三角形，我們給它補一個相同的直角三角形，讓它變?yōu)橐粋€矩形，以下圖：GADEFOBCH我們發(fā)現(xiàn)，在矩形ABCD中，三角形ABC和ACD相等；在矩形AEOG中，三角形AOG和AOE相等；在矩形CFOH中，三角形COF和COH相等。依據(jù)等量代換的思想，SABC-SCOH-SAOE=SACD-SCOF-SAOG，即SBEOH=SDFOG。矩形DOFG的面積能夠有已知條件求出，因此得解。SBEOH=SDFOG=46=24,.小結：在這一例中，我們利用對稱的思想補圖形，而后再進行等量代換，得出題目所求。下邊大家看練習題9，用近似的方法試一試看。練習：在下列圖中，長方形AEFD的面積

14、是18平方厘米，BE長3厘米，求CD的長。CFDAEB分析：這一題和例題特別的近似，不過把已知和求解調(diào)動了。相同的，我們先要補圖形，如圖CHGDFMAEB和例題近似，在矩形ABGC中，三角形ABC和BGC相等；在矩形BEFM中，三角形BEF和BMF相等；在矩形CDFH中，三角形CDF和FHC相等。因此，SABC-SBEF-SCDF=SBGC-SBMF-SFHC，即SAEFD=SGMFHSGMFH=FMHF=BECDCD=183=6(厘米)過渡：是否是所有的圖形問題都能夠用這類對稱的思想解決呢？（發(fā)問）接下來我們看例8。例8、在下列圖中，平行四邊形ABCD的邊長長10厘米，直角三角形ECB的直角

15、邊EC長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。,.EFGADBC分析：相同的，我們先來看一個加法算式10=8+2，此刻我在等號的兩邊同時加上4，所獲得的新式子仍然相等嗎？在這個變化過程中相同的包括一個重要的性質(zhì)-兩個相等的量同時加上一個相同的量，所得結果仍舊相等，簡稱同加。此刻我們看這一題，平行四邊形的面積沒方法直接求出，能夠轉(zhuǎn)變?yōu)榘涤安糠峙c梯形FGCB的和。由已知條件，有這樣的等量關系：S陰=SEFG+10。由前面剖析的性質(zhì)，假如在等式的兩邊同時加上梯形FGCB的面積，等式仍舊建立，即SFGCB+S陰=SFGCB+SEFG+10。聯(lián)系圖形

16、，我們發(fā)現(xiàn)，等式的左側是平行四邊形ABCD的面積，右邊的（SFGCB+SEFG）是三角形BEC的面積，即SABCD=SBEC+10。SABCD=1082+10=50（平方厘米）答：平行四邊形的ABCD的面積為50平方厘米。小結：例8中的圖形面積都不可以直接求出，我們經(jīng)過轉(zhuǎn)變?yōu)槠溆嗫汕蟮膱D形才得以解決，這叫做等量代換，即一個量能夠用它相等的量來取代。此外，在這兩個例題中我們用到了兩條重要的性質(zhì)：兩個相等的量同時減去一個相同的量，所得結果仍舊相等；兩個相等的量同時加上一個相同的量，所得結果仍舊相等。這在此后的學習中也常常會用到，大家要掌握。下邊我們看下練習10。練習：在下列圖中，AB=8厘米，CD

17、=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面積大18平方厘米。求ED的長。,.DCEFAB分析：由已知得出等量關系，SAFB=SEFD+18，因此SAFB+SBCDF=SBCDF+SEFD+18，聯(lián)系圖形，發(fā)現(xiàn)等式左側就是直角梯形ABCD的面積，右側的（SBCDF+SEFD）就是直角三角形BEC的面積，即SABCD=SBEC+18。而直角梯形ABCD的面積我們能夠直接求出，從而計算出三角形BEC的面積，而后依據(jù)三角形的面積計算公式求出CE的長，最后計算ED的長。SABCD=（4+8）62=36（平方厘米）SBEC=36-18=18（平方厘米）SBEC=BCCE2CE=1826=6(厘

18、米)ED=6-4=2(厘米)答：ED的長為2厘米。總結：今日這節(jié)課但是大豐產(chǎn)，學習了好多解決直線型面積計算的方法，比方利用公式的變換、割、補、對稱、等量代換等思想，課后要好好復習，并把方法運用到實質(zhì)計算中去。好嗎？家庭作業(yè)練習題1，2，3，4，5、6板書設計直線型面積計算長方形S=ab正方形S=aa梯形S=(a+b)h2,.三角形S=ah2等量代換：同減；同加割補法：蝶形定理；等腰直角三角形45度角；一半模型；份數(shù)課后反?。壕毩暦€(wěn)固：1、（1）一塊長方形草坪，中間有兩條寬1米的走道，求植草（暗影部分）的面積。15-1）（10-1）=126平方米（2）已知：ABCD是長方形，AB4，BC6，AE3，CF1。（單位：厘米）求暗影部分的面積。ABEDFC342+362=15連BD平方厘米（3）、已知：在四邊形AECF中，AE和EC垂直，CF和AF垂直。AE8，AB7，CD4，CF10。（單位：厘米）求：暗影部分的面積。,.BFAEDC連AC842+7102=51平方厘米2、在直角三角形ABC中，AB=4cm,BC=3m,AC=5cm。求AC邊上的高BE的長。CE35B4A厘米435=2.43、以下列圖，已知在ABC中，BE3