立體幾何平行與垂直有答案

1、立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 高三文科數(shù)學(xué)專題溫習(xí):立體幾何平行、垂直問題 【基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)】 一、平行問題 1 直線與平面平行的斷定與性質(zhì) 2. 平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系： 二、垂直問題 一、直線與平面垂直 1直線和平面垂直的定義：直線l 與平面內(nèi)的 都垂直，就講直線l 與平面相互垂直 2直線與平面垂直的斷定定理及推論 立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 垂直于同一條直線的兩平面平行 二、平面與平面垂直 1平面與平面垂直的斷定定理 類型一、平行與垂直 例1、如圖，已知

2、三棱錐A BPC -中，,AP PC AC BC M 為AB 中點(diǎn)，D 為PB 中點(diǎn)， 且PMB 為正三角形。求證：DM 平面APC ； 求證：平面ABC 平面APC ； 若BC 4=，20AB =，求三棱錐D BCM -的體積。 解：M AB 為中點(diǎn),D 為PB 中點(diǎn), MD AP ，又MD APC ?平面 DM APC 平面 PMB 為正三角形,且D 為PB 中點(diǎn)，MD PB 又由1知,MD AP AP PB 立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 又已知AP PC AP PBC 平面， AP BC ，又AC BC BC APC 平面,平面ABC 平面PAC , 20AB =，

3、10MB =,10PB = 又4BC = ，PC = 111 4244BDC PBC S S PC BC ?= =?=?= 12MD AP =又 11 33 D BCM M BCD BDC V V S DM -?=?=?= 例2. 如圖，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA 底面ABC ，2AC BC =，14AA = ，AB =M ，N 分別是棱1CC ，AB 中點(diǎn). 求證：CN 平面11ABB A ； 求證：/CN 平面1AMB ； 求三棱錐1B AMN -的體積 證實(shí)：由于三棱柱111ABC A B C -中，1AA 底面ABC 又由于CN ?平面ABC ， 所以1AA CN

4、 . 1分 由于2AC BC =，N 是AB 中點(diǎn)， 所以CN AB . 2分 由于1AA AB A =I ， 3分 所以CN 平面11ABB A 4分 證實(shí)：取1AB 的中點(diǎn)G ，連結(jié)MG ，NG ， 由于N ，G 分別是棱AB ，1AB 中點(diǎn)， 所以1/NG BB ，11 2NG BB = . 又由于1/CM BB ，11 2 CM BB =， 所以/CM NG ，CM NG =. A B C A 1 B 1 C 1 M N A B C A 1 B 1 C 1 M N G 立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 所以四邊形CNGM 是平行四邊形. 6分 所以/CN MG . 7

5、分 由于CN ?平面1AMB ，GM ?平面1AMB ， 8分 所以/CN 平面1AMB 9分 由知GM 平面1AB N . 10分 所以11MN M N 114 4323 B A AB V V -=?=. 13分 【變式1】. 如圖，三棱柱111C B A ABC -中，側(cè)棱1 AA 平面ABC ，ABC ?為等腰直角三角形， 90=BAC ，且1AA AB =，F(xiàn) E D ,分別是BC CC A B ,11的中點(diǎn)。 1求證：/DE 平面ABC ； 2求證：F B 1平面AEF ； 3設(shè)AB a =，求三棱錐D AEF -的體積。 1取AB 中點(diǎn)O ，連接DO CO , =,/,2 1 ,/

6、11CE DO CE DO AA DO AA DO 平行四邊形DOCE ，?DE CO DE ,/平面 ABC ，?CO 平面ABC ，/DE 平面ABC 。 4分 2等腰直角三角形ABC ?中F 為斜邊的中點(diǎn)，BC AF 又 直三棱柱111C B A ABC -，面ABC 面C C BB 11， AF 面B C 1，F(xiàn) B AF 1 設(shè)EF F B E B EF F B E B EF F B AA AB =+= =121221111,2 3,23,26,1 又,F EF AF = F B 1面AEF 。 8分 3由于點(diǎn)D 是線段 1AB 的中點(diǎn)，故點(diǎn)D 到平面AEF 的距離是點(diǎn)1B 到平面A

7、EF 距離的 12 。1B F =， 所以三棱錐D AEF -的高為4a ；在Rt AEF ?中 ，,22 EF AF a = =，所以三棱錐 D AEF -的底面面積為2 8a ，故三棱錐D AEF -的體積為2311 38416a a a ?=。12分 立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 O P D C B A 二、線面平行與垂直的性質(zhì) 例3、如圖4，在四棱錐P ABCD -中，平面PAD 平面ABCD ，AB DC ，PAD 是等邊三角形，已知24BD AD = ，2AB DC = 1求證：BD 平面PAD ； 2求三棱錐A PCD -的體積 1證實(shí)：在ABD 中，由于2

8、AD =，4BD = ，AB = 222 AD BD AB +=. 2分 AD BD 又平面PAD 平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD ?平面ABCD ， BD 平面PAD . 4分 2解：過P 作PO AD 交AD 于O . 又平面PAD 平面ABCD ， PO 平面ABCD 6分 PAD 是邊長為2的等邊三角形， PO =由1知，AD BD ，在Rt ABD 中， 斜邊AB 邊上的高為5AD BD h AB ?= =. 8分 AB DC ， 112 225ACD S CD h =?=. 10分 11233A PCD P ACD ACD V V S PO -=?=?=

