光纖光學(xué)劉德明階躍折射率分布光纖

1、第三章 階躍折射率分布光纖 13.1 引言 數(shù)學(xué)模型園柱坐標(biāo)系中的波導(dǎo)場(chǎng)方程邊界條件本征解與本征值方程本征值與模式分析2數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：階躍折射率分布光纖(SIOF)是一種理想的數(shù)學(xué)模型,即認(rèn)為光纖是一種無(wú)限大直園柱系統(tǒng),芯區(qū)半徑a,折射率為n1;包層沿徑向無(wú)限延伸,折射率為n2;光纖材料為線性、無(wú)損、各向同性的電介質(zhì)。33.2 幾何光學(xué)方法分析 光線分類光線軌跡：子午光線光線軌跡：傾斜光線4光線分類子午光線：限制在子午平面內(nèi)傳播的光線與光軸相交傾斜光線：軌跡曲線不限制在一個(gè)平面內(nèi)不過(guò)光軸5子午平面6SIOF中光線的傳播:子午光線折射率分布:光線軌跡: 限制在子午平面內(nèi)傳播的鋸齒形折線。 光

2、纖端面投影線是過(guò)園心交于纖壁的直線。導(dǎo)光條件:臨界角:數(shù)值孔徑: 定義光纖數(shù)值孔徑NA為入射媒質(zhì)折射率與最大入射角的正弦值之積,即 相對(duì)折射率差: 最大時(shí)延差：n1n27SIOF的傳輸容量傳輸容量: 時(shí)延差的倒數(shù)多模光纖: n1=1.5, =1%, t =50 ns/km傳輸帶寬: 1/ t = 20 MHzkm結(jié)論1: 多模光纖通信容量并不高!由一點(diǎn)發(fā)出的光線不能會(huì)聚在另一點(diǎn):結(jié)論2:多模光纖不適合于傳輸圖像!8信息傳輸速率與媒介的容量信息傳輸速率Audio: 9.6-128 kbit/sTV: 1-6 Mbit/sHDTV: 10-100 Mbit/s通信媒介傳輸速率：衛(wèi)星/微波：140

3、Mbit/s同軸電纜：60 Mbit/s光纖：50 Tbit/s9光通信速率的不斷提升速率(Mb/s)容納電話(路）2308120344801551920 6227680 1.25 Gb/s154362.5 Gb/s3072010 Gb/s12288040 Gb/s491520 160 Gb/s196608010 1310nm/1550nm窗口的波分復(fù)用 仍用于接入網(wǎng)，但很少用于長(zhǎng)距離傳輸 1550nm窗口的密集波分復(fù)用(DWDM) 可廣泛用于長(zhǎng)距離傳輸，用于建設(shè)全光網(wǎng)絡(luò)波分復(fù)用技術(shù)的發(fā)展11可利用的波長(zhǎng)資源O-band (Original): 1260-1360 nmE-band (Exte

4、nded): 1360-1460 nmS-band (Short):, 1460-1530 nmC-band (Conventional):1530-1565 nmL-band (Long):1565-1625 nmU-band (Ultralong): 1625-1675 nm采用超密集波分復(fù)用技術(shù), 一根光纖可以同時(shí)傳輸1000個(gè)波長(zhǎng)信道, 意味著: 全世界的人可以同時(shí)通過(guò)一根光纖打電話!12SIOF中光線的傳播: 傾斜光線光線軌跡：(螺旋折線)內(nèi)散焦面半徑：數(shù)值孔徑： (大于子午光線)最大時(shí)延差： (大于子午光線)13極限情況，當(dāng)滿足cosn2/n1時(shí)，s，盡管光線依然可以滿足內(nèi)全反射條

5、件而被約束在纖芯中，但光線僅僅在光纖橫截面上頻繁反射而不沿z軸向前傳播。顯然，若考慮偏斜光線的傳播，光纖的傳輸帶寬比僅考慮子午光線時(shí)要小。 143.3 波導(dǎo)場(chǎng)方程及導(dǎo)模本征解六個(gè)場(chǎng)分量：Er,E,Ez,Hr,H,Hz波導(dǎo)場(chǎng)方程：解的基本形式：15貝塞爾方程及其解縱向場(chǎng)分量滿足：貝塞爾方程貝塞爾方程的解：第一類和第二類貝塞爾函數(shù)：Jl, Nl 第一類和第二類漢克爾函數(shù)：Hl (1) , Hl (2) 第一類和第二類變態(tài)漢克爾函數(shù)：Il , Kl161718場(chǎng)解的選取依據(jù)：導(dǎo)模場(chǎng)分布特點(diǎn):在空間各點(diǎn)均為有限值; 在芯區(qū)為振蕩形式,而在包層則為衰減形式;導(dǎo)模場(chǎng)在無(wú)限遠(yuǎn)處趨于零。貝塞爾函數(shù)形式: Jl

