專(zhuān)題16 角平分線四大模型

1、中考?？紟缀文Ｐ蛯?zhuān)題 16 角平分線四大模型1、角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線如圖，P是ZMON的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA丄0M于點(diǎn)A, PB丄ON于點(diǎn)B。 結(jié)論：PB=PAO2、截取構(gòu)造對(duì)稱全等如圖，P是ZMON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，在ON 上截取OB=OA，連接PB。結(jié)論： OPBOPAo3、 角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是ZMO的平分線上一點(diǎn)，如圖，P是ZMO的平分線上一點(diǎn)，AP丄OP于P點(diǎn)，延長(zhǎng)AP于點(diǎn)Bo 結(jié)論：AAOB是等腰三角形。0N4、角平分線+平行線如圖，P是MO的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作PQON,交OM于點(diǎn)Q。結(jié)論：APOQ是等腰三角形。模型精練：1.

2、 (2019東平縣二模)如圖，ABC的外角ZACD的平分線CP與內(nèi)角/ABC的平分線BP交于點(diǎn)P,若ZBPC=40，則 ZCAP=()【點(diǎn)睛】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出/BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定,得出ZCAP=ZFAP,即可得出答案【解析】解：延長(zhǎng)BA,作PN丄BD, PF丄BA, PM丄AC,設(shè) ZPCD=x,TCP 平分/ACD,AZACP=ZPCD=x, PM=PN,TBP 平分/ABC,AZABP=ZPBC, PF=PN,:PF=PM,VZBPC=40,：/ABP=/PBC=/PCD -ZBPC=(x - 40),:.ZBAC=ZACD-ZABC=2x-(

3、x-40)-(x-40)=80,：ZCAF= 100,在 RtPFA 和 RtPMA 中，PA = PAPM = PF，:.RtPFARtPMA (HL),:.ZF4P=ZP4C=50.故選：C.2. (2019桂平市期末)如圖，在ABC 中，ZC=90, AD 平分ZCAB, BC=12cm, BD = 8cm，那么點(diǎn)D 到直線 AB 的距離是( )A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 10cm【點(diǎn)睛】先求出CD的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性 質(zhì)可得DE=CD,從而得解.【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE丄AB于點(diǎn)E,rCrC BC=12cm, BD

4、8cm,；CD=BC - BD=12 - 8=4cm,VZC=90, AD 平分/CAB,:.DE=CD=4cm,即點(diǎn) D 到直線 AB 的距離是 4cm故選：B.（2020浙江自主招生）如圖，在ABC中，AD是ZA的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB=m, PC=n，AB=c，AC=b，貝9（m+n）與（b+c）的大小關(guān)系是（）A. m+nb+cA. m+nb+cB. m+nb+c.【解析】解：在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使AE=AC,連接EP,AD是ZA的外角平分線,:.ZCAD=ZEAD,AE = AC在AACP 和 AAEP 中，zCAD = EAD,AP = AP:、ACFA

5、EF (SAS),:.PE=PC,在 APBE 中，PB+PEAB+AE,:PB=m, PC=n, AB=c, AC=b,：.m+nb+c.故選：A.(2019蘭山區(qū)一模)如圖，在ABC中，ZABC和ZACB的平分線交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作MN/BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN= 11，則線段MN的長(zhǎng)為 11.【點(diǎn)睛】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZMEB=ZEBC,ZNEC=ZECB，根據(jù)角平分線定義得出Z MBE=ZEBC,ZNCE=ZECB，求出 ZMEB=ZMBE,ZNEC=ZNCE，推出 ME=BM, EN=CN 即可.【解析】解：: MN/ BC,:Z MEB=Z EBC,Z NEC=Z

