數(shù)學(xué)課程思政的探索與實(shí)踐

1、數(shù)學(xué)課程思政的探索與實(shí)踐摘要：思想政治教育在高校立德樹(shù)人過(guò)程中占據(jù)著重要地位。微分幾何是一門具有重 要理論研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)專業(yè)課程。本文主要分享了在全方位育人導(dǎo)向下，將思想 政治教育元素融入微分幾何課程教學(xué)過(guò)程的探索和實(shí)踐。關(guān)鍵詞：課程思政；立德樹(shù)人；微分幾何；教學(xué)方法、引言高校肩負(fù)著培養(yǎng)社會(huì)主義事業(yè)接班人的重 要使命。在專業(yè)課程中踐行課程思政，是每位 大學(xué)教師都應(yīng)該思考的問(wèn)題。教師應(yīng)明白，教 書育人的目的在于“知識(shí)傳播、能力培養(yǎng)、價(jià) 值塑造”。知識(shí)傳播是教學(xué)的應(yīng)有之義，考驗(yàn) 了教師的專業(yè)知識(shí)水平；而能力培養(yǎng)、價(jià)值塑 造則屬于課程思政的范疇，需要教師在本專業(yè) 知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入思考

2、并發(fā)掘。這對(duì)教 師的綜合教學(xué)能力提出了更高的要求。筆者自2016年以來(lái)一直為數(shù)學(xué)系本科學(xué)生 講授微分幾何課程。該課程內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)中具 有悠久歷史和豐富內(nèi)容的一門分支一幾何學(xué)， 除了具有重要的基礎(chǔ)理論研究?jī)r(jià)值，在工程建 設(shè)、工業(yè)設(shè)計(jì)以及計(jì)算機(jī)圖像處理等方面均有 著廣泛的應(yīng)用。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者初步探索 了將思想政治教育元素引入課堂教學(xué)的方法和 路徑，希望在傳授學(xué)生理論知識(shí)的同時(shí)，提升 學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú) 立思考、敢于質(zhì)疑、不畏困難的科研精神，陶 冶學(xué)生的情操，進(jìn)而幫助學(xué)生樹(shù)立并完善正確 的人生觀、世界觀和價(jià)值觀。二、課程思政的教學(xué)內(nèi)容要開(kāi)展好課程思政工作，首先需要發(fā)掘課 程

3、中的思政元素。下面以微分幾何為例，重點(diǎn) 闡述一系列課程思政的教學(xué)內(nèi)容。需要強(qiáng)調(diào)的 是，同一個(gè)內(nèi)容或知識(shí)點(diǎn)可以發(fā)掘出不同的思 政元素，同一個(gè)思政元素也可能蘊(yùn)含于不同的 內(nèi)容或知識(shí)點(diǎn)（見(jiàn)表1）。建立馬克思主義哲學(xué)的世界觀和方法論（1）實(shí)踐論：從實(shí)踐中來(lái)，到實(shí)踐中去。 幾何學(xué)（Geometry）是數(shù)學(xué)中一門具有悠久歷 史的分支。早在2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐 幾里得著成了流傳至今的數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何原本， 系統(tǒng)講述了 “數(shù)”與“形”。其中，“形”的 內(nèi)容就是如今的歐幾里得幾何。幾何學(xué)源于人 類在認(rèn)識(shí)世界過(guò)程中對(duì)測(cè)量（如長(zhǎng)度、面積、 夾角）的需求，其英文詞根“geo-”和“-metry” 分別來(lái)源于古希

4、臘語(yǔ)中的“大地”和“測(cè)量”。 人們?cè)谏a(chǎn)生活實(shí)踐中產(chǎn)生了測(cè)量的問(wèn)題和需 求，而后進(jìn)行歸納抽象，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言， 再通過(guò)邏輯推理得到各種定理，最后將定理運(yùn) 用到實(shí)踐中去，在實(shí)踐中得到驗(yàn)證。（2）認(rèn)識(shí)論：事物發(fā)展的螺旋式。列寧指 出：“人的認(rèn)識(shí)不是直線（也就是說(shuō)，不是沿 著直線進(jìn)行的），而是無(wú)限地近似于一串圓圈、 近似于螺旋式的曲線?！?人類對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)、 數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展也是如此。到目前為止，人類 在數(shù)學(xué)上經(jīng)歷了三次數(shù)學(xué)危機(jī)，每經(jīng)歷一次，思政元素課程內(nèi)容所屬章節(jié)實(shí)踐論：從實(shí)踐中來(lái)，到實(shí)踐中去幾何學(xué)的起源思政元素課程內(nèi)容所屬章節(jié)實(shí)踐論：從實(shí)踐中來(lái)，到實(shí)踐中去幾何學(xué)的起源緒論認(rèn)識(shí)論：事物發(fā)展的螺旋

