淺析計算不定積分方法

1、淺析計算不定積分方法之湊微分不定積分是高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容和主要內(nèi)容，該運算是求導(dǎo)運算 的逆過程，而定積分的計算主要是用牛頓一萊布尼茨公式，使用牛頓 萊布尼茨公式的前提是找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)。因此，不定積 分是連接微分學(xué)和積分學(xué)的紐帶。由于不定積分方法的靈活性和積分 結(jié)果的不確定性，導(dǎo)致很多學(xué)員在計算積分的過程中常常覺得很混亂， 找不到一個統(tǒng)一的方法進行計算。不定積分的常規(guī)求解方法主要包括利用基本積分公式直接積分、 換元積分法和分部積分法，而經(jīng)常使用的主要是換元積分法和分部積 分法，這兩種方法的核心是“湊微分”。換元積分法中的“湊微分”主要體現(xiàn)在第一類換元積分法中，第 一類換元積分法的解題思

2、路是首先利用g(x)dx湊成微分形式du(x)，然 后換元令u = u(x)使復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)后再利用積分公式 求積分，求出積分后再換元。其中最為關(guān)鍵的一步是湊成微分形式 du(x)，也是學(xué)員們感到最困難的一步，因為題目中需要有u(x)dx才能 湊成微分形式du(x)，而u(x)往往不容易看出來，也就無法湊成微分的 形式了，這正是湊微分的核心。由于“湊微分”方式靈活多樣，單靠 幾個常見的湊微分并不能給學(xué)生足夠的啟示，因此我們將其歸結(jié)為四 種方法，以便學(xué)生易于掌握。1、能化成若干個函數(shù)的積分，觀察各個函數(shù)能否湊微分，找出合適 的求解如：求解不定積分時J蛭dx = Jlnxd(lnx)，

3、因為d(Inx) =1 dx = f udu，xx這里的u = lnX。2、不能化成幾個函數(shù)的乘積若一個不定積分不能直接化成若干個函數(shù)的乘積或可以化成若 干個函數(shù)的乘積但難以計算，則先觀察它是否與某一個不定積分基本sin xsin x-I 3dx TOC o 1-5 h z 如：求不定積分4 + cos2x時，sin x111 cos X、1, cos X、Jdx = Jd (cos x) = Jd () = arctan() + C4 + cos2 x4 + cos2 x2 +(cos X)222223、能化成幾個因式的乘積但難以湊微分若一個不定積分既不能化成若干個函數(shù)的乘積或能化成若干個

4、函數(shù)的乘積但難以進行湊微分計算，又不與任何一個不定積分的基本 公式接近，則可以先利用恒等變形方法進行轉(zhuǎn)化，然后進行相應(yīng)求解。如：求不定積分I X2（X2+1） dX時，I (-1)dx = I 上 dx I(1)dx = arctan x + C4、分部積分法中的“湊微分”分部積分法主要適用于被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積形式的不定積 分，分部積分法的關(guān)鍵是湊微分，即將f(X)拆分成uv，設(shè) u = x, dv = cos xdx = d (sin x)， I x cos xdx = I xd (sin x) = x sin x I sin xdx = x sin x+ cosX + C則容易求解。遵

5、循上面的兩個原則，實際計算中一個比較實用的方法是：對拆分成乘積的兩個函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)類型發(fā)生變化 則做u，沒有變化則做”，全部沒有發(fā)生變化則任選一個做u即可，而且總結(jié)一個口訣“三指動，反對不動”，即三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可 以做y，反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)不能做y，。如求解J ex cos xdx時，指數(shù)函數(shù)ex和三角函數(shù)cos x求導(dǎo)后仍為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)，函數(shù)類型沒有發(fā)生變化，則可任選一個函數(shù)做yJ ex sin xdx = J sin xd (ex) = ex sin x J ex cos xdx = ex sin x J cos xd (ex) = ex sin xex cos x J e

6、x sin xdx。 將最后的式子中的Jex sin xdx移項，再合并，然后可得Jex sin xdx = 1 ex (sin x - cos x) + C。此方法對于“湊微分”的選擇來 2說是比較實用的，但在一定方面具有局限性。如求解不定積分Jx2exdx 被積函數(shù)x2求導(dǎo)得2x，被積函數(shù)ex求導(dǎo)得ex，類型仍然是幕函數(shù)和指 數(shù)函數(shù)形式，因此應(yīng)該任取一個做u即可，但通過下面的求解發(fā)現(xiàn)并 不是如此： 解法：J x2exdx J exd (x3)=- x3ex ! J x3exdx = x3ex 一J exd (x4)(陷入333312無限循環(huán))。解法(2)： J x2exdx = J x2d

7、(ex) = x2ex 一 2J xexdx = x2ex 一 2J xd(ex) = x2ex 一 2J xd(ex)x2ex 一2xexdx = x2gx 一2xex + 2ex + C = (x2 一2x + 2)ex + C (間單明 了)。為解決此缺陷，可以再給出一個選擇u及y，的簡單方法：把被積 函數(shù)視為兩個函數(shù)的乘積，按“反對幕指三”的順序，前者為后者 為y，。如：求解不定積分J x 2 cos xdx 時， 被積函數(shù) x2 cosx 可以看成幕函 數(shù)x 2與三角函數(shù)cos x的乘積，按照“反對幕指三”的順序取u = x2,y = cosx，其實，兩種方法各有利弊，第一種方法拓展了學(xué)生的 發(fā)散思維，但對于某些問題不能廣泛應(yīng)用，第二種方法雖然簡潔、應(yīng) 用廣泛，但是又限制了同學(xué)們發(fā)散思維