Ch3 量子力學(xué)導(dǎo)論

1、原子物理第三章 量子力學(xué)導(dǎo)論1歷史關(guān)鍵人物19世紀(jì)末20世紀(jì)初：電磁理論、量子理論、相對(duì)論人物：維恩（1893）、瑞利-金斯、普朗克（1900）、赫茲、愛因斯坦、德布羅意、康普頓(1923）、玻爾（1913）、海森堡、薛定諤、狄拉克、費(fèi)曼、施溫格、朝永振一郎2N.玻爾、M.玻恩、 W.L.布拉格、L.V.德布羅意、A.H.康普頓、M.居里、P.A.M 狄喇克、A.愛因斯坦、W.K.海森堡、郞之萬、W.泡利、普朗克、薛定諤 等 第五次索爾維會(huì)議與會(huì)者合影(1927年)3事件：里程碑黑體輻射（維恩、普朗克，1911，1918）光電效應(yīng)（赫茲、愛因斯坦1905，1921）玻爾氫原子理論（1913，1

2、922）康普頓效應(yīng)（1923，1927）德布羅意-波粒二象性（1924，1929）不確定關(guān)系（海森堡1927，1932）波函數(shù)薛定諤方程（1926，1933）不相容原理（泡利 1925，1945）密度矩陣和量子統(tǒng)計(jì)等（朗道 1962）電子自旋、傳播子（狄拉克1933、費(fèi)曼1965等）43.1 物質(zhì)的波粒二象性一、光的波粒二象性 1672年，牛頓，光的微粒說 1678年，惠更斯，光的波動(dòng)說 19世紀(jì)末，光是一種電磁波 20世紀(jì)初，光量子 -光的波粒二象性 5德布羅意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960) 德布羅意原來學(xué)習(xí)歷史，后來改學(xué)理論物理學(xué)。他善于

3、用歷史的觀點(diǎn)，用對(duì)比的方法分析問題。 1923年，德布羅意試圖把粒子性和波動(dòng)性統(tǒng)一起來。1924年，在博士論文關(guān)于量子理論的研究中提出德布羅意波,同時(shí)提出用電子在晶體上作衍射實(shí)驗(yàn)的想法。 愛因斯坦覺察到德布羅意物質(zhì)波思想的重大意義，譽(yù)之為“揭開一幅大幕的一角”。法國物理學(xué)家，1929年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者，波動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人，量子力學(xué)的奠基人之一。德布羅意波 實(shí)物粒子的二象性6二、德布羅意假設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的實(shí)物粒子以速率v 運(yùn)動(dòng)時(shí)，即具有以能量E和動(dòng)量P所描述的粒子性，也具有以頻率n和波長l所描述的波動(dòng)性。這種波稱為德布羅意波，也叫物質(zhì)波。德布羅意公式如速度v=5.0102m/s飛行的子彈，質(zhì)量

4、為m=10-2Kg，對(duì)應(yīng)的德布羅意波長為：如電子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s, 對(duì)應(yīng)的德布羅意波長為：太小測(cè)不到！X射線波段7德布羅意物質(zhì)波思想起源1.X射線的研究:布拉格認(rèn)為X射線是粒子勞厄提出X射線是波長極短的電磁波 X射線時(shí)而像波,時(shí)而像粒子的奇特性質(zhì)引起了許多人的關(guān)注,德布羅意認(rèn)為:波和粒子必定總是結(jié)合在一起.2.接受相對(duì)論和光量子學(xué)說,特別是1923年4月compton效應(yīng)發(fā)現(xiàn)以后,使他對(duì)光子概念的認(rèn)識(shí)更加深入、清晰。81923年9月24日，第二篇論文光量子、衍射和干涉1923年10月8日第三篇論文量子、氣體運(yùn)動(dòng)理論及費(fèi)馬原理1924年完成了博士論文量子理論的