5、式幾何學(xué)的發(fā)展緒論現(xiàn)象和本質(zhì)的辯證統(tǒng)一半徑和曲率的關(guān)系 球面不能展為平面 變換群與幾何學(xué)的對(duì)應(yīng)平面曲線曲率 曲面的等距變換 緒論整體和部分的辯證統(tǒng)一圓柱面和莫比烏斯帶 環(huán)面和克萊因瓶曲面的定義和例子絕對(duì)與相對(duì)的辯證統(tǒng)一張量分量隨基底的變化 曲面上曲線曲率的分解曲面的基本形式 法曲率/測(cè)地曲率表1微分幾何課程思政元素與課程內(nèi)容的關(guān)聯(lián)（3）現(xiàn)象和本質(zhì)的辯證統(tǒng)一。任何現(xiàn)象都 是本質(zhì)的某種表現(xiàn)，任何本質(zhì)都要通過(guò)某些現(xiàn) 象表現(xiàn)出來(lái)。現(xiàn)象是表面的、具體的、易感知的， 如人們能直觀感受到半徑越大的圓周越平坦、 球面如果不允許拉伸等操作是不能展為平面的。 本質(zhì)則是隱藏在事物內(nèi)部的、相對(duì)穩(wěn)定的、具 有一般性的根

6、本屬性，往往只能依靠抽象思維 來(lái)把握，這正是數(shù)學(xué)尤其是幾何學(xué)的特點(diǎn)。我 們通過(guò)引入曲率這一幾何不變量，可以定量地 反映光滑曲線在某一點(diǎn)處彎曲程度；通過(guò)證明 “能夠建立局部等距的兩個(gè)曲面其Gauss曲率 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處相等”，反證球面和平面不能局部 等距，從而解釋為什么不能制作出一張“完美” 的平面世界地圖。馬克思在資本論中寫道：“如果事物的 表現(xiàn)形式和事物的本質(zhì)會(huì)直接合而為一，一切 科學(xué)就都成為多余的了。因此，我們需要透 過(guò)現(xiàn)象去認(rèn)識(shí)本質(zhì)，這在人們對(duì)幾何學(xué)本身的認(rèn) 識(shí)上有著直接的體現(xiàn)。到19世紀(jì)后期，除了古 老的歐幾里得幾何，仿射幾何、射影幾何已得到 發(fā)展，非歐幾何（橢圓幾何、雙曲幾何）也已誕 生

7、。德國(guó)數(shù)學(xué)家菲利克斯克萊因于1872年發(fā) 表了著名的埃爾朗根綱領(lǐng)，將這些形形色色的幾 何學(xué)統(tǒng)一了起來(lái)。該綱領(lǐng)的核心思想是，將不同 的變換群和不同的幾何學(xué)對(duì)應(yīng)起來(lái)，各種幾何學(xué) 主要研究的就是幾何對(duì)象在群作用下的不變量。 這讓我們加深了對(duì)幾何學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。（4）整體和部分的辯證統(tǒng)一。在講解曲面 的定義時(shí)，我們先后給出曲面的局部定義和整 體定義，指出可以將局部的曲面片“拼接”為 整體曲面，也可以將整體曲面化為部分的曲面 片。另一方面，通過(guò)對(duì)比圓柱面和莫比烏斯帶、 環(huán)面和克萊因瓶等例子可以看出，即使部分（局 部）一樣，形成的整體也可能不同。一般來(lái)說(shuō) 曲面的局部性質(zhì)不能完全刻畫整體性質(zhì)。（5）絕對(duì)與相對(duì)

