文科經(jīng)管類微積分第五章

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第二十五講 不定積分的概念腳本編寫：教案制作：. 1 不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分法:積分法:一、原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)舉例所以sin x是cos x的原函數(shù). 因?yàn)?sin x)cos x , 提問:原函數(shù)的概念 不定積分的概念結(jié)論: 若F(x)是函數(shù)(x)的一個(gè)原函數(shù), 則 從而函數(shù)(x)的不定積分等于它的一個(gè)原函數(shù)加上一個(gè)任意常數(shù)C, 并稱C為積分常數(shù). 定義 函數(shù)(x)的全體原函數(shù)稱為(x)的不定積分，記為原函數(shù)的概念 F (x)f(x), 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)在區(qū)間I上的原

2、函數(shù). 不定積分的概念不定積分中各部分的名稱: - 稱為積分號(hào), f(x) - 稱為被積函數(shù), f(x)dx - 稱為被積表達(dá)式, x - 稱為積分變量. 定義 函數(shù)(x)的全體原函數(shù)稱為(x)的不定積分，記為 根據(jù)上面規(guī)定的記號(hào)， 求f(x)=3x2 的不定積分的問題就可以符號(hào)化地寫為： 原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 例1.因?yàn)閟in x 是cos x 的原函數(shù), 所以 例1.因?yàn)閟in x 是cos x 的原函數(shù), 所以下頁注1.求不定積分先求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).注2.不定積分是全體原函數(shù)的一般表達(dá)式.最后結(jié)果中不要忘記積分常數(shù)C.原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 例 求下列不定

3、積分原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 例2.合并上面兩式, 得到 解:下頁原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 每一個(gè)求導(dǎo)公式, 反過來就是一個(gè)求原函數(shù)的公式, 加上積分常數(shù)C就成為一個(gè)求不定積分的公式.原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 二、基本積分表下頁下頁 例5. 例4. 例6. 首頁 例4. 從不定積分的定義可知又由于F(x)是F (x)的原函數(shù), 所以 由此可見, 如果不計(jì)任意常數(shù), 則求導(dǎo)(微分)運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的. 首頁因?yàn)樵瘮?shù)的概念：F (x)f(x), 微分與積分的關(guān)系脫衣服，穿衣服。例3.設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且滿足試求解：因此原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 例3

4、. 設(shè)曲線通過點(diǎn)(1, 2), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程. 解: 設(shè)所求的曲線方程為yf(x), 則曲線上任一點(diǎn)(x, y)處, yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一個(gè)原函數(shù).故必有某個(gè)常數(shù)C使 f(x)x2C, 即曲線方程為 yx2C. 因所求曲線通過點(diǎn)(1, 2), 故21C, C1. 于是所求曲線方程為yx21. 下頁 切線斜率為 y=x2 y=x2+1 y=x21下頁 例3. 設(shè)曲線通過點(diǎn)(1, 2), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程. 解: 設(shè)所求的曲線方程為yf(x), 則曲線上任一點(diǎn)(x, y)處, 即曲

5、線方程為 yx2C. 因所求曲線通過點(diǎn)(1, 2), 故 21C, C1. 于是所求曲線方程為yx21. 切線斜率為f (x)2x, 作業(yè) P2011.6. 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第二十六講 不定積分的運(yùn)算法則腳本編寫：教案制作：5.2 不定積分的運(yùn)算法則上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和, 即 這是因?yàn)? f(x)g(x). 原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 一、不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和, 即 這是因?yàn)? f(x)g(x). 即 性質(zhì)2 求不定積分時(shí),

6、被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來, 即 這是因?yàn)? 注意：不相等而原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 例1. 也可以檢驗(yàn),例2. 例2. 例3. 求 解：當(dāng)被積函數(shù)可化成冪函數(shù)時(shí)，都要先把它化成冪函數(shù)的形式 例8. 下頁 例10. 例6解 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)時(shí)，要會(huì)用三角公式對(duì)被積函數(shù)作一些變換，然后再積分三角函數(shù)公式復(fù)習(xí)：根據(jù)以及二倍角公式有半角公式： 例14. 例15. =-4cot x+C . 例7解想想它是誰的導(dǎo)數(shù)？怎么做？ tan x x C . 例13. 例11. arctan x ln |x| C . 下頁 例12. 下頁利用加一項(xiàng)、減一項(xiàng)的方法.例3解利用加一項(xiàng)

7、、減一項(xiàng)的方法. 被積函數(shù)是有理函數(shù)時(shí),在求不定積分時(shí)將分子加一項(xiàng)再減去一項(xiàng),或?qū)⒎帜阜纸獠痖_,這種拆項(xiàng)法在求不定積分時(shí)是常用的方法,使用這些方法的目的是把復(fù)雜的有理函數(shù)變換成較簡單的函數(shù),然后再逐項(xiàng)積分.例5解, (a,b為常數(shù), ab)例2解絕對(duì)值作業(yè) P2041.(1)(3)(5)(7)(9)(11) (13)(15)(17)(19) 2. 3. 5. 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第二十七講 換元積分法(上)腳本編寫：教案制作：5. 3 換元積分法一、第一換元積分法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例 計(jì)算分析:此不定積分的被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù),在積分表中查不到.這是因?yàn)?/p>

