中考四邊形綜合概要

1、中考數(shù)學四邊形、單元知識網(wǎng)絡：as中位線知識平行四邊形T正方形as中位線知識平行四邊形T正方形I梯形二、考試目標要求：1探.索并了解多邊形的內角和與外角和公式，了解正多邊形的概念.2掌.握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性質，了解它們之間的關系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.3探.索并掌握平行四邊形的有關性質和四邊形是平行四邊形的條件.4探.索并掌握矩形、菱形、正方形的有關性質和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件.5探.索并了解等腰梯形的有關性質和四邊形是等腰梯形的條件.6.通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡

2、單的鑲嵌設計.三、知識考點梳理知識點一、多邊形的有關概念和性質1多.邊形的定義：在平面內，由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.2.多邊形的性質：多邊形的內角和定理：邊形的內角和等于-0（2推）論：多邊形的外角和是360；修53）對角線條數(shù)公式：邊形的對角線有2條；正）多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形知識點二、四邊形的有關概念和性質1四.邊形的定義：同一平面內，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形2.四邊形的性質：（1定）理：四邊形的內角和是360；（2推）論：四邊形的外角和是360.知識點三、平行四邊形.平行四邊形的定義：兩

3、組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的性質：（1平）行四邊形的對邊平行且相等；（2平）行四邊形的對角相等；（3平）行四邊形的對角線互相平分；3平.行四邊形的判定方法：（1兩）組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義）；（2兩）組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3兩）組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（4一）組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（5對）角線互相平分的四邊形是平行四邊形.面積公式：是平行四邊形的一條邊長，是這條邊上的高知識點四、矩形矩.形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形矩.形的性質矩形具有平行四邊形的所有性質；（1矩）形的對邊平行且相等；（2矩）形的四

4、個角都相等，且都是直角；（3矩）形的對角線互相平分且相等.矩形的判定方法：（1有）一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義）；（2有）三個角是直角的四邊形是矩形；（3對）角線相等的平行四邊形是矩形.面積公式：b是矩形的邊長知識點五、菱形1菱.形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質：菱形具有平行四邊形的所有性質；（1菱）形的對邊平行，四條邊都相等；（2菱）形的對角相等；（3菱）形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.菱形的判定方法：（1有）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）；（2四）條邊都相等的四邊形是菱形；（3對）角線互相垂直的平行四邊形是菱形.面積公式：2是平

5、行四邊形的邊長，是這條邊上的高或=（是菱形的兩條對角線長知識點六、正方形1正.方形的定義：有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形；或有一個角是直角的菱形叫做正方形.2.正方形的性質:正方形具有平等四邊形、矩形、菱形的所有性質；（1正）方形的對邊平行，四條邊都相等；（2正）方形的四個角都是直角；（3正）方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分；每條對角線平分一組對角；3正.方形的判定方法：（1有）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2有）一個角是直角的菱形是正方形；（3對）角線相等的菱形是正方形；（4對）角線互相垂直的矩形是正方形.4.面積公式：2是邊長或=正方形的對角線長平行四邊形和特殊的平行四邊形之間的聯(lián)系

6、:17加條邊相等!正方形廠5,對角線相等|17加條邊相等!正方形一6四個內質殛，廠邊平行旁-F2對邊相等TT一肘建相等1T一對角線互相平分|一|81對角線互相垂直a閨上角線平分各內角知識點七、梯形1梯.形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.（1互）相平行的兩邊叫做梯形的底；較短的底叫做上底，較長的底叫做下底（2不）平行的兩邊叫做梯形的腰.（3梯）形的四個角都叫做底角.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形的性質：（1等）腰梯形的兩腰相等；（2等）腰梯形同一底上的兩個底角相等.（3等）腰梯形的對角線相等.等腰梯形的判定方法：（

7、1兩）腰相等的梯形是等腰梯形（定義）；（2同）一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；（3對）角線相等的梯形是等腰梯形.梯形中位線：連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.面積公式：2=）是梯形的上、下底，是梯形的高知識點八、平面圖形的鑲嵌1平.面圖形的鑲嵌的定義：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌，又稱做平面圖形的密鋪.2.平面圖形鑲嵌的條件：（1同）種正多邊形鑲嵌成一個平面的條件：周角是否是這種正多邊形的一個內角的整倍數(shù).在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌.種正多邊形組合起來鑲嵌成一個平面的條件：個正多邊形