8、的辯證統(tǒng)一。在講解曲面 的第一、第二基本形式時(shí)，我們強(qiáng)調(diào)，當(dāng)曲面 參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其作為二階對(duì)稱張量，在自 然基底下的分量會(huì)相應(yīng)變化，但帶上基底之后 整體是不變的。分量是相對(duì)的，依賴于參數(shù)選 ?。坏谝?、第二基本形式是絕對(duì)的，不隨參 數(shù)選取的變化而變化。在計(jì)算曲面上曲線的曲率時(shí)，我們通過(guò)將 曲線的曲率向量分解為沿曲面的切向和法向部 分，分別引出（內(nèi)蘊(yùn)的）測(cè)地曲率和（外蘊(yùn)的） 法曲率兩個(gè)概念。曲線的曲率反映了曲線本身 的絕對(duì)彎曲程度，而測(cè)地曲率和法曲率分別反 映了曲線相對(duì)于曲面的彎曲程度和曲面相對(duì)于 三維歐氏空間的彎曲程度。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，曲線本 身的絕對(duì)彎曲程度其實(shí)是曲線相對(duì)于三維歐氏 空間的彎曲程

9、度。鍛煉優(yōu)秀品質(zhì)，陶冶高尚情操，塑造健 全人格我們希望學(xué)生在本門課程中除了學(xué)習(xí)專業(yè) 知識(shí)外，還能夠跳出知識(shí)本身，發(fā)現(xiàn)具有普適 性的、能夠全面提升自己的教育元素（見(jiàn)表2）。（1）能力培養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要特點(diǎn)， 就是把具體事物抽象為數(shù)學(xué)語(yǔ)言。在本門課程 中，我們可以通過(guò)介紹曲線、曲面的具體例子 及其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義等內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生提取事 物共性的抽象思維能力。數(shù)學(xué)研究的另一個(gè)重要特點(diǎn)，就是通過(guò)嚴(yán) 密的推導(dǎo)得到重要結(jié)論。我們通過(guò)如曲線論基 本定理、全臍點(diǎn)曲面分類定理、Gauss絕妙定理、表2品質(zhì)、情操培養(yǎng)與課程內(nèi)容培養(yǎng)目標(biāo)具體能力、品質(zhì)、情操課程內(nèi)容能力培養(yǎng)抽象思維能力各種定義和例子邏輯推理能力各

10、種定理的證明計(jì)算能力各種幾何量的計(jì)算理論聯(lián)系實(shí)際能力曲率和轉(zhuǎn)彎半徑、單葉雙曲面與建筑品質(zhì)鍛煉科學(xué)質(zhì)疑精神歐幾里得平行公設(shè)與非歐幾何的誕生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)精神基礎(chǔ)概念、嚴(yán)格證明推導(dǎo)、復(fù)雜計(jì)算刻苦鉆研精神著名幾何學(xué)家為學(xué)之道情操陶冶愛(ài)國(guó)奉獻(xiàn)精神我國(guó)著名幾何學(xué)家事跡數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之用與價(jià)值判斷各種幾何形體與建筑、Gauss絕妙定理、相對(duì)論時(shí)空等Gauss-Bonnet定理等課程核心定理的證明，訓(xùn) 練學(xué)生的邏輯推理能力。幾何課程涉及大量計(jì)算，有的計(jì)算還比較 復(fù)雜，比如Christoffel符號(hào)、Riemann曲率張 量的計(jì)算。我們通過(guò)課上例題和課后習(xí)題，訓(xùn) 練學(xué)生的計(jì)算能力。微分幾何同實(shí)際生產(chǎn)生活有著緊密的聯(lián)

11、系。 我們適當(dāng)介紹相關(guān)內(nèi)容，如建筑設(shè)計(jì)、地理測(cè) 量等，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力。（2）品質(zhì)鍛煉。中國(guó)有句古話：“盡信書 不如無(wú)書”（孟子盡心下）。在科學(xué)研 究中，質(zhì)疑精神是科學(xué)發(fā)展的推動(dòng)力。如果沒(méi) 有質(zhì)疑精神，就會(huì)故步自封，不可能取得進(jìn)步。 以幾何學(xué)為例，如果沒(méi)有人們對(duì)歐幾里得第五 公設(shè)（平行公設(shè)）的持續(xù)質(zhì)疑，就不可能由高 斯（17771855）、黎曼（18261866）、羅 巴切夫斯基（17921856）等人開(kāi)創(chuàng)的非歐幾 何學(xué)。這里說(shuō)的質(zhì)疑，是建立在科學(xué)基礎(chǔ)之上的 合理質(zhì)疑，而非毫無(wú)科學(xué)依據(jù)地懷疑一切。在 提出質(zhì)疑之后，我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)科學(xué)的研究方法， 驗(yàn)證或推翻某個(gè)命題。這一切都要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的

