2021-2022學(xué)年江蘇省宜興市樹人中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若對(duì)任意的正實(shí)數(shù),都有恒成立,則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為()ABCD2的展開式中，常

2、數(shù)項(xiàng)為( )A15B16C15D163已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，、分別是雙曲線左、右兩支上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且直線的斜率為.、分別為、的中點(diǎn)，若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD4設(shè)函數(shù)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）ABCD5設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)不共線,若的周長的最小值為,則橢圓的離心率為（ ）ABCD6在中，若，則自然數(shù)的值是（ ）A7B8C9D107已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足，f（2）3，數(shù)列an是等差數(shù)列，若a23，a713，則f（a1）f（a2）f（a3）f（a2018）（ ）A2B3C2D38定義在

3、上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，對(duì)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD9從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（ ）A至少有一個(gè)紅球與都是紅球B至少有一個(gè)紅球與都是白球C恰有一個(gè)紅球與恰有二個(gè)紅球D至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球10設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：則方差D (X)（）ABCD11若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是ABCD12（2018年天津卷文）設(shè)變量x，y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A6B19C21D45二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13等差數(shù)列中，若，則_.14已知正方體的棱長為4，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近的四等分點(diǎn)，平面交

4、于點(diǎn)，則的長為_15一個(gè)袋子中裝有8個(gè)球，其中2個(gè)紅球，6個(gè)黑球，若從袋中拿出兩個(gè)球，記下顏色，則兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率是_（用數(shù)字表示）16直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球3次均未命中的概率為，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍（）求乙投球的命中率；（）若甲投球次，乙投球次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望18（12分）已知，其前項(xiàng)和為.（1）計(jì)算；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明

5、.19（12分）如圖（A），（B），（C），（D）為四個(gè)平面圖形:（A）（B）（C）（D）（I）數(shù)出每個(gè)平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)，并將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；交點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)（A）452（B）58（C）125（D）15（II）觀察表格，若記一個(gè)平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為，試猜想間的數(shù)量關(guān)系（不要求證明）.20（12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了111名觀眾進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于41分鐘的觀眾稱為“體育迷”（1）根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是

6、否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為體育迷與性別有關(guān)性別非體育迷體育迷總計(jì)男女1144總計(jì)下面的臨界值表供參考：114111114124111111141111k21622615384141245534686911828 (參考公式：，其中)（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列期望和方差21（12分）設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求使對(duì)恒成立的的取值范圍.22（10分）已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（2）若關(guān)

7、于的不等式恒成立，求的最大值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性，從而可得題中不等式的解詳解：設(shè)，則，由已知當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，又是偶函數(shù)，也是偶函數(shù)，不等式即為，即，即故選A點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后解函數(shù)不等式解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)新函數(shù)的結(jié)構(gòu)可結(jié)合已知導(dǎo)數(shù)的不等式和待解的不等式的形式構(gòu)造如，等等2、B【解析】把按照二項(xiàng)式定理展開，可得的展開式中的常數(shù)項(xiàng)【詳解】（）（1），故它的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是1+15=16故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理

8、的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，項(xiàng)的系數(shù)的性質(zhì)，熟記公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】根據(jù)、分別為、的中點(diǎn)，故OM平行于,ON平行于，再由向量點(diǎn)積為0得到四邊形是矩形，通過幾何關(guān)系得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入雙曲線得到齊次式，求解離心率.【詳解】因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，故OM平行于,ON平行于，因?yàn)樵c(diǎn)在以線段為直徑的圓上，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到，四邊形對(duì)角線互相平分，所以四邊形是矩形，設(shè)角,根據(jù)條件得到， 將點(diǎn)A代入雙曲線方程得到： 解得 故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，對(duì)于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離

9、心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范圍).4、B【解析】先由題意得到方程在上僅有一個(gè)實(shí)根；令，得到函數(shù)與直線在上僅有一個(gè)交點(diǎn)；用導(dǎo)數(shù)的方法判斷單調(diào)性，求出最值，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；所以方程在上僅有一個(gè)實(shí)根；即方程在上僅有一個(gè)實(shí)根；令，則函數(shù)與直線在上僅有一個(gè)交點(diǎn)；因?yàn)?，由得，因?yàn)?，所以；由得，因?yàn)?，所以；所以，函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此作出函數(shù)的大致圖像如下：因?yàn)楹瘮?shù)與直線

10、在上僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以，記得.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，通常將函數(shù)零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的問題，結(jié)合圖像求解即可，屬于?？碱}型.5、A【解析】分析：利用橢圓定義的周長為，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，再利用對(duì)稱性，可得橢圓的離心率.詳解：的周長為，故選：A點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)6、

11、B【解析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求出的表達(dá)式,最后根據(jù),解方程即可求出自然數(shù)的值.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：,因此,所以,解得.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、B【解析】分析：利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性推出周期，求出前三項(xiàng)的值，利用周期化簡式子即可詳解：定義在R上的奇函數(shù)滿足，故周期, 數(shù)列是等差數(shù)列，若，,故，所以：，點(diǎn)睛：函數(shù)的周期性，對(duì)稱性，奇偶性知二推一，已知奇函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，則，令代入2式，得出，由奇偶性，故周期.8、D【解析】由題知問題等價(jià)于函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)及對(duì)勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)，得此時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，則在的