8、中的一個內角的和的倍數(shù)是0個正多邊形的邊長相等，或其中一個或個正多邊形的邊長是另一個或個正多邊形的邊長的整數(shù)四、規(guī)律方法指導1數(shù).形結合思想多邊形是反映了數(shù)的抽象性與形的直觀性這一對矛盾的對立統(tǒng)一，以及在一定條件下的互相轉化，由數(shù)構形，由形思數(shù)的數(shù)形結合思想.尤其在平行四邊形和矩形、菱形、正方形、梯形中，圖形的特點非常鮮明，與我們現(xiàn)實生活的聯(lián)系很大，利用它們的性質和判定能解決實際中的問題.2分.類討論思想根據(jù)題目中的已知判斷是哪種特殊的平行四邊形，不同的特殊的平行四邊形的性質和判定不同.結合各自的特點進行分類，得出最終的結論.3.化歸與轉化思想要記清和分清平行四邊形及特殊平行四邊形的性質與判定

9、，要體會化歸思想的應用，如：多邊形轉化為三角形；平行四邊形、梯形及特殊的平行四邊形性質的討論通過對角線轉化為全等三角形等.4.注意觀察、分析、總結在判斷邊相等或角相等的問題上，常以平行四邊形、梯形及特殊的平行四邊形的性質或判定為依據(jù)，當條件結論的關系無法找到時，可以通過輔助線將圖形適當變化，使條件集中，以便應用條件達到解題的目的，由繁變簡，一般與特殊之間的轉化.四邊形知識點間的聯(lián)系經(jīng)典例題透析考點一、多邊形及鑲嵌考點：本題考查邊形的內角和公式:0和多邊形的外角和是解析：設正多邊形邊數(shù)為，由題意得:考點：本題考查邊形的內角和公式:0和多邊形的外角和是解析：設正多邊形邊數(shù)為，由題意得:.若一個正多

10、邊形的內角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是X,解得，,這個多邊形的邊數(shù)是八邊下列正多邊形中，能夠鋪滿地面的是下列正多邊形中，能夠鋪滿地面的是、正五邊形、正六邊形、正七邊形、正八邊形、正五邊形、正六邊形、正七邊形、正八邊形考點：鑲嵌的條件：周角是這種正多邊形的一個內角的整倍數(shù)思路點拔：在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌答案：一個多邊形從一個頂點共引出三條對角線，此多邊形一定是四.邊形五邊形六.邊形.三角形四.邊形五邊形六.邊形.三角形思路點拔：邊形的對角線從一個頂點共引條對角線解析：根據(jù)題意列式為故6選.一個同學在進行多邊形內角和計算時，求得的內角和為發(fā)現(xiàn)少了一個內角.

11、少了的這個內角是度_，_他_求_的是解析：根據(jù)題意列式為故6選.一個同學在進行多邊形內角和計算時，求得的內角和為發(fā)現(xiàn)少了一個內角.少了的這個內角是度_，_他_求_的是2，5當發(fā)現(xiàn)錯了之后，重新檢查，邊_形_的_內_角和.思路點拔：一個多邊形的內角和能被180整除，本題內角和2思路點拔：一個多邊形的內角和能被180整除，本題內角和2除5以180后有余數(shù)，則少的內角應和這個余數(shù)互補解析：設這個多邊形邊數(shù)為，少算的內角度數(shù)為，由題意得：o0由題意得：o02+5x，H25+k180為整數(shù)，,.符合條件的只有。，解得應填、九總結升華：多邊形根據(jù)內角或外角求邊數(shù)，或是根據(jù)邊數(shù)求內角或對角線條數(shù)等題是重點，

12、只需要記住各公式或之間的聯(lián)系，并準確計算舉一反三：【變式1】如果一個多邊形的每一個內角都相等，且每一個內角的度數(shù)為1、5，那么這個多邊形的邊數(shù)為()以上答案都不對思路點拔：在本題可利用外角去求邊數(shù)，每個外角為45，外角和是360，有幾個外角就有幾條邊解析：多邊形的每個內角度數(shù)為，.每個外角為又多邊形外角和為6，邊數(shù)：，故選【變式2】多邊形的內角和隨著邊數(shù)的增加而解析：多邊形每增加一邊，內角和就增加【變式2】多邊形的內角和隨著邊數(shù)的增加而解析：多邊形每增加一邊，內角和就增加18增加、180以，_邊_數(shù)_增加一條時，它的內角和增加_度_答案：考點二、平行四邊形平行四邊形的周長為，兩鄰邊的比為2,則