12、 訓(xùn)練，因此我們需要通過(guò)前面提到的基礎(chǔ)概念、 證明、計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的作風(fēng)。數(shù)學(xué)專業(yè)課的一大特點(diǎn)是抽象，相較其他 專業(yè)課程更難學(xué)、更枯燥。教師除了通過(guò)改善 講課語(yǔ)言風(fēng)格、適當(dāng)增加互動(dòng)性等方式引導(dǎo)學(xué) 生，還應(yīng)該要求學(xué)生克服拈輕怕重的畏難情緒， 迎難而上，勇攀高峰。只有經(jīng)過(guò)“山重水復(fù)疑 無(wú)路”的迷茫，才能體會(huì)“柳暗花明又一村” 的欣喜。教師可以結(jié)合課程內(nèi)容，適當(dāng)介紹著 名數(shù)學(xué)家特別是華人幾何學(xué)家陳省身先生、丘 成桐先生的為學(xué)之道來(lái)激勵(lì)學(xué)生。（3）情操陶冶。除了為學(xué)之道，值得學(xué)生 學(xué)習(xí)的還有數(shù)學(xué)大師們致力于中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展、 培養(yǎng)本土人才的故土情結(jié)和愛(ài)國(guó)奉獻(xiàn)精神，這 是陶冶學(xué)生情操、培養(yǎng)學(xué)生正確價(jià)

13、值觀的重要 一環(huán)。在數(shù)學(xué)類課程教學(xué)中，很多學(xué)生會(huì)問(wèn)老師 “這個(gè)有什么用、那個(gè)有什么用”。誠(chéng)然，數(shù) 學(xué)之用在生產(chǎn)生活各個(gè)方面都有體現(xiàn)，關(guān)鍵是 要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)。另外，學(xué)生提出的有用”， 很多時(shí)候是從一種略帶功利主義色彩的實(shí)用性、 技術(shù)性角度去考慮，這在工科學(xué)生中體現(xiàn)得尤 為明顯。教師需要引導(dǎo)學(xué)生思考的是，如果某 個(gè)數(shù)學(xué)真的“無(wú)用”，是否就不值得花時(shí)間學(xué)習(xí)？數(shù)學(xué)源于生活，但很多時(shí)候，數(shù)學(xué)是超前 于生活的。我們看待事物，不應(yīng)該只看短期利 益，而要把目光放長(zhǎng)遠(yuǎn)，不能以短期的“無(wú)用” 判斷長(zhǎng)遠(yuǎn)的“有用”，即使這個(gè)“有用”可能 幾代人都見(jiàn)不到。以幾何學(xué)為例，古希臘幾何 學(xué)家阿波羅尼烏斯(公元前262年一公

14、元前190 年)就已著成圓錐曲線論，但1000多年后 德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒(15711630)才提出包 含“行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓”在內(nèi)的行星 運(yùn)動(dòng)三定律，揭示了圓錐曲線在天文學(xué)上的運(yùn) 用。1854年黎曼為申請(qǐng)哥廷根大學(xué)職位而做的 開(kāi)創(chuàng)性演講“論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)”，被 視為黎曼幾何學(xué)的開(kāi)山之作。盡管黎曼幾何純 粹基于數(shù)學(xué)提出，但幾十年后在廣義相對(duì)論中 卻得到了極其重要的應(yīng)用。即使人們具備了 “風(fēng)物長(zhǎng)宜放眼量”的思 考方式，很多時(shí)候也不具備洞見(jiàn)某種東西長(zhǎng)遠(yuǎn) 是否有用”的能力。那么，就需要在當(dāng)下從 其他方面重新審視“有用”和“無(wú)用”。如果 僅從工程技術(shù)的實(shí)用性出發(fā)，哲學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)、 法律等學(xué)