12、值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，則有，解得，當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則有，解得綜上所述，可得的取值范圍為 故本題答案選點(diǎn)睛：求解分段函數(shù)問題應(yīng)對(duì)自變量分類討論，討論的標(biāo)準(zhǔn)就是自變量與分段函數(shù)所給出的范圍的關(guān)系，求解過程中要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合討論時(shí)的范圍討論應(yīng)該不重復(fù)不遺漏9、C【解析】從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，不同的取球情況共有以下幾種：3個(gè)球全是紅球；2個(gè)紅球和1個(gè)白球；1個(gè)紅球2個(gè)白球；3個(gè)全是白球.選項(xiàng)A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個(gè)紅球”的子事件；選項(xiàng)B中，事件“至少有一個(gè)紅球”與事件“都是白球”是對(duì)立事件；選項(xiàng)D中，事件“至少有一個(gè)紅球”與事件“至少有一個(gè)白球”的事件為“2個(gè)紅球

13、1個(gè)白球”與“1個(gè)紅球2個(gè)白球”；選項(xiàng)C中，事件“恰有一個(gè)紅球”與事件“恰有2個(gè)紅球”互斥不對(duì)立，故選C.10、B【解析】分析：先求出的值，然后求出，利用公式求出詳解：故選點(diǎn)睛：本題考查了隨機(jī)變量的分布列的相關(guān)計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算方法11、B【解析】設(shè),得，且：,時(shí),函數(shù)遞減，或時(shí),遞增結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)a1時(shí),減區(qū)間為，不合題意，當(dāng)0a1時(shí), 為增區(qū)間.，解得：.故選：B.【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：對(duì)于復(fù)合函數(shù)yfg(x)，若tg(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且yf(t)在區(qū)間(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是單調(diào)函數(shù)，若tg(x

14、)與yf(t)的單調(diào)性相同(同時(shí)為增或減)，則yfg(x)為增函數(shù)；若tg(x)與yf(t)的單調(diào)性相反，則yfg(x)為減函數(shù)簡稱：同增異減12、C【解析】分析：首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定函數(shù)取得最大值的點(diǎn)，最后求解最大值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)zaxby(ab0)的最值，當(dāng)b0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)b0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最

15、大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10.【解析】直接由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合已知條件列式求解的值【詳解】在等差數(shù)列中，由，且，所以，所以故答案為：10.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查用基本量法求14、1【解析】作的中點(diǎn)，連接，得四邊形為平行四邊形即可求解【詳解】作的中點(diǎn)，連接，易知.又面 面故，所以，由于，所以四邊形為平行四邊形，所以.故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系及線段的計(jì)算，考查面面平行的基本性質(zhì)，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.15、【解析】根據(jù)題意，袋中有個(gè)紅球和個(gè)黑球，由組合數(shù)公式可得從中取出2個(gè)

16、的情況數(shù)目，若兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球，即一紅一黑，或者兩紅，由分步計(jì)數(shù)原理可得其情況數(shù)目，由等可能事件的概率，計(jì)算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，袋中有個(gè)紅球和個(gè)黑球，共個(gè)球，從中取出2個(gè)，有種情況，兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球，即一紅一黑，或者兩紅的情況有種，則兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件的概率的計(jì)算，是簡單題，關(guān)鍵在于正確應(yīng)用排列、組合公式.16、20【解析】三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）分布列見解析，【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用對(duì)立事件及獨(dú)立事件的概率公式建立方程求解；（2）先求出，

17、的概率，再寫出概率分布表，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式計(jì)算：解：設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.（）由題意得：，解得，所以乙投球的命中率為（）由題設(shè)和（）知，甲投球的命中率為，則有，可能的取值為0，1,2,3，故，的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望點(diǎn)睛：隨機(jī)變量的概率及分布是高中數(shù)學(xué)中的選修內(nèi)容，也是高考考查的重要考點(diǎn)。解答本題的第一問時(shí)，充分依據(jù)題設(shè)條件借助方程思想，運(yùn)用對(duì)立事件及獨(dú)立事件的概率公式建立方程，然后通過解方程求出其概率是；解答第二問時(shí)，先分別求出，的概率，再寫出概率分布表，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求出使得問題獲解。18、（1）；（2），證明見解析.【解析】（1）由

18、題可得前4項(xiàng)，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四項(xiàng)和的規(guī)律可猜想，由數(shù)學(xué)歸納法，即可做出證明，得到結(jié)論。【詳解】（1）計(jì)算，.（2）猜想.證明：當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，猜想成立.假設(shè)猜想成立，即成立，那么當(dāng)時(shí)，而，故當(dāng)時(shí)，猜想也成立.由可知，對(duì)于，猜想都成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納、猜想與數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，其中解答中明確數(shù)學(xué)歸納證明方法：（1）驗(yàn)證時(shí)成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，證得也成立；（3）得到證明的結(jié)論其中在到的推理中必須使用歸納假設(shè)著重考查了推理與論證能力19、（I）列聯(lián)表見解析；（II）.【解析】（I）數(shù)出結(jié)果填入表格即可（II）觀察一個(gè)平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為

19、E，F(xiàn)，G，即可猜想E，F(xiàn)，G之間的等量關(guān)系【詳解】（I）（II）觀察表格，若記一個(gè)平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為，猜想之間的數(shù)量關(guān)系為.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，實(shí)際上本題考查的重點(diǎn)是給出幾個(gè)平面圖形的交點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)寫猜想E，F(xiàn)，G之間的等量關(guān)系，本題是一個(gè)綜合題目，知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的比較巧妙20、（1）22列聯(lián)表答案見解析， 在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)（2）分布列見解析，【解析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出“體育迷”的人數(shù)，結(jié)合22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得表中其他數(shù)據(jù)，最后根據(jù)公式計(jì)算出的觀測值，再依據(jù)臨界值表給出判斷.（2）利用二項(xiàng)分布可得分布列，再利用公式可求期望和方差.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的111人中“體育迷”有(人)由獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)得22列聯(lián)表如下：性別非體育迷體育迷總計(jì)男311444女441144總計(jì)6424111將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得的觀測值所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)（2）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為由題意知，從而X的分布列為：1123由二項(xiàng)分布的期望