13、這一組鄰邊長分別為考點：平行四邊形的邊的性質以思路點拔：掌握平行四邊形的對邊相等以解析：.口中，,周長為J，又二：2令，J，解得，J這一組鄰邊長分別為和已知是口的對角線交點，,那么的周長等于考點：平行四邊形的對角線互相平分以解析：中，2,2的周長考點：平行四邊形的判定思路點拔：本題可以利用平行四邊形的判定中的一組對邊平行且相等；也可以利用對角線互相平分來判定等.答案不唯一.條件一：增加的條件為/z口中，/F:、/B四邊形是平行四邊形條件二：增加的條件為解法一：可利用證明/,0，得,四邊形是平行四邊形解法二：連結交于中，,:=F=得四邊形是平行四邊形總結升華：借助平行四邊形的性質進行線段或角相等

14、的證明，或利用平行四邊形的判定條件確定四邊形的形狀，是考查的重點.舉一反三：【變式】在平行四邊形中，兩條對角線、相交于點，如右圖，與面積相等的三角形有個A、1B、2C、3D、4解析：兩條對角線分成的四個小三角形面積都相等，等底等高.與面積相等的三角形有、故選【變式】如圖，中N=,點、分別是，的中點，點在的延長線上，且NF考點：本題要求會綜合運用所學的知識證明結論：三）角形的中位線性質；直）角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；兩）組對邊分別平行的四邊形是平行四形.證明：、分別是，的中點，是考點：本題要求會綜合運用所學的知識證明結論：三）角形的中位線性質；直）角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；兩）組

15、對邊分別平行的四邊形是平行四形.證明：、分別是，的中點，是4的中位線2.JE,即中N。，是的中點，JCE=，AJENA=NEC、VZNaAZNc四邊形是平行四邊形考點三、矩形.如圖，矩形的兩條對角線相交于。Z=，則矩形對角線的長考點：矩形的性質.思路點拔：掌握矩形的對角線相等,會用一個角是60的等腰三角形是等邊三角形解析：在矩形中，2CB=A,VZ6.是等邊三角形AaAo故應填如右圖，把一張矩形紙片沿對折，使點落在處且刃后與相交于點寫出一組如右圖，把一張矩形紙片沿對折，使點落在處且刃后與相交于點寫出一組相等的線段思路點拔：理解折疊前后圖形的變化，思路點拔：理解折疊前后圖形的變化，/,也可證出4

16、/o找出對應量相等解析：總結升華：矩形在平行四邊形的基礎上進一步特殊化，結合矩形的對角線平分且相等，會運用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半這一性質舉一反三：【變式】四邊形的對角線相交于點，在下列條件中，不能判定它是矩形的是B=Z.Z90Z.ZCZZ思路點拔：本題應結合圖形去解決，掌握矩形的判定方法.解析：選項由,判定是口，再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得；選項由,判定是口，再利用對角線相等的平行四邊形是矩形；選項由ZZ,ZZ判定是口，再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得；而選項卻不能判定舉反例如直角梯形故選【變式】矩形一個角的平分線分矩形一邊成和，則這個矩形的面積為考點：矩形

17、的面積公式思路點拔：在沒有圖形的題中，畫圖時應考慮全面，本題體現(xiàn)了分類的思想，被分的兩部分長度不確定解析：如圖若，則矩形邊長分別和，面積為如圖若，則矩形邊長分別和5面積為則這個矩形面積就為和考點四、菱形.在菱形中，對角線、交于點，、的長分別為厘米、厘米，則菱形的面積為厘_米_2_._考點：菱形面積.思路點拔：菱形的對角線互相垂直，面積公式有兩個：（1底）乘高；（2對）角線乘積的一半22解：菱形的面積=乂?乂乂能夠判別一個四邊形是菱形的條件是22解：菱形的面積=乂?乂乂能夠判別一個四邊形是菱形的條件是對.角線相等且互相平分對.角線互相垂直且相等對角線互相平分一組對角相等且一條對角線平分這組對角考