6、ECB,: ZABC和ZACB的平分線交于點(diǎn)E,:Z MBE=Z EBC,Z NCE=Z ECB,:Z MEB=Z MBE,Z NEC=Z NCE,: ME= BM, EN= CN,VBM+CN=11,；EM+EN=11,即 MN=11,故答案為：115.如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=90, BF平分A ABC, CD丄BD交BF的延長(zhǎng) 線于點(diǎn)D,試說(shuō)明：BF=2CD.【點(diǎn)睛】作BE的中點(diǎn)E,連接AE、AD,根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出AE=BE=EF,由BD平 分 A ABC 就可以得出 ZABE=ZDBC=22.5，從而可以得出 ZBAE=ZBAE=ZACD=

7、22.5,ZAEF =45，由 ABAC=90,ABDC=90。就可以得出 A、B、C、D 四點(diǎn)共圓，求出 AD=DC，證ADC AEB推出BE=CD,從而得到結(jié)論.【解析】解：取BF的中點(diǎn)E,連接AE, AD,VABAC=90,：AE=BE=EF,:.AABD=ABAE,TCD 丄 BD,/.A, B, C, D四點(diǎn)共圓,； /DAC=/DBC,:BF 平分 ZABC,:.ZABD=ZDBC,；./DAC=/BAE,.ZEAD=90,VAB=AC,.ZABC=45,ZABD=ZDBC=22.5,.ZAED=45,:.AE=AD,在AABE與ADC中，乙 ABE = ADAC A.BAE =乙

8、ACD,AE = AD:.ABEADC,:.BE=CD,：BF=2CD.如圖，在ABC中，/ABE=2/C, AD是ZBAC的平分線，BE丄AD,垂足為E若ZC=30。，求證：AB=2BE.1若ZCH30。，求證：BE=2 (AC-AB).【點(diǎn)睛】(1)由BE丄AD,得到ZAEB=90。，根據(jù)已知條件得到ZABE= 60。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得 到ZBAE=30，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即刻得到結(jié)論；(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=AF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZAFE=ZABE=2ZC,根據(jù)三 角形外角的性質(zhì)得到ZC=ZCBF,得到BF=CF,于是得到結(jié)論.【解析】解：(1)：BE丄AD,A

9、ZAEB=90,:ZABE=2ZC,ZC=30,AZABE=60,AZBAE=30,:.AB=2BE；(2)：AD是ZBAC的平分線，BE丄AD,：AB=AF,:.ZAFE=ZABE=2ZC,:ZAFE=ZC+ZCBF,:.ZC=ZCBF,：BF=CF,:BF=2BE,： CF=AC - AB=BE=2BE,1:BE=2 (AC-AB).（2019沂源縣期末）如圖，在ABC中，AB=AC,ZABC=40, BD是ZABC的平分線，延長(zhǎng)BD至E,使 DE=AD,求證：ZECA=40.【點(diǎn)睛】在BC上截取BF=AB,連DF,根據(jù)SAS可證明AABDAFBD，得出DF=DA =DE,證明DCEADC

10、F，故 ZECA=ZDCB=40.【解析】證明：在BC上截取BF=AB，連DF,TBD 是ZABC的平分線，AZABD=ZFBD,:.ABDFBD (SAS),:.DF=DA=DE,又VZACB=ZABC=40,ZDFC=180-ZA = 80 ,AZFDC=60,AZEDC=ZADB=180-ZABD-ZA = 180-20-100=60,：DCEDCF (SAS),故 ZECA=ZDCB=40.(2019臨洮縣期末)已知ABC 中，AB=AC,ZA = 108, BD 平分ZABC,求證：BC=AC+CD.【點(diǎn)睛】在線段BC上截取BE=BA，連接DE.則只需證明CD=CE即可.結(jié)合角度證明