6、呈振蕩形式, Kl則為衰減形式。本征解選取: 在纖芯中選取貝賽爾函數(shù)Jl,在包層中選取變態(tài)漢克爾函數(shù)Kl.19本征解的確定纖芯(0ra)：橫向分量： 可由縱橫關(guān)系式求得20213.4 本征值方程 22本征值方程的物理意義又稱特征方程，或色散方程。其中U與W通過(guò)其定義式與相聯(lián)系,因此它實(shí)際是關(guān)于的一個(gè)超越方程。當(dāng)n1、n2、a和0給定時(shí), 對(duì)于不同的l值,可求得相應(yīng)的值。由于貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)具有周期振蕩性質(zhì), 所以本征值方程可以有多個(gè)不同的解lm(l=0,1,2,3. m=1,2,3.),每一個(gè)lm都對(duì)應(yīng)于一個(gè)導(dǎo)模。23課堂測(cè)驗(yàn)（2）說(shuō)明從波動(dòng)方程到波導(dǎo)場(chǎng)方程兩次分離變量的依據(jù)。波導(dǎo)場(chǎng)方程具有

7、什么樣的數(shù)學(xué)特征？說(shuō)明光線在SIOF和GIOF中的軌跡曲線是什么樣的。傳播常數(shù)的的物理意義是什么。說(shuō)明V、U、W參數(shù)的物理意義及其相互關(guān)系。說(shuō)明光波導(dǎo)數(shù)值孔徑的物理意義子午光線的主要特征是什么? 光線時(shí)延差影響光通信的什么性能？在什么條件下才可以唯一確定光波導(dǎo)中的模式？在纖芯和包層中選取的貝賽爾函數(shù)分別具有什么數(shù)學(xué)特征？243.3 本征值方程 本征解：纖芯(0ra)：邊界條件：Ez和Hz在ra處連續(xù)：得到：25E和H在ra處連續(xù) ，得到：26欲獲得A與B不全為零的解， 須使方程組特征行列式為零：得到本征值方程： 27本征值方程的物理意義又稱特征方程，或色散方程。其中U與W通過(guò)其定義式與相聯(lián)系,

8、因此它實(shí)際是關(guān)于的一個(gè)超越方程。當(dāng)n1、n2、a和0給定時(shí), 對(duì)于不同的l值,可求得相應(yīng)的值。由于貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)具有周期振蕩性質(zhì), 所以本征值方程可以有多個(gè)不同的解lm(l=0,1,2,3. m=1,2,3.),每一個(gè)lm都對(duì)應(yīng)于一個(gè)導(dǎo)模。283.4 模式分析 29本征值方程形式1：形式2：定義：303.4.1 光纖中的模式及其分類 HE模偏振旋轉(zhuǎn)方向與波行進(jìn)方向一致(符合右手定則), EH模偏振旋轉(zhuǎn)方向則與光波行進(jìn)方向相反;K1=n1k0K1=n2k031模式分類的 q 參數(shù)323.4.2模式本征值 模式的本征值可由U或W求得在一般情況下由本征值方程求本征值很復(fù)雜, 只能利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)

9、值計(jì)算。兩種情形可很容易地確定本征值:導(dǎo)模處于臨近截止導(dǎo)模處于遠(yuǎn)離截止 33貝塞爾函數(shù)遞推公式(I)微分公式：遞推公式：大宗量近似：小宗量近似：34貝塞爾函數(shù)遞推公式(II)微分公式：遞推公式：大宗量近似：小宗量近似：35TE0m模式(=0, q= )U=0不是本征值!J0=(1/2)(J-1J1)=J1K0=(1/2)(K-11)=K1U0時(shí)J1(U)UJ0(U)1/2 36TM0m模式(=0, q=0) 導(dǎo)模截止: 導(dǎo)模遠(yuǎn)離截止:TEom模與TMom在截止與遠(yuǎn)離截止時(shí)具有相同的本征值， 即兩種模式處于簡(jiǎn)并態(tài);在截止與遠(yuǎn)離截止之間其本征 值并不相同 37HE1m模式(=1, q= -1)本征