18、點：菱形的判定解析：選項可判定為矩形；選項不能判定是平行四邊形，.也不能判定是菱形；選項只能判定是平行四邊形；選項由等角對等邊和三角形全等得到四條邊都相等故選總結升華：菱形在平行四邊形的基礎上進一步特殊化，菱形的對角線互相垂直，把菱形分成四個全等的直角三角形，常利用這一性質求線段和角，以及菱形的面積.舉一反三：【變式1】已知菱形的一條對角線與邊長相等，則菱形的兩個鄰角度數(shù)分別為()A.4，5135B.6，0120C.，9090D.3，015思路點拔：菱形的一條對角線與邊長相等，則構成等邊三角形，從而求出菱形的內角度數(shù).答案：【變式】如圖，已知平分/A，判斷四邊形的形狀(2它)的周長是多少?考點

19、：菱形的判定思路點拔：利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形的判定方法證明證明：.)平分/AAZZ:，A四邊形是平行四邊形，ZDAZBAZDA=D，EAAE=DEA平行四邊形是菱形平行四邊形是菱形，A菱形的周長E【變式】如圖，菱形的邊長為2Z【變式】如圖，菱形的邊長為2Z則點的坐標為思路點拔：利用數(shù)形結合的思想，可先求點坐標，再向右平移個單位解析：過作，于，/,屈,虛顯乙，考點五、正方形.正方形具有而矩形不一定具有的特征是四個角都是直角對角線互相平分對角線互相垂直對角線相等思路點拔：正方形是滿足矩形和菱形的所有性質.正方形的對角線互相垂直，而矩形對角線則不一定互相垂直對答案：.如圖，以、為頂點作位

20、置不同的正方形，一共可以作對個對個對個思路點拔：本題考查學生解題能力，容易將是對角線的情況忽略，而錯誤的選.如圖，以、為頂點作位置不同的正方形，一共可以作對個對個對個思路點拔：本題考查學生解題能力，容易將是對角線的情況忽略，而錯誤的選解析：如圖，共有3個4圖中的矩形是由六個正方形組成，其中最小的正方形的面積為1，求這個矩形的長和寬各是多少？思路點拔：本題利用正方形的邊長相等，及矩形的對邊相等，設某個正方形的邊長為，并用表示矩形的對這得出相應的方程，求出矩形的長和寬.解：設右下方正方形的邊長為K，則左下方正方形的邊長為內，II左上方正方形的邊長為內，右上方正方形的邊長為內，th一根據(jù)長方形的對邊

21、相等可列方程2+12,解這個方程得工，長方形的長為，寬為總結升華：正方形的性質很多，往往是在判定矩形或菱形的基礎上再進一步判定正方形，.做正方形的問題時,要考慮全面,有選擇的運用正方形的知識解題.舉一反三：【變式1】下列選項正確的是()四邊相等的四邊形是正方形對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形對角線垂直的平行四邊形是正方形四角相等的四邊形是正方形考點：正方形的判定方法.思路點拔：掌握正方形的判定方法要從邊、角、對角線各方面考慮.解析：、選項能判定是菱形；選項能判定是矩形；故應選【變式】正方形中，對角線長為是上任意一點，則點到、的距離之和【變式】正方形中，對角線長為是上任意一點，則點到、的

22、距離之和等于等于思路點拔：本題方法很多，可以利用三角形面積去求：連接，的面積等于和4的面積之和；也可證明矩形，得,再證,從而得出結論總之，在上移動時，點到、的距離之和總等于對角線長的一半解析：【變式3】(1順)次連結任意四邊形四邊中點所得的四邊形一定是、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形(2順)次連結對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是()A平行四邊形、矩形、菱形、正方形(3順)次連結對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是()A平行四邊形、矩形、菱形、正方形(4順)次連結對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是()A平行四邊形、矩形、

23、菱形、正方形考點：中點四邊形的判定由原四邊形的對角線決定.思路點拔：規(guī)律：順次連結任意四邊形四邊中點所得的四邊形一定是平行四邊形；順次連結對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是菱形；順次連結對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是矩形；順次連結對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是正方形.答案：考點六、梯形1.等腰梯形中，ADII,AD=5,BC=9,4=6。二則梯形的腰長是cm.考點：等腰梯形的性質.思路點拔：梯形常作的輔助線是作梯形的高，將梯形分成一個矩形和兩個直角三角形；本題也可平移一腰，將梯形分成一個平行四邊形和一個等邊三角形.解析：過作交于，,A=.*.