8、被積函數(shù)cos2x的變量是“2x” , 與積分變量“x”不同.也許其理論依據(jù)為?湊“微分”法一、第一換元積分法第一換元積分公式 定理1 設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u), 且uj(x)可微, 則有換元公式 Fj(x)C. 下頁證: 利用不定積分的定義及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可. 例1. sin 2xC . 例2.下頁再如,注意到 d( x+C )= dx ,可以這樣計(jì)算下面的不定積分：微分法則 d(u+v)du+dv,例7解由于成立d(x2)=2xdx ,可以這樣計(jì)算下面的不定積分： 例3. 例4.下頁湊“微分”兩個(gè)函數(shù)乘積例6 求解: 例5. 例11.例5 求解:例9求解： 熟練之后, 變量代換就

9、可不必再寫出了. 例6. 求 即下頁, 其中a為常數(shù). 解： 想到公式例8. 求, 其中常數(shù)a0.解： 即想到公式 例9. 求 即下頁, 其中a為常數(shù). 解： 例5. =ln|cos x|C 下頁類似由于成立cosxdx=d(sinx),可以這樣計(jì)算下面的不定積分：補(bǔ)充積分公式 結(jié)束其中a為正常數(shù). 例12.下頁 以下是含三角函數(shù)的積分.例12解一般地,對(duì)形如這樣的不定積分若n,m至少有一個(gè)為奇數(shù)，則將奇次冪因子拆成一個(gè)偶次冪和一個(gè)一次冪之積,將一次冪因子與 湊微分,同時(shí)利用即可求解.例13.例14.下頁一般地,對(duì)形如這樣的不定積分若n,m至少有一個(gè)為奇數(shù)，則將奇次冪因子拆成例14.下頁對(duì)形如

10、這樣的不定積分若n,m同為偶數(shù)，合并,利用降冪,則利用然后再積分.書P210例5-38說明對(duì)形如這樣的不定積分若n,m同為偶數(shù)，合并,利用降冪,則利用然后再積分.例15解例21 求解:例13解例18解書P209 例5-32湊“微分”例14 求解法二湊“微分” 例10.下頁 例11. 解例8 求解常用的幾種湊微分的形式: 解例17 類似有:補(bǔ)充積分公式 結(jié)束其中a為正常數(shù).解例23例15作業(yè) P2211.2. (2)(4)(6)(8)(10)(12) (14)(16)(18)(20)(22)高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第二十八講 換元積分法(下)腳本編寫：教案制作：

11、5.3 換元積分法二、第二換元積分法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、第二換元積分法回代得: 用直接積分和湊微分法是不易計(jì)算此積分的.但 解:其理論依據(jù)為? 定理2 設(shè)xj(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù), 并且j(t)0. G(t)Ctj-1(x)是xj(t)的反函數(shù). 下頁第二換元積分公式 證略. 又設(shè)f j(t)j(t)具有原函數(shù)G(t), 則有換元公式:Gj1(x)C. 難求易求第二換元積分法第一換元積分法易求難求例24求解: 求這個(gè)不定積分的困難在于被積函數(shù)中有根式為了化去根式,我們令則于是再將 代回,得(1) 根式替換法 例33解例28解例28求解: 如果將展開,太復(fù)雜. 不如設(shè)則于是(2) 指

12、數(shù)式替換法 (2) 指數(shù)式替換法 例27求解:設(shè)則根式替換法與指數(shù)式替換法有時(shí)候可以聯(lián)合運(yùn)用.提示: 解:下頁(3) 三角替換法 例19, 其中常數(shù)a0.因此提示:txa 解:下頁例19, 其中常數(shù)a0.因此 解:提示:asect , 下頁例20, 其中常數(shù)a0.于是提示:txa 解:+C.下頁例20, 其中常數(shù)a0.提示: 解:下頁因此例21, 其中常數(shù)a0.提示:atxa 解:例21, 其中常數(shù)a0. 解:例21, 其中常數(shù)a0.由此知因此補(bǔ)充積分公式 結(jié)束其中常數(shù)a0. 換元的目的是將無理函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)的積分.分兩類:被積函數(shù)含有 的因子時(shí),可令化簡函數(shù)后再積分.例31.解