15、科都是無(wú)用的，但它們都是人類文明 的重要組成部分，一旦缺失將會(huì)帶來(lái)非?？膳?的后果。俄國(guó)唯物主義哲學(xué)家、文學(xué)評(píng)論家車 爾尼雪夫斯基(18281889)說(shuō)：“科學(xué)書籍 讓人免于愚昧，而文藝作品則使人擺脫粗鄙； 對(duì)真正的教育和對(duì)人們的幸福來(lái)說(shuō)，二者同樣 的有益和必要?！庇?guó)著名數(shù)學(xué)家哈代(1877 1947)在一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白中寫道：用 實(shí)踐的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量，我的數(shù)學(xué)生涯的價(jià)值是零； 而在數(shù)學(xué)之外，我的一生無(wú)論如何都是平凡 的?！?3數(shù)學(xué)就像科學(xué)中的藝術(shù)，即使真的沒(méi) 有“實(shí)用”價(jià)值，人們也可以學(xué)會(huì)從純粹美學(xué) 角度去欣賞數(shù)學(xué)。大道至簡(jiǎn)，好的數(shù)學(xué)定理有 一種簡(jiǎn)潔之美，能用最簡(jiǎn)單的語(yǔ)言描述最深刻 的道理，如

16、高斯絕妙定理、Gauss-Bonnet定理， 這些簡(jiǎn)潔而深刻的定理無(wú)不體現(xiàn)著人類智慧的 結(jié)晶。即使從純粹的美學(xué)角度，也是值得人們 花時(shí)間去學(xué)習(xí)的。此外，“他山之石，可以攻玉”。 理工科學(xué)生在保證學(xué)業(yè)的前提下，應(yīng)該盡可能 涉獵哲學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)、法律等人文學(xué)科知識(shí)， 這無(wú)論對(duì)提升專業(yè)學(xué)問(wèn)水平、還是塑造健全人 格都具有促進(jìn)作用。丘成桐先生在多個(gè)公開(kāi)演 講中提到，文學(xué)藝術(shù)和感情培養(yǎng)在其科研歷程 中起到了重要作用4o三、課程思政的教學(xué)方法對(duì)課程思政來(lái)說(shuō)，發(fā)掘出課程的思政元素 僅僅是準(zhǔn)備工作，更重要的是在教學(xué)過(guò)程中將其 傳遞給學(xué)生。為了更好地將思政元素與專業(yè)知識(shí) 相結(jié)合，教師需要進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、創(chuàng)新教

17、 學(xué)方法和改革教學(xué)模式。筆者認(rèn)為，將思政元素 融入教學(xué)過(guò)程要自然，要水到渠成地娓娓道來(lái)， 不要高高在上地強(qiáng)行說(shuō)教，更不能為了思政而思 政，強(qiáng)行將風(fēng)馬牛不相及的內(nèi)容拉到一起。下面筆者分享一些微分幾何課程思政的教 學(xué)設(shè)計(jì)，并具體闡述各種教學(xué)方法(見(jiàn)表3)。 需要指出的是，表中的教學(xué)方法應(yīng)根據(jù)不同授 課內(nèi)容或知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用，并非一成不變。對(duì) 同一知識(shí)點(diǎn)，還可以綜合運(yùn)用不同的教學(xué)方法 講授，融入不同思政元素。適當(dāng)調(diào)整教材內(nèi)容次序現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材內(nèi)容大多按照“定義一例子， 定理一證明”順序編排，是一種演繹的方法， 與科學(xué)探索中“從實(shí)踐到認(rèn)識(shí)、從具體到抽象” 的歸納方法相反。我們?cè)诰唧w授課過(guò)程中不能 照本宣科

18、，而是要盡量還原科學(xué)探索的本來(lái)順 序，從具體問(wèn)題和例子入手，引導(dǎo)學(xué)生探索其 共性特征和本質(zhì)，從而歸納提取出抽象定義與 重要結(jié)論。例如，在引入Gauss曲率和平均曲 率時(shí)，我們通過(guò)探索Weingarten變換在不同 參數(shù)下的矩陣表示是相似矩陣，得到矩陣的特 征值是不同參數(shù)下的不變量，進(jìn)而自然地引出教學(xué)方法教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)調(diào)整教材內(nèi)容次序教學(xué)方法教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)調(diào)整教材內(nèi)容次序符合“實(shí)踐一認(rèn)識(shí)一實(shí)踐”認(rèn)識(shí)過(guò)程Gauss曲率和平均曲率的引入用簡(jiǎn)單例子幫助學(xué)生理解新內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想和類比思維法曲率和測(cè)地曲率的相對(duì)性曲面第一、第二基本形式及其分量變 化合理設(shè)計(jì)證明過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生“大膽假設(shè)、小心求證