5、研究，11月25日通過答辯，1925年發(fā)表在物理雜志上，該論文對(duì)他一年來的工作提出了系統(tǒng)的有邏輯性的報(bào)告，完整地闡述了他的物質(zhì)波理論及應(yīng)用1923年9月10日，發(fā)表第一篇關(guān)于物質(zhì)波的論文輻射波和量子提出了實(shí)物粒子也具有波粒二象性物質(zhì)波概念的提出物質(zhì)波思想的影響：1、具有獨(dú)創(chuàng)性和非凡的技巧；2、提出用晶體對(duì)電子的衍射來驗(yàn)；3、得到了愛因斯坦的高度評(píng)價(jià)；4、量子力學(xué)是物質(zhì)波思想的直接影響下的一個(gè)豐碩成果.9電子駐波例題1：從德布羅意波導(dǎo)出氫原子波爾理論中的角動(dòng)量量子化條件。德布羅意把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把能量量子化與有限空間駐波的波長和頻率聯(lián)系起來。如電子繞原子一周，駐波應(yīng)銜接，所以圓周長應(yīng)

6、等于波長的整數(shù)倍。再根據(jù)德布羅意關(guān)系得出角動(dòng)量量子化條件10三、德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 1927年，戴維遜和革末，電子衍射實(shí)驗(yàn)，測(cè)量了電子波的波長，證實(shí)了德布羅意假設(shè)。1實(shí)驗(yàn)裝置 11 2實(shí)驗(yàn)結(jié)果(1)當(dāng)U不變時(shí)，I與的關(guān)系如圖不同的，I不同；在有的上將出現(xiàn)極值。(2)當(dāng)不變時(shí)，I與U的關(guān)系如圖當(dāng)U改變時(shí)，I亦變；而且隨了U周期性的變化123實(shí)驗(yàn)解釋 晶體結(jié)構(gòu)：13當(dāng) 時(shí)加強(qiáng)-布拉格公式。 波程差：14實(shí)驗(yàn)證明了電子確實(shí)具有波動(dòng)性，也證明了德布羅意公式的正確性。并進(jìn)一步證明：一切實(shí)物粒子(電子、中子、質(zhì)子等都具有波動(dòng)性。 可見，當(dāng)、滿足此式時(shí)，測(cè)得電流的極大值。 對(duì)于通過電壓U加速的電子：當(dāng)U

7、不變時(shí)，改變，可使某一滿足上式，出現(xiàn)極大值 當(dāng)不變時(shí)，改變U，可使某一U滿足上式，出現(xiàn)極大值。15觀測(cè)到的量子圍欄（quantum corral） M.F.Crommie-1993 16湯姆遜實(shí)驗(yàn)1927年，湯姆遜在實(shí)驗(yàn)中，讓電子束通過薄金屬箔后射到照相底線上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與X射線通過金箔時(shí)一樣，也產(chǎn)生了清晰的電子衍射圖樣。1993年，Crommie等人用掃描隧道顯微鏡技術(shù)，把蒸發(fā)到銅（111）表面上的鐵原子排列成半徑為7.13nm的圓環(huán)形量子圍欄，用實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了在圍欄內(nèi)形成的同心圓狀的駐波(“量子圍欄”)，直觀地證實(shí)了電子的波動(dòng)性。電子通過狹縫的衍射實(shí)驗(yàn)：1961年，約恩孫 (Jonsson)

8、制成長為50um，寬為0.3um ，縫間距為1.0um的多縫。用50V的加速電壓加速電子，使電子束分別通過單縫、雙縫等，均得到衍射圖樣。17中子衍射射線衍射X18X射線經(jīng)晶體的衍射圖電子射線經(jīng)晶體的衍射圖19由于電子波長比可見光波長小10-310-5數(shù)量級(jí)，從而可大大提高電子顯微鏡的分辨率。1932年，德國的魯斯卡研制成功電子顯微鏡。我國已制成80萬倍的電子顯微鏡，分辨率為14.4nm.n， 能分辨大個(gè)分子有著廣泛的應(yīng)用前景。四、應(yīng)用舉例1、電子顯微鏡2、掃描隧道顯微鏡1981年，德國的賓尼希和瑞士的羅雷爾制成了掃描隧道顯微鏡，他們兩人因此與魯斯卡共獲1986年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。其橫向分辨率

9、可得0.1nm，縱向分辨率可得0.001nm ，它在納米材料、生命科學(xué)和微電子學(xué)中起著不可估量的作用。20例1. 計(jì)算下列運(yùn)動(dòng)物質(zhì)的德布羅意波長(1) 質(zhì)量100g, v = 10ms1運(yùn)動(dòng)的小球。(2) 以 2.0 103ms 1速度運(yùn)動(dòng)的質(zhì)子。(3) 動(dòng)能為 1.6 107 J 的電子21練習(xí)題:1.在B=1.2510-2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中沿半徑為R=1.66cm的圓軌道運(yùn)動(dòng)的粒子的德布羅意波長=.2.運(yùn)動(dòng)速率等于300K時(shí)方均根速率的德布羅意波長是.氫原子質(zhì)量m=1.6710-27kg,玻爾茲曼常數(shù)k=1.3810-23JK-1223.已知第一玻爾軌道的半徑為a,當(dāng)氫原子中電子沿第n玻爾軌道