9、. 14分 立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 例4、如圖，四棱錐P ABCD 中，PD 平面ABCD ，底面ABCD 為正方形，BC=PD=2，E 為PC 的中 點(diǎn)，.3 1 CB CG = I 求證：PC BC ； II 求三棱錐C DEG 的體積； III AD 邊上能否存在一點(diǎn)M ，使得/PA 平面MEG 。若存在，求AM 的長；否則，講明理由。 I 證實(shí)：PD 平面ABCD ，BC PD 又ABCD 是正方形，BC CD ， PDICE=D ， BC 平面PCD 又PC ?面PBC ，PC BC II 解：BC 平面PCD ，GC 是三棱錐G DEC 的高。 E 是P

10、C 的中點(diǎn)，1)222 1 (212121=?=?PDC EDC EDC S S S 9 2 1323131=?=?=?-DEC DEC G DEG C S GC V V III 連結(jié)AC ，取A C 中點(diǎn)O ，連結(jié)EO 、GO ，延長GO 交AD 于點(diǎn)M ，則PA/平面MEG 。 下面證實(shí)之 E 為PC 的中點(diǎn)，O 是AC 的中點(diǎn)，EO/平面PA ， 又MEG PA MEG EO 平面平面?, ，PA/平面MEG 在正方形ABCD 中，O 是AC 中點(diǎn)，OCG ?OAM ? ,32=CG AM 所求AM 的長為.32 立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 【變式2】直棱柱ABC

11、D -A 1B 1C 1D 1底面ABCD 是直角梯形，BAD ADC 90，AB 2AD 2CD 2. ()求證：AC 平面BB 1C 1C ；() A 1B 1上能否存一點(diǎn)P ，使得DP 與平面BCB 1與平面ACB 1都平行？證實(shí)你的結(jié)論. ()直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1平面ABCD ，BB 1AC . 又BAD =ADC =90，AB =2AD =2CD =2， AC =2，CAB =45，BC =2，BC AC . 又BB 1BC =B ，BB 1，BC ?平面BB 1C 1C ，AC 平面BB 1C 1C . ()存在點(diǎn)P ，P 為A 1B 1的中點(diǎn)。

12、證實(shí)：由P 為A 1B 1的中點(diǎn)，有PB 1AB ，且PB 1=2 1 AB . 又DC AB ，DC =2 1 AB ，DC PB 1，且DC =PB 1， DCB 1P 為平行四邊形，進(jìn)而CB 1DP .又CB 1?ACB 1,DP ?面ACB 1，DP 面ACB 1. 同理，DP 面BCB 1. 立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 三、三視圖與折疊問題 例5、如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。 若F 為PD 的中點(diǎn)，求證：AF 面PCD ； 1 證實(shí)：BD 面PEC ； 2 求三棱錐E PBC -的體積。 1由幾何體的三視圖可知，底面ABCD 是邊長為4的正

13、方形，PA 面ABCD ， PA EB ，2 4.PA EB = ,PA AD =F 為PD 中點(diǎn)，.PD AF 又,CD DA CD PA ,CD AF AF 面PCD 。 2取PC 的中點(diǎn)M ，AC 與BD 的交點(diǎn)為N ，1 ,2 MN PA = MN PA ， ,MN EB =MN EB ，故BEMN 為平行四邊形， EM BN ，BD 面PEC 。 31116 ()323 E PBC C PBE V V BE AB BC -= A B E P D C 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 【變式3】一個(gè)四棱錐的直觀圖和三視圖如下列圖所示，E 為PD

14、 中點(diǎn).I 求證：PB/平面AEC ；II 求四棱錐C PAB -的體積； 若F 為側(cè)棱PA 上一點(diǎn)，且 =FA PF ，則為何值時(shí)，PA 平面BDF. 解：由三視圖得，四棱錐底面ABCD 為菱形, 棱錐的高為3,設(shè)AC BD O ?=,則PO 即是棱錐 的高,底面邊長是2，連接OE ，,E O 分別 是,DP DB 的中點(diǎn)，OE BP ， ,OE AEC BP AEC ?面面PB AEC 面 2 1111(232232V V V ? =?=? 三棱錐C-PAB 三棱錐P-ABC 四棱錐P-ABCD 3過O 作,3,2 OF PA POA PO AO PA AF = 在Rt 中-10分 :3,

15、 ,PF FA OF PA PO BD AC BD PO AC O BD PAC =?=時(shí)即=3時(shí)面-12分 ,BD PA OF PA BD OF O PA BDF ?=由且面-14分 B 立體幾何平行與垂直有答案 立體幾何平行與垂直有答案 【變式4】如圖1所示，正ABC ?的邊長為2a ，CD 是AB 邊上的高，E ，F(xiàn) 分別是AC ，BC 的中點(diǎn)?，F(xiàn)將ABC ?沿CD 翻折，使翻折后平面ACD 平面BCD 如圖2 1試判定翻折后直線AB 與平面DEF 的位置關(guān)系，并講明理由； 2求三棱錐C-DEF 的體積。 解：1判定：AB/平面DEF.2分 證實(shí)： 因在ABC ?中，E ，F(xiàn) 分別是 AC ，BC 的中點(diǎn)，有 EF/AB.5分 又因 AB ?平面DEF ， EF ?平面DEF.6分 所以 AB/平面DE