常微分方程講稿

1、關于常微分方程1第一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月26.1 線性微分方程組的一般理論第二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3一階線性微分方程組:稱式(2)為一階齊次線性微分方程組.非齊次線性微分方程組 (1)則式（1）變?yōu)?2)稱式（1）為第三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月4一 齊次線性微分方程組1 疊加原理定理1證明:則有所以如果是方程（2）的m個解,則它們的線性組合也是方程(2)的解，這里 是任意常數(shù)。由于是方程（2）的m個解第四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月52 函數(shù)向量組線性相關與線性無關定義 設是一組定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)列向量，如果存在

2、一組不全為零的常數(shù)使得對所有 ，有恒等式則稱在區(qū)間a,b上線性相關；否則就稱這組向量函數(shù)在區(qū)間a,b上線性無關。第五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月6證明:例1證明:函數(shù)向量組在任何區(qū)間都是線性相關的.第六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月7例2證明:函數(shù)向量組證明:要使第七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月8則需因為所以故線性無關.第八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月93 函數(shù)向量組線性相關與無關的判別準則(1) Wronsky行列式由這n個向量函數(shù)所構成的行列式稱為這n個向量函數(shù)所構成的Wronsky行列式第九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月1

3、0(2)定理2證明:第十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11(3)定理3證明:“反證法”則現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理1知,如果（2）的解線性無關，則它們的Wronsky行列式第十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月12由(3)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾注1:注2:第十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月13(4)定理4一階微分方程組(2)一定存在n個線性無關的解.證明:由解的存在唯一性定理知,(2)一定存在滿足初始條件且第十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月144 通解結構及基本解組定理5證明:由已知條件,第十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于202

4、2年6月15又因為第十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月16即它們構成n維線性空間的基,現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理1知,由(4)知,因此,由解的存在唯一性定理,應有即第十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月17推論1(2)的線性無關解的最大個數(shù)等于n。基本解組:一個基本解組。注1:齊次微分方程組(2)的基本解組不唯一。注2:齊次微分方程組(2)的所有解的集合構成一個n維線性空間。注3: 由n階線性微分方程的初值問題與線性微分方程組的初值問題的等價性描述,本節(jié)所有定理都可平行推論到n階線性微分方程去。第十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月18推論2第十八張，PPT共四十三

5、頁，創(chuàng)作于2022年6月195 解矩陣與基解矩陣及性質(1)定義則稱這個矩陣為齊次微分方程組(2)的解矩陣。則稱該解矩陣為(2)的基解矩陣?；饩仃囈曰窘饨M為列構成的矩陣。第十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月20注:這里C是確定的N維向量空間第二十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月21例3驗證是方程組基解矩陣.解:由于又由于第二十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月22證明:第二十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月23證明:于是有由此可得第二十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月24即有例4驗證是方程組的基解矩陣,并求其通解。解:第二十四張，PP

6、T共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月25又由于其通解為第二十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月26二 非齊次線性微分方程組1 非齊線性微分方程組解的性質性質1性質2第二十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月27性質32 通解結構定理定理6這里C是確定的常數(shù)列向量。證明:由性質2知,即這里C是確定的常數(shù)列向量。第二十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月283 常數(shù)變易公式則(2)的通解為其中C是任意的常數(shù)列向量,下面尋求(1)形如的解,把(7)代入(1),得(1) 一階線性微分方程組的常數(shù)變易公式第二十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月29從而反之,可驗證(8)

7、是方程組(1)滿足初始條件的特解。因此,(7)變?yōu)榈诙艔?，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月30定理7 向量函數(shù)是(1)的解,且滿足初始條件 方程組(1)的通解為注1:注2:公式(8)或(9)稱為(1)的常數(shù)變易公式。第三十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月31例5求方程組的通解.解:由例4知是對應齊次方程的基解矩陣,由(8)得方程的特解為第三十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月32所以,原方程的通解為第三十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月33例6試求初值問題解:由例3知是對應齊次方程的基解矩陣,第三十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月34故方程

8、滿足初始條件的解是第三十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月35(2) n階線性微分方程的常數(shù)變易公式則線性微分方組的初值問題的基本解組為從而其基解矩陣為第三十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月36第三十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月37推論3的基本解組,那么非齊線性方程的滿足初始條件解為第三十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月38公式(13)稱為(12)的常數(shù)變易公式.方程(12)的通解可表為第三十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月39但是第三十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月40而通解是第四十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月41例7試求方程的一個解。解:易知對應齊線性方