19、”的 科研精神培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，加深學(xué)生對(duì) 某些易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)的印象全臍點(diǎn)曲面局部分類定理的證明注重不同學(xué)科關(guān)聯(lián)拓展學(xué)生視野，引導(dǎo)學(xué)生思考球面的球極投影參數(shù)化 自伴算子與Rayleigh商課堂適當(dāng)“留白”，增加思考題和課 外閱讀內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探索能力 陶冶學(xué)生情操，增強(qiáng)專業(yè)認(rèn)同感課前和課中預(yù)留思考題，課外推薦科 普視頻推薦著名數(shù)學(xué)家傳記及公開(kāi)演講適時(shí)引用經(jīng)典和名人名言自然融入思政元素 拓展學(xué)生視野 增強(qiáng)文化自信 提升學(xué)生興趣（見(jiàn)下文具體闡述）表3課程思政教學(xué)設(shè)計(jì)舉例用簡(jiǎn)單例子幫助學(xué)生理解內(nèi)容為了達(dá)到更好的教學(xué)效果，教師可以也應(yīng) 該通過(guò)簡(jiǎn)單的、直觀的、較為熟悉的概念，幫 助學(xué)生理解一些

20、專業(yè)的、抽象的、初次接觸的 概念。例如，為幫助學(xué)生理解曲面上曲線的彎 曲程度由曲線相對(duì)于曲面的彎曲程度（測(cè)地曲 率）和曲面相對(duì)于三維歐氏空間的彎曲程度（法 曲率）疊加而成，我們舉了 “人在汽車上轉(zhuǎn)動(dòng) 90度和車頭相對(duì)地面轉(zhuǎn)90度，從而人相對(duì)地面 轉(zhuǎn)180度”的例子作為類比。合理設(shè)計(jì)證明過(guò)程科學(xué)探索的一個(gè)基本步驟是“大膽猜測(cè)、 小心求證”。求證好比是一個(gè)探路并到達(dá)終點(diǎn) 的過(guò)程，我們需要先有一個(gè)大致方向（思路）， 然后再設(shè)定幾個(gè)途經(jīng)點(diǎn)（分解步驟），通過(guò)尋 找能夠到達(dá)下一個(gè)途經(jīng)點(diǎn)的方法（補(bǔ)充完善細(xì) 節(jié)），完成最終的證明。另外，在很多情況下， 求證過(guò)程不可能一蹴而就，需要經(jīng)歷一次或多 次試錯(cuò)，找到“此

21、路不通”的根源，進(jìn)而打通 道路或者另尋他路。以講授全臍點(diǎn)曲面的（局 部）分類定理為例，我們先有平面和球面作為 例子，然后“大膽猜測(cè)”全臍點(diǎn)曲面僅有這兩種， 進(jìn)而“小心求證”。但在證明過(guò)程中，我們沒(méi) 有按照正常的證明順序，而是跳過(guò)了學(xué)生最容 易忽略的地方，先給出一個(gè)有漏洞”的證明， 然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并補(bǔ)全漏洞，從而完成整個(gè) 定理的證明。這種故意留錯(cuò)、讓學(xué)生尋找的教 學(xué)設(shè)計(jì)，有助于加深學(xué)生對(duì)某些易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)的 印象，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力。注重不同學(xué)科關(guān)聯(lián)我們?cè)谥v授過(guò)程中除了反復(fù)提到所用的微 積分、線性代數(shù)知識(shí)作為研究幾何的工具外，還 注重與數(shù)學(xué)其他分支、其他學(xué)科之間乃至實(shí)際生 產(chǎn)生活的聯(lián)系。一個(gè)典型例子是，球面的球極投 影參數(shù)化可以和拓?fù)鋵W(xué)中的單點(diǎn)緊致化定理、復(fù) 分析中的擴(kuò)充復(fù)平面聯(lián)系起來(lái)，同時(shí)指出其在制