10、值方程利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系式將上式化為：截止時(shí)，W0，K0(W)WK1(W),有：截止條件為：遠(yuǎn)離截止條件為： 38HE m模式(1, q= -1)本征值方程利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系式將上式化為：截止時(shí)，W0， ,有：截止條件為： 遠(yuǎn)離截止條件為： 39EHm模式(0, q= 1): 導(dǎo)模截止W本征值方程:上式可以簡(jiǎn)化為: Jl+1 /(UJl)=Kl+1/WKlm個(gè)40EHm模式(0, q= 1): 導(dǎo)模遠(yuǎn)離截止41模式本征值: 小結(jié)模式的截止與遠(yuǎn)離截止: 臨近截止: W=0 , 場(chǎng)在包層中不衰減遠(yuǎn)離截止: W, 場(chǎng)在包層中不存在截止與遠(yuǎn)離截止條件: 模式臨近截止遠(yuǎn)離截止TE0m(TM0m)J0(U

11、0mc)0 J1(U0m)0HEm J-2(U0mc)0 J-1(U0m)0EHm J (U0mc)0 J+1(U0m)0*除了HE1m模式以外,U不能為零模式本征值: U0mcUU0m42低階模式截止與遠(yuǎn)離截止時(shí)的本征值 43色散曲線色散曲線結(jié)構(gòu)參數(shù)給定的光纖中,模式分布是固定的。可根據(jù)本征值方程式利用數(shù)值計(jì)算得到各導(dǎo)模傳播常數(shù)與光纖歸一化頻率V值的關(guān)系曲線,稱之為色散曲線。因此,本征值方程又叫色散方程。色散曲線分析圖中每一條曲線都相應(yīng)于一個(gè)導(dǎo)模。平行于縱軸的豎線與色散曲線的交點(diǎn)數(shù)就是光纖中允許存在的導(dǎo)模數(shù)。由交點(diǎn)縱坐標(biāo)可求出相應(yīng)導(dǎo)模的傳播常數(shù)。給定V值, V=Vc, 則Vc越大導(dǎo)模數(shù)越多;

12、反之亦然。當(dāng)Vc2.405時(shí), 在光纖中只存在HE11模,其它導(dǎo)模均截止, 為單模傳輸;4445單模工作條件單模條件: Vc（2/0）an12n22 2.405 (僅適用于SIOF?。?單模光纖尺寸: ac1.2020/（n12n22）單模光纖截止波長(zhǎng): c（an12n22）/ 1.202單模光纖截止頻率:fc1.202c/（an12n22）僅當(dāng)c或ffc時(shí)方可在光纖中實(shí)現(xiàn)單模傳輸.這時(shí),在光纖中傳輸?shù)氖荋E11模,稱為基?；蛑髂！＞o鄰HE11模的高階模是TE01、TM01模和HE21模,其截止值均為Vc2.405。46課堂測(cè)驗(yàn)（3）SIOF波導(dǎo)場(chǎng)方程具有什么數(shù)學(xué)特征？寫出SIOF中波導(dǎo)場(chǎng)方程

13、的解。寫出SIOF中導(dǎo)模場(chǎng)的切向分量。寫出SIOF中推導(dǎo)本征值方程的主要數(shù)學(xué)步驟。寫出SIOF中TE01、TE02、TE03在臨近截止和遠(yuǎn)離截止時(shí)的本征值。為什么Vc1(LPm): J-1(Umc)0J(Um)0*除了LP0m模式以外,U不能為零模式本征值: UmcUm1時(shí),有近似式: U(2m1/2)/22m值相同,則U相同,與之對(duì)應(yīng)的傳播常數(shù)lm也相同,這樣一組模式是簡(jiǎn)并的，具有相同的傳播常數(shù)p，p=2m ；在一定的p值下,共有(p/2)個(gè)LPm模,而每個(gè)LPm模含四重簡(jiǎn)并,故對(duì)應(yīng)于p的模式一共有2p個(gè)。定義這樣一組模式為模群,并以p作為模群標(biāo)號(hào),又稱為主模標(biāo)號(hào)。與m則分別為角向與徑向模式標(biāo)號(hào)。72模式的輸出特性第p群模的Up值近似為: Upp/2由此可求出對(duì)應(yīng)的傳播常數(shù)p為: pn1k0cospn12k02Up2/a2其中,p是第p群模的模角,定義為波矢K與z軸夾角。由上式