11、ZCDE=ZCED.【解析】證明：在線段BC上截取BE=BA，連接DE.: BD 平分 ZABC,1.ZABD=ZEBD= qZABC.在 ABD和AEBD中，BE = BA乙ABD =乙EBD，ED = BD:.ABD竺EBD. (SAS)AZBED=ZA = 108，ZADB=ZEDB.1又VAB=AC，ZA = 108，ZACB=ZABC=2x(180-108)=36 ,AZABD=ZEBD=18.AZADB=ZEDB=180-18-108=54.ZCDE=180-ZADB-ZEDB=180-54-54=72.ZDEC=180-ZDEB=180-108=72.AZCDE=ZDEC.CD

12、= CE.:BC=BE+EC=AB+CD.(2019自貢期中)如圖，在四邊形ABCD中，BCBA, AD=DC,若 BD丄CD,ZC=60, BC=10，求 AD 的長(zhǎng)；若 BD 平分ZABC,求證：ZA+ZC=180.【點(diǎn)睛】(1)由含30角的直角三角形的性質(zhì)求出DC,即可得出答案；(2)在 BC 上截取 BE=BA,連接 DE,推出ABDEBD，推出 ZA=ZBED, AD=DE=DC，推出ZBED+ZC=180，即可得出答案.【解析】(1)解：TBD丄CD,ZC=60, ZCBD = 30,dc=2bc=5,VAD=DC=5；(2)證明：在BC上截取BE=BA，連接DE,如圖所示: BD

13、 平分 ZABC, ZABD=ZEBD,AB = BE在AABD 和AEBD 中，乙ABD =乙EBD,、ED = BD:.ABDEBD (SAS),:.ZA=ZBED, AD=DE,.AD=DC,；.DE=DC,:.ZC=ZDEC,VZBED+ZDEC=ZA+ZDEC=ZA+ZC=180, 即 ZA+ZC=180.（2019宜昌期中）（1）已知：如圖1,等腰直角三角形ABC中，ZB = 90, AD是ZBAC的外角平分 線，交CB邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：BD=AB+AC；（2）對(duì)于任意三角形ABC,ZABC=2ZC, AD是ZBAC的外角平分線，交CB邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,如 圖2,請(qǐng)你寫(xiě)出線段

14、AC、AB、BD之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.EACBDB EACBDB mi【點(diǎn)睛】（1）在CA的延長(zhǎng)線上截取AE=AB,連接DE,由角平分線的性質(zhì)就可以得出EADABAD,得出 ZAED=ZABD=90, DB=DE,就可以得出 DB=AB+AC；(2)在CA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使AE=AB,連接DE,由角平分線的性質(zhì)就可以得出AEDAABD, 就可以得出DE=DB,ZAED=ZABD，就可以得出/DEF=/ABC,就可以得出ZEDC=ZC,進(jìn)而得 出結(jié)論【解析】證明：(1)在CA的延長(zhǎng)線上截取AE=AB，連接DE.EACBCDD圖2EACBCDD圖2B miTAD 平分ZEAB,AZEAD=

15、ZBAD,在AEAD和ABAD中,EA = BAEAD =ABAD,AD = ADEADABAD (SAS).AZAED=ZABD, DB=DE,VAB=BC,ZABC=90 .ZC=45,ZABD=90 , .ZAED=90,AZEDC=45,AZEDC=ZC,：DE=EC. BD= EC.EC=AE+AC,:.BD=AE+AC:.DB=AE+AC=AB+AC；(2) BD=AB+AC,理由如下：在CA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使AE=AB，連接DE,TAD 平分ZEAB,AZEAD=ZBAD,在AEAD和ABAD中，EA = BAAEAD =ABAD,AD = AD:.AEADABAD (SAS

16、).AZAED=ZABD, DB=DE.VZAED+ZFED=180,ZABD+ABC=180,AZFED=ZABC.VZABC=2ZC,AZFED=2ZC.VZFED=ZEDC+ZC,A2ZC=ZEDC+ZC,AZC=ZEDC,.DE=CE.BD=EC.EC=AE+AC,:.BD=AE+AC:.DB=AE+AC=AB+AC.(2019潮南區(qū)期中)在ABC中，BD 是ZABC的平分線，AD丄BD,垂足是D.求證：Z2=Z1+ZC；若 ED/BC,/ABD=28，求ZADE 的度數(shù).BC【點(diǎn)睛】(1)如圖延長(zhǎng)AD交BC于H 證明 BDAABDH (ASA)即可解決問(wèn)題.求出ZAHC，再利用平行線