13、1.根號(hào)里是一次式的,即 但在具體求解時(shí)要根據(jù)被積函數(shù)所含二次根式的不同 情況作不同的三角代換,作法如下：被積函數(shù)含有 的因子時(shí),可作三角變換,然后利用三角函數(shù)恒等式去掉二次根號(hào).2.根號(hào)里是二次式的,即例32解根號(hào)里是二次式的,也不一定用三角代換本例如果用三角代換，將相當(dāng)繁瑣例29解 當(dāng)被積函數(shù)是x的有理式和無理式，且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)高時(shí),可利用倒代換的方法.例7解：倒代換或解：例7例35解補(bǔ)充積分公式 結(jié)束其中常數(shù)a0.例34 求解:例36求解:例35 求解:例38求解:結(jié)束作業(yè) P2222. (23)(25)(26)(27)(29) (31) (33)(35)(37)(39) (4

14、1)(43)(45)(46)(47)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第二十九講 分部積分法腳本編寫：教案制作：5.4 分部積分法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁分部積分公式 設(shè)函數(shù)uu(x)及vv(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 那么, (uv)uvuv, 移項(xiàng)得 uv(uv)uv. 對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分, 得 即原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 這兩個(gè)公式稱為分部積分公式. 例1. x sin x+cos xC . 分部積分過程湊微分例6.容易計(jì)算 .1) v 容易求得 ; 例4.請(qǐng)同學(xué)們練一練. 例2.有一個(gè)選擇的問

15、題！請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉噧蓚€(gè)函數(shù)乘積指 數(shù) 函 數(shù):三 角 函 數(shù):冪 函 數(shù):對(duì) 數(shù) 函 數(shù):反 三 角 函 數(shù): 例2.下頁指三冪對(duì)反 例3. x2ex2xex2exCex(x22x2 )C. 指三冪對(duì)反注: 分部積分法可再次使用, 每次使用都按指三冪對(duì)反注: 分部積分法可再次使用, 每次使用都按例8 求解: 例7. 解: 所以下頁指三冪對(duì)反注：分部積分法可推得循環(huán)式解: 指三冪對(duì)反 例7.所以注：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積,可任意選取,但在兩次分部積分中,必需選用同類型的以便經(jīng)過兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式,從而解出所求積分.指三冪對(duì)反三指冪對(duì)反例5 求指三冪對(duì)反解：一步一步湊出例

16、6 求解:先將被積函數(shù)恒等變形，以便得到容易積出的形式指三冪對(duì)反 例8.解: 因?yàn)樗韵马撟ⅲ悍植糠e分法可推得循環(huán)式例7. 求解: 令則原式注：分部積分法與換元法結(jié)合 例5.指三冪對(duì)反無從入手 例6.下頁無從入手設(shè)則那么指三冪指三冪例12 求解:設(shè)則因此注：分部積分法與換元法結(jié)合解：?例7 求例7 求解:遇到困難時(shí)，首先考慮拆項(xiàng)法，經(jīng)濟(jì)實(shí)惠可用分部積分法的積分小結(jié): (1)被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的積: (2)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的積: (3)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積:結(jié)束(4)無法利用其他方法時(shí),指三冪對(duì)反 無從入手 第一步都是湊微分，第一換元積分法與分

17、部積分法的比較:下一步怎么做？例2.沒有指三冪對(duì)反都是兩個(gè)函數(shù)的乘積求積分，例1.例13設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為求解:而原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 例設(shè)則解那么，原函數(shù)的概念：G(x)g(x), 例14已知求解:設(shè)則即原函數(shù)的概念：F (x)f(x), 作業(yè) P2281. (2)(3)(5)(6)(8)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)2.3.先設(shè)即高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第三十講 幾種特殊類型函數(shù)的積分腳本編寫：教案制作： . 4 幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、三角函數(shù)的積分上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例8. 求

18、解: 注：分部積分法可推得遞推公式得遞推公式說明:已知利用遞推公式可求得如：得遞推公式例 求解: 設(shè)則即有一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的形式當(dāng)nm時(shí), 稱這有理函數(shù)是真分式; 而當(dāng)nm時(shí), 稱這有理函數(shù)是假分式. 有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù), 即具有如下形式的函數(shù): 假分式總可以化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式. 例如 下頁我們只需討論有理真分式的積分方法.分母可因式分解的真分式的不定積分 求真分式的不定積分時(shí), 如果分母可因式分解, 則先因式分解, 然后化成部分分式再積分. 例1. 解: 6ln|x3|5ln|x2|C. 下頁 解: 例2.分母可因式分解的真分式的不定積分 求真分式的不定積分時(shí), 如果分母可因式分解, 則先因式分解, 然后化成部分分式再積分. 下頁故(1) 用比較系數(shù)法(2) 用賦值法故當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),例2. 求解 設(shè)兩邊去掉分母,得令得比較兩邊項(xiàng)系數(shù),得即比較兩邊常數(shù)項(xiàng),得即例1. 將真分式 分解為部分分式 :解:用拼湊法用比較系數(shù)法：例34 求解:分母是二次質(zhì)因式的不定積分 分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分 解:首頁求對(duì)于一些方次較高