10、運(yùn)動(dòng)時(shí),其相應(yīng)的德布羅意波長是.4.能量為15ev的光子,被處于基態(tài)的氫原子吸收,使氫原子電離發(fā)射一個(gè)光電子,此光電子的德布羅意波長為.23海森伯（W. K. Heisenberg，1901-1976） 德國理論物理學(xué)家。他于1925年為量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早的貢獻(xiàn)，而于25歲時(shí)提出的不確定關(guān)系則與物質(zhì)波的概率解釋一起奠定了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。為此，他于1932年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。不確定關(guān)系243.2 測(cè)不準(zhǔn)原理25薛定諤設(shè)想對(duì)一個(gè)放射性原子核及一只貓?jiān)谝粋€(gè)密封的盒中,再放一個(gè)偵察器,只要這個(gè)偵察器一探察到原子核衰變就立即放出毒氣,把貓殺死.根據(jù)哥本哈根闡釋,你不打開盒子,原子核的衰變處于半

11、衰變半不衰變的狀態(tài),而導(dǎo)致毒氣在放于不放之間,貓的性命也處于死與不死之間,直至有人打開盒子,貓才會(huì)從重疊狀態(tài)中變成生貓或者死貓.薛定諤貓26另一個(gè)實(shí)驗(yàn)和盒中貓差不多,不過這次我們用兩只貓,這兩只貓各自被放上兩支火箭,火箭上什么所需都有,也有一樣的殘忍裝置,而這兩支火箭被一條管連住,管里面有一個(gè)放射性原子,在某一刻,管被切斷,放射性原子被隨機(jī)分到一支火箭上,除非有人打開火箭,否則放射性原子同時(shí)處于兩支火箭,所以兩只貓都是處于半生半死的狀態(tài),火箭背向飛行,一架去到大麥哲倫云,一架去到仙女座大星系,假設(shè)大麥哲倫外星人打開火箭，見到是一只死貓,在同一時(shí)刻,仙女座大星系的貓就立即從重疊狀態(tài)復(fù)蘇,它是一只

12、生貓.薛定諤強(qiáng)調(diào)不能接受盒內(nèi)的是一只又是生又是死的貓. 薛定諤貓27（uncertainty relation） 經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)軌道的概念在多大程度上適用于微觀世界？ 海森伯（Heisenberg）于1927年根據(jù)對(duì)一些理想實(shí)驗(yàn)的分析和德布洛意關(guān)系得出“不確定關(guān)系”： 粒子在同一方向的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)確定:：動(dòng)量不確定范圍xp：坐標(biāo)不確定范圍x測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系28粗略的表示：海森堡嚴(yán)格推出：一、測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的表述和含義29二、測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的簡(jiǎn)單導(dǎo)出1、單峰衍射30海森堡嚴(yán)格推出：31能量和時(shí)間也是一對(duì)共軛物理量,有:簡(jiǎn)略推導(dǎo)如下:32 不確定關(guān)系是微觀粒子固有屬性波粒二象性決定的，與儀器精度和測(cè)量方法的

13、缺陷無關(guān)。不確定關(guān)系是海森伯(heisenberg)1926年提出的。他根據(jù)一些假想實(shí)驗(yàn)的分析，首先得出關(guān)系式 。后來玻恩按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋給出嚴(yán)格證明，使其表述更為確切，從而和狀態(tài)疊加原理一起，成為量子力學(xué)的兩個(gè)基本原理。 33科學(xué)史上的“宿命論”科學(xué)理論，特別是牛頓引力論的成功，使得法國科學(xué)家拉普拉斯侯爵在19世紀(jì)初論斷，宇宙是完全被決定的。他認(rèn)為存在一組科學(xué)定律，只要我們完全知道宇宙在某一時(shí)刻的狀態(tài)，我們便能依此預(yù)言宇宙中將會(huì)發(fā)生的任一事件。例如，假定我們知道某一個(gè)時(shí)刻的太陽和行星的位置和速度，則可用牛頓定律計(jì)算出在任何其他時(shí)刻的太陽系的狀態(tài)。這種情形下的宿命論是顯而易見的，但拉普拉斯