17、的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.【解析】解：(1)如圖延長(zhǎng)AD交BC于H.BD 丄 AH，AZBDA=ZBDH=90， ZABD=ZHBD，BD=BD, .BDAABDH (ASA)，ABA=BH，Z2=ZBHA，VZBHA=Z1+ZC，AZ2=Z1+ZC.(2)VZABD=28,ZBDA=90,.Z2 = 62,.ZAHB=Z2=62,.ZAHC= 180-62=118,.DEEC,AZADE=ZAHC= 118.(2019蔡甸區(qū)校級(jí)月考)如圖，在ABC, AD平分ZBAC, E、F分別在BD、AD上，且DE=CD,EF=AC，求證：EFAB.【點(diǎn)睛】過(guò)E作AC的平行線于AD延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，可證明ADE

18、GADCA，可得EG=EF,可證明EFAB.【解析】解：過(guò)E作AC的平行線于AD延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，：EGII AC在ADEG和ADCA中，ADC=乙GDE CD = ED ,、乙DEG = DCA:.ADEGADCA (ASA),AEG=EF,ZG=ZCAD, 又 EF=AC故 EG=ACTAD 平分 ABAC,:.ZBAD=ZCAD, ；EG=EF,:.ZG=ZEFD,:.ZEFD=ZBAD,： EF/AB.AA（2019 崇安區(qū)校級(jí)月考）如圖，在梯形ABCD中，AD/BC, AE平分A BAD, BE平分ZABC,且AE、BE交CD于點(diǎn)E.試說(shuō)明AD=AB - BC的理由.【點(diǎn)睛】在AB上找

19、到F使得AF=AD，易證AEFAED，可得AF=AD,AAFE=AD,根據(jù)平行 線性質(zhì)可證AC=ABFE，即可證明 BECBEF，可得BF=BC,即可解題.【解析】證明：在AB上找到F使得AF=AD,:.ZEAD=ZEAF,AD = AF在 AAEF 和 AAED 中，zEAD = EAF,AE = AE:.AEFAED, (SAS):.AF=AD,ZAFE=ZD,.ADBC,.ZD+ZC=180,：/AFE+/BFE=180:.ZC=ZBFE,: BE 平分 ZBAD,:.ZFBE=ZC,上BFE = zC:在ABEC 和 ABEF 中，zFBE = zCBE,.BE = BE:.ABEC竺

20、 ABEF, (AAS):.BF=BC,.AB=AF+BF,:.AB=AD+BC, 即卩 AD=AB-BC.(2019江夏區(qū)校級(jí)月考)如圖1, ABCD, P為AB、CD之間一點(diǎn)若AP平分ZCAB, CP平分ZACD.求證：AP丄CP；22如圖(2),若ZBAP=5ZBAC，ZDCP =5ZACD，且 AE 平分ZBAP, CF 平分/DCP，猜想ZE+ZF的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；11在(1)的條件下，當(dāng)ZBAQ=3BAP, ZDCQ= 3ZDCP, H為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連HQ并延長(zhǎng)至K, 使ZQKA=ZQAK,再過(guò)點(diǎn)Q作ZCQH的平分線交直線AK于M,問(wèn)當(dāng)點(diǎn)H在射線AB上移動(dòng)時(shí)，Z QMK的大