24、梯形是等腰梯形，.J，二/,是等邊三角形JE即梯形的腰長是如.圖，在梯形中，=則8此梯形的面積是如.圖，在梯形中，=則8此梯形的面積是思路點拔：梯形常作的輔助線還有就是平移對角線，將梯形分成一個三角形以及一個平行四邊形解析：過作交延長線于，可得,，二=的三邊為、，二為直角三角形，和等底等高，梯形的面積等于的面積2即梯形的面積XX27如圖，在等腰梯形中，;梯形7如圖，在等腰梯形中，;梯形是軸對稱圖形；N,相交于點有下列四個結論:Ba/其中正確的是考點：本題考查的是等腰梯形的性質答案：總結升華：解決梯形問題時，輔助線是常用的方法，除上述輔助線之外，還可以延長兩腰交于一點，構成三角形；若已知一腰中點

25、，可連結一頂點和這個中點，構成兩個全等的三角形.舉一反三：【變式】已知梯形的上底長為3w，中位線長為、小，則下底長為考點：梯形的中位線性質.思路點拔：梯形的中位線平行兩底，且等于上、下底和的一半答案:【變式】如圖，梯形,則0中，、分別是、的中點，/和N互余，若解析：過作，交于、，可求VZ答案:【變式】如圖，梯形,則0中，、分別是、的中點，/和N互余，若解析：過作，交于、，可求VZ和N互余，可得，再證是可求的長2*斜邊上的中線，【變式】已知等腰梯形為梯形內一點，且瓦4求證：EBH思路點拔：利用梯形的性質可證明三角形全等證明：在等腰梯形中，/Z/，/Z/ZZN,即NZ,中考題萃北京市分若一個多邊形

26、的內角和等于,則這個多邊形的邊數(shù)是赤峰市分分別剪一些邊長相同的正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形，如果用其中一種正多邊形鑲嵌，可以鑲嵌成一個平面圖案的有都可以.湖（北省襄樊市）（分3）順次連接等腰梯形四邊中點所得四邊形是（）菱形正方形矩形等腰梯形衡陽市分如圖，在平行四邊形9C口中，CW5,為垂足，如果3=12b，那么acE的度數(shù)是60-50-40-30-60-50-40-30-正方正方廣（州）（分3）如圖，每個小正方形的邊長為1，把陰影部分剪下來，用剪下來的陰影部分拼成一個形，那么新正方形的邊長是乖烈巫永（春縣）（分3）四邊形的外角和等于度_如.圖，在正五邊形中，連結，則N如.圖，在正五邊形

27、中，連結，則N的度數(shù)是佳（木斯市）（分3）一幅圖案.在某個頂點處由三個邊長相等的正多邊形鑲嵌而成.其中的兩個分別是方形和正六邊形，則第三個正多邊形的邊數(shù)是江蘇省宿遷市分若一個正多邊形的內角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是10安.順（市）（分4）若順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是菱形，則原四邊形可能是寫_出兩種即可）赤峰市分如圖，已知，1平分/員4口，/1=/2，四=口2=3，則=;上佛山市分如圖，已知是正方形對角線上一點，且，則N度數(shù)是湖赤南峰省懷化市）峰分2）如圖，在平行四邊形中，乙湖赤南峰省懷化市）峰分2）如圖，在平行四邊形中，乙4=百C，海南省分如圖，在等腰梯形中，D,E,，則使點痕為莆.田（市）（分3）如圖，大正方形網(wǎng)格是由16個邊長為1的小正方形組成，則圖中陰影部分的面積廣.州（）（分3）如圖，在梯形莆.田（市）（分3）如圖，落在上的湖.北（省荊門市，那么折痕1處，分3四邊形中,是一張矩形紙片，度_，=則8梯形的高為,若沿過點的折痕將角翻折，如圖，矩形紙片的長為中，,將其折疊，使點與點重合，折江蘇省宿遷市分如圖，菱形的兩條對角線分別長和，點是對角線上的一個動點，點分別是邊的中點，則的最小值是分別是邊的中點，則的最小值