14、進(jìn)一步假定存在著某些定律，它們類似地制約其他每一件東西，包括人類的行為。 34測(cè)不準(zhǔn)原理表明：同時(shí)嚴(yán)格 確定兩個(gè)共軛變量（例如， 位置和速度）的數(shù)值是不可 能的，它們的數(shù)值的準(zhǔn)確度 有個(gè)下限。這是一條自然定律。它說明，在原子層次上，同時(shí)得到一個(gè)粒子的位置和速度的嚴(yán)格準(zhǔn)確的測(cè)量在原則上是不可能的。 35 不要試圖更好的從邏輯上去理解量子力學(xué).因?yàn)槠浔旧砭褪遣豢梢杂眠壿嫿忉尩?6例題1：一顆質(zhì)量為10g的子彈，具有200m/s的速度，動(dòng)量的不確定量為0.01%，問在確定該子彈的位置時(shí)，有多大的不確定范圍？ 解：子彈的動(dòng)量為子彈的動(dòng)量的不確定量為由不確定關(guān)系，可以得到子彈位置的不確定范圍為這個(gè)不確定

15、范圍是微不足道的，可見不確定關(guān)系對(duì)宏觀物體來說，實(shí)際上是不起作用的。37例題2：一電子具有具有200m/s的速率，動(dòng)量的不確定量為0.01%，問在確定該電子的位置時(shí)，有多大的不確定范圍？解：電子的動(dòng)量為子彈的動(dòng)量的不確定量為由不確定關(guān)系，可以得到子彈位置的不確定范圍為我們知道原子大小的數(shù)量級(jí)為10-10m，電子則更小。在這種情況下，電子位置的不確定范圍比電子本身的大小要大幾億倍以上。38例3.電子顯像管中電子加速電壓10kv,槍口直徑0.01cm,電子射出后橫向速度不確定量?原子線度10-10m,原子中電子速度不確定量?解: 顯像管中的電子經(jīng)10kv電壓加速原子中的電子 玻爾理論電子軌道運(yùn)動(dòng)速

16、度v 106m/s, 原子中談電子的運(yùn)動(dòng)速度、位置已無意義,也無確定的軌道,波動(dòng)性顯著的電子只能以各處出現(xiàn)的幾率來描述其所處的狀態(tài).電子橫向速度的不確定量可忽略39例4.光子波長300nm,若測(cè)長精度/=10-6, 求光子位置的不確定量?解:40三、不確定關(guān)系的應(yīng)用：舉例 1、估算氫原子可能具有的最低能量電子束縛在半徑為r 的球內(nèi)，所以按不確定關(guān)系當(dāng)不計(jì)核的運(yùn)動(dòng)，氫原子的能量就是電子的能量：代入上式得：41基態(tài)能應(yīng)滿足：由此得出基態(tài)氫原子半徑：基態(tài)氫原子的能量：與波爾理論結(jié)果一致。本例還說明：量子體系有所謂的零點(diǎn)能。422、解釋譜線的自然寬度原子中某激發(fā)態(tài)的平均壽命為普朗克能量子假說不確定關(guān)系

17、譜線的自然寬度它能解釋譜線的自然寬度。433.3 波函數(shù)及其物理意義44如何理解物質(zhì)粒子的波動(dòng)性？開始有二種典型理解：一個(gè)實(shí)物粒子看成一個(gè)波包。問題：波包會(huì)擴(kuò)散；電子衍射，電子不可分。實(shí)物粒子看成疏密波。波包說夸大了波動(dòng)性一面。 問題： 電子衍射表明，單個(gè)粒子也有波動(dòng)性。疏密波說夸大了粒子性一面。45(2)入射弱電子流，長時(shí)間積累形成干涉條紋。(1)入射強(qiáng)電子流，一次性形成干涉條紋；124647一、波函數(shù) 概率密度1、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)一個(gè)頻率為n ，波長為l 、沿x方向傳播的單色平面波的波函數(shù)為復(fù)數(shù)形式482、自由粒子的波函數(shù)一個(gè)自由粒子有動(dòng)能E和動(dòng)量p。對(duì)應(yīng)的德布羅意波具有頻率和波長：波函