21、小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍.ASQDDC圖1圖ASQDDC圖1圖3H E【點(diǎn)睛】(1)依據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，即可得到ZP=180-90=90。，進(jìn)而得到AP 丄 CP；過(guò)E作EGAB,過(guò)F作FHCD,依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到ZAEC=ZBAE+ZDCE,ZAFC22= ZBAF+ZDCF，再根據(jù)ZBAP =5ZBAC,ZDCP =5ZACD, AE 平分ZBAP, CF 平分ZDCP，即可 得到 ZE+ZF=108；1過(guò)Q作QE#AB,依據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZAQC=ZAQE+ZCQE=ZBAQ+ZDCQ,依據(jù)ZBAQ= 31ZBAP,ZDCQ=3ZDCP，

22、即可得出ZAQC=30。，再根據(jù)ZM=ZMQH -ZK進(jìn)行計(jì)算，即可得出ZQMK的大小不變，是定值15【解析】解：（1）TABCD,:.ZBAC+ZACD=180,又：AP平分/CAB,CP 平分/ACD,1:/CAP= 2/CAB,1/ACP= 2/ACD,1:/CAP+/ACP= 21(/BAC+/ACD) =2燈80=90 ,:.ACP 中，ZP=180-90=90,即AP丄CP；(2)ZE+ZF=108證明：如圖2,過(guò)E作EGAB, F作FHHCD,：ABH CD,.EG/AB/FH/CD,/BAC+/DCA = 180,:.ZBAE=ZAEG,ZDCE=ZCEG,ZBAF=ZAFH,

23、ZDCF=ZCFH,：.ZAEC=ZBAE+ZDCE,ZAFC=ZBAF+ZDCF,22:/BAP =5ZBAC,ZDCP =5ZACD, AE 平分 /BAP, CF 平分 ZDCP,11:/BAE =5/BAC,/DCF =5/DCA,1 2 2 1:/AEC= 5/BAC+5/ACD,/AFC= 5/BAC+5/DCA,1221333:.ZAEC+ZAFC =5ZBAC+ 5ZACD+5ZBAC+5ZDCA =5ZACD+ 5ZBAC =5 (/BAC+/DCA)=33X180=108；如圖，過(guò)Q作QEAB,.ABCD,QECD,:.ZBAQ=ZAQE,ZDCQ=ZCQE,:.ZAQC=

24、ZAQE+ZCQE=ZBAQ+ZDCQ,由(1)可得 ZBAP+ZDCP=180-90=90,11又VZBAQ= 3BAP,ZDCQ= 3 上 DCP,1 1 1 .ZAQC=ZBAQ+ZDCQ=3ZBAP+3ZDCP=3(ZBAP+ZDCP)=30,yZAQH 是 AAOK 的外角，QA = QK,1.ZK= qZAQH,：QM是ZCQH的平分線，1：,ZMQH= 2 乙 CQH,: /MQH是AMOK的外角,1 1 1 1 1.ZM=ZMQH-ZK=2ZCQH2ZAQH=2(ZCQH-ZAQH)=2ZAQC=2X30=15,即ZQMK的大小不變，是定值15.(2019東湖區(qū)校級(jí)月考)(1)

25、如圖1,已知：在ABC中，AB=AC= 10, BD平分ZABC, CD平分ZACB,過(guò)點(diǎn)D作EFBC,分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有5個(gè)等腰三角形:EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是 BE+CF=EF , AEF的周長(zhǎng)是一 20AAEDDEBCBCBC圖AAEDDEBCBCBC圖2如圖2,若將(1)中“ABC中，AB=AC=10”改為“若ABC為不等邊三角形，AB=8, AC =10”其余條件不變，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你 的結(jié)論，并求出aaef的周長(zhǎng)已知：如圖3, D 在ABC夕卜，ABAC,且BD平分ZABC, CD平分ABC的外角ZACG,過(guò)點(diǎn) D作DEHBC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫(xiě)出結(jié)論 不證明.【點(diǎn)睛】(1)根據(jù)角平分線的定義可得ZEBD=ZCBD,ZFCD=ZBC