18、數(shù)可以寫成493、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)附近體積元dV中的粒子的概率，與波函數(shù)模的平方成正比。概率密度波函數(shù)(x,y,z,t)的統(tǒng)計(jì)解釋(哥本哈根解釋)：波函數(shù)模的平方代表某時(shí)刻t在空間某點(diǎn)(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率，即| 2 代表概率密度。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力學(xué)所作的基礎(chǔ)研究，特別是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，他與博特共享了1954年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。k加速電場(chǎng)單縫105個(gè)2104個(gè)10個(gè)E50t時(shí)刻，xx+dx、yy+dy、zz+dz、的體元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率： 表示t時(shí)刻、（x、y、z）處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度。1.波恩的波函數(shù)幾率解釋

19、是量子力學(xué)基本原理之一2.經(jīng)典波振幅是可測(cè)量，而波函數(shù)是不可測(cè)量，可測(cè)是幾率3.單縫、雙縫干涉實(shí)驗(yàn)在1961年前是假想實(shí)驗(yàn)注：51 2歸一化條件由于粒子總在空間某處出現(xiàn)，故在整個(gè)空 間出現(xiàn)的總幾率應(yīng)當(dāng)為1：4、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件及歸一化1波函數(shù)必須單值、有限、連續(xù)。 單值：在任何一點(diǎn)，幾率只能有一個(gè)值。 有限：幾率不能無限大。 連續(xù)：幾率在某處不發(fā)生突變。523.4 薛定諤波動(dòng)方程參考閱讀：哈密頓原理，拉格朗日方程53一、薛定諤波動(dòng)方程的建立 經(jīng)典力學(xué)（質(zhì)點(diǎn)） 量子力學(xué)(微觀粒子) 特點(diǎn) 粒子性 波粒二象性 運(yùn)動(dòng)情況 沿軌道運(yùn)動(dòng) 無軌道 狀態(tài)描述 坐標(biāo)(r)和動(dòng)量(p) 波函數(shù) 由初態(tài)求末態(tài) 牛

20、頓方程 薛定諤方程 運(yùn)動(dòng)方程 ？54對(duì)x、y、z分別求二次偏導(dǎo)：一、薛定諤方程的建立1自由粒子的薛定諤方程對(duì)t求一次偏導(dǎo)：55自由粒子的薛定諤方程。 三者相加：拉普拉斯算符：自由粒子: 56則有： 處在以勢(shì)能表征的力場(chǎng)中的微觀粒子所滿足的運(yùn)動(dòng)方程，稱之為薛定諤方程2一般粒子的薛定諤方程57二、定態(tài)薛定諤方程能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)稱為定態(tài)。設(shè)作用在粒子上的力場(chǎng)不隨時(shí)間改變，即勢(shì)能 中不顯含時(shí)間t，將其代入方程：E為一常數(shù)波函數(shù)分離變量： 58 解出：定態(tài)波函數(shù)1定態(tài)中E不隨時(shí)間變化，粒子有確定的能量2定態(tài)中粒子的幾率密度不隨時(shí)間變化3 定態(tài)薛定諤方程59如果 是方程的解，那么它們的的線性組合 也

21、是方程的解， 為任意常數(shù)。即如果 是體系可能的狀態(tài)，那么它們的的線性組合 也是體系一個(gè)可能的狀態(tài) 4態(tài)迭加原理603具體的勢(shì)場(chǎng) 決定粒子狀態(tài)變化的情況，如果給出勢(shì)能函數(shù) 的具體形式，只要我們知道了微觀粒三、薛定諤方程的討論1薛定諤方程描述了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 在勢(shì)場(chǎng) 中隨時(shí)間變化 的規(guī)律。2薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它不能從更基本的假設(shè)中推導(dǎo)出來。它的正確性只有通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致來得到證明。61 子初始時(shí)刻的狀態(tài) 。原則上說，只要通過薛定諤方程，就可以求出任意時(shí)刻的狀態(tài) 。4薛定諤方程中有虛數(shù)單位i，所以 一般是復(fù)數(shù)形式。 表示概率波， 是表示粒子在時(shí)刻t、在空間某處出現(xiàn)的概率。因而薛

22、定諤方程所描述的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。625在薛定諤方程的建立中，應(yīng)用了 ，所 以是非相對(duì)論的結(jié)果；同時(shí)方程不適合一切 的粒子，這是方程的局限性。63例1：一個(gè)粒子在如圖所示的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它的勢(shì)能為 這種勢(shì)場(chǎng)稱為一維無限深勢(shì)阱。在一維無限深勢(shì)阱中粒子如何運(yùn)動(dòng)？它的波函數(shù)如何？能量如何？ 解：由于粒子做一維運(yùn)動(dòng)，所以有 由于勢(shì)能中不顯含時(shí)間，故用定態(tài)薛定諤方程求解。方程的解為定態(tài)解因此一維定態(tài)薛定諤方程為641方程的通解(1) 所以波函數(shù)為零，即粒子不可能跑到阱外去，(2) 時(shí)， ， 方程為 令 二階齊次微分方程，它的通解為式中A、B為兩常數(shù)。 652常數(shù)的確定及能量量子化根據(jù)波

23、函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，波函數(shù)應(yīng)連續(xù)， ，( ？)當(dāng)時(shí)，表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能的。66波函數(shù)的歸一化： 能量是量子化的 3討論(1)能量不能任意取值，束縛在一維無限深勢(shì)阱中的粒子的能量是量子的。這是由薛定諤方程加上標(biāo)準(zhǔn)條件自然地導(dǎo)出的，不用再做量子化的假定。67(2)波函數(shù)的物理意義處在不同能級(jí)的粒子，在勢(shì)阱中的幾率分布不同。(3)實(shí)際意義：金屬內(nèi)的自由電子，可看成在勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子。 68 例2 勢(shì)壘貫穿 粒子受到的勢(shì)能為： 計(jì)算粒子在三個(gè)區(qū)出現(xiàn)的幾率。粒子具有的能量為E， 解：設(shè)粒子在I、II、III區(qū)的波函數(shù)分別為 ，它們滿足的薛定諤方程為： 令 69方程的解為：根據(jù)波函數(shù)

24、的連續(xù)條件和歸一化條件可以確定常數(shù)，結(jié)果如圖： 70可見，雖然， 粒子仍可以穿過II區(qū)進(jìn)入III區(qū)，這種貫穿勢(shì)壘的效應(yīng)稱為隧道效應(yīng)。粒子從I區(qū)到III區(qū)的幾率為 71掃描隧道顯微鏡(Scanning Tunneling MicroscopySTM)STM原理 . 0.1nm, 0.01nm1986年，賓尼博士和羅雷爾與發(fā)明電子顯微鏡的魯斯卡獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。 72733.6 氫原子的量子力學(xué)處理一、氫原子的薛定諤方程電子在原子核的庫侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)： 定態(tài)薛定諤方程： 氫原子問題是球?qū)ΨQ問題，通常采用球坐標(biāo)系： 氫原子在球坐標(biāo)下的定態(tài)薛定諤方程： 74二、分離變量1 代入方程，并用 乘以兩邊： 是一

25、個(gè)與 無關(guān)的常數(shù)。 徑向方程：角方程：752 代入方程，并用 乘以兩邊： 是一個(gè)與 無關(guān)的常數(shù)。 76三、 三方程的解1 方程的解方程的解為：波函數(shù)單值： 波函數(shù)歸一化：772 方程的解關(guān)聯(lián)勒讓德方程。求解過程中發(fā)現(xiàn)，為了得到符合波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的解，必須對(duì) 和 加以限制：方程的解為關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式： 783 方程的解關(guān)聯(lián)拉蓋爾方程，方程的解為關(guān)聯(lián)拉蓋爾多項(xiàng)式 玻爾半徑只要給出了 、 的一對(duì)具體的數(shù)值，就可以得到一個(gè)満足標(biāo)準(zhǔn)條件的解。 79四、H原子的波函數(shù)對(duì)應(yīng)一組量子數(shù) ，就能給出 波函數(shù)的一個(gè)具體形式，因此 確定了原子的狀態(tài)。80當(dāng) 時(shí)， 取任何值都能使R滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的 解。所以正值的能量是連續(xù)的，相當(dāng)于自由電子 與H+離子結(jié)合為原子時(shí)釋放的能量。 3.6 .2 量子力學(xué)對(duì)氫原子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描繪一、量子數(shù) 的物理意義1主量子數(shù) 與能量量子化當(dāng) 時(shí)， 能量是量子化的，自然得出。81 2角量子數(shù) 和角動(dòng)量角子化 角動(dòng)量是量子化的，自然得出。 舊量子論： 當(dāng)角動(dòng)量很大時(shí)， ， , 二者一致， 所以玻爾理論給出了