材料力學(xué)彎曲應(yīng)力

1、材料力學(xué)彎曲應(yīng)力第1頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四回 顧FsM上一章任務(wù)：合力橫截面上整體情況st本章任務(wù)：分力橫截面上每一點(diǎn)情況第2頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四橫力彎曲橫截面上既存在彎矩，又存在橫向剪力的梁的彎曲,稱為橫力彎曲純彎曲橫截面上僅存在彎矩的梁的彎曲FFABCD剪力圖彎矩圖圖示簡(jiǎn)直梁中BC 段為純彎曲AB，CD段為橫力彎曲橫力彎曲純彎曲幾個(gè)基本概念第3頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四內(nèi)力的起因彎矩橫截面上正應(yīng)力的合力偶，此時(shí)，正應(yīng)力稱為彎曲正應(yīng)力剪力橫截面上切應(yīng)力的合力，此時(shí)，切應(yīng)力稱為彎曲切應(yīng)力梁彎曲的

2、應(yīng)力特征純彎曲橫截面上僅存在正應(yīng)力橫力彎曲橫截面上不僅有正應(yīng)力，而且還存在切應(yīng)力幾個(gè)基本概念st第4頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四橫截面上的正應(yīng)力研究梁橫截面上應(yīng)力的分布，必須從幾何（變形）、物理（本構(gòu)）和靜力學(xué)（平衡）三方面進(jìn)行綜合分析下面依次分析梁純彎曲時(shí)，這三個(gè)方面的特征第5頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四變形幾何關(guān)系第6頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四橫截面上的正應(yīng)力 純彎曲試驗(yàn)及變形觀察(表)縱向線aa，oo ，bb變?yōu)榛【€aa ， oo ， bb aa aa ， oo = oo， bbbb 橫向線mm, nn

3、 仍然為直線，并且垂直于aa ， oo，bb 矩形截面上部變寬，下部變窄變形幾何關(guān)系第7頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四橫截面上的正應(yīng)力變形假設(shè)(里)1、彎曲變形的平面假設(shè) 變形后，橫截面仍保持為平面，并且仍與彎曲后的縱向線正交，各截面間作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。第8頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四2、彎曲變形的單向受力假定 所有與軸線平行的縱向纖維處于軸向拉伸或軸向壓縮，纖維之間不受力橫截面上的正應(yīng)力梁中縱向纖維長(zhǎng)度不變的過(guò)渡層稱為中性層。中性層和橫截面的交線稱為中性軸第9頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四1、幾何方面 取長(zhǎng)度為dx的一

4、段微梁，變形后的形狀如圖。記長(zhǎng)度不變軸線oo(中性層）的曲率半徑為r，兩橫截面的夾角為dq，則變形后，距oo為y處纖維的長(zhǎng)度為 注意到oo= dx =r dq，于是，距oo為y處的纖維的線應(yīng)變?yōu)閐x橫截面上的正應(yīng)力第10頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四即縱向纖維的線應(yīng)變與它到中性層的距離成正比第11頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四2、物理關(guān)系 由于縱向纖維僅受拉伸或壓縮，于是在正應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，根據(jù)胡克定理，有即對(duì)給定的橫截面，其上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比橫截面上的正應(yīng)力第12頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分

5、，星期四3、靜力學(xué)關(guān)系 目前未解決問(wèn)題:z軸-中性軸where? r=?與彎矩有何關(guān)系？橫截面上的正應(yīng)力代入得到第13頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四梁橫截面上的正應(yīng)力分布公式r的確定第14頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四靜矩：yzAyzdA形心公式坐標(biāo)原點(diǎn)過(guò)形心C附錄：截面圖形的幾何性質(zhì)第15頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四附錄：截面圖形的幾何性質(zhì)yzAyzdA慣性積若圖形有對(duì)稱軸，則坐標(biāo)軸含對(duì)稱軸時(shí)第16頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四橫截面關(guān)于z軸的靜矩為零，即z 軸為截面的形心軸橫截面關(guān)于y

6、、z 軸的慣性積為零。 y、z 軸為主軸中性軸z的確定y，z形心主軸中性軸通過(guò)橫截面形心，并垂直于縱向?qū)ΨQ軸y第17頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四 橫截面上正應(yīng)力是線性分布 正比于Mz ，反比于 Iz 中性層兩側(cè)一拉一壓存在說(shuō)明：適用于任意截面（推導(dǎo)中沒(méi)有用矩形性質(zhì)）成立條件(a) y，z軸須為形心主軸 (b)比例極限內(nèi) ssp橫截面上的正應(yīng)力第18頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四最大正應(yīng)力發(fā)生在離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)上，即令 抗彎截面系數(shù)，則抗彎截面系數(shù)綜合反映了橫截面形狀和尺寸對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響。橫截面上的正應(yīng)力第19頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5

7、月20日，3點(diǎn)58分，星期四慣性矩yzAyzdA附錄：截面圖形的幾何性質(zhì)第20頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四常見橫截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù)zyhbCzydCzyDCd第21頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四已知：矩形截面b h求：Iy， IzCyzbhzdzdAydydA解：取平行于x軸和y軸的微元面積第22頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四zyOdAyzrA 慣性矩、極慣性矩第23頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四圖形對(duì) y 軸的慣性半徑圖形對(duì) z 軸的慣性半徑zyOdAyz 慣性矩、慣性半徑 第2

8、4頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四已知：圓截面直徑d求：Iy， Iz， IPdrdrdACyz解：取圓環(huán)微元面積第25頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四(1)選參考坐標(biāo)系oyz,確定形心zyoy軸肯定是形心主軸y是對(duì)稱軸Sz=SAiyi , Sy=SAi zi(yi , zi)每個(gè)圖形形心在參考坐標(biāo)系下oyz坐標(biāo)從而確定形心坐標(biāo)為yc=Sz/A, zc= Sy/A=0組合圖形的靜矩ozc=yc組合圖形的慣性矩第26頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四(2)組合圖形的慣性矩z1yoozcIyc=SIyci= Iy組合圖形的慣性矩I

9、zc=? 平行軸公式Izc=S(Izci+di2Ai)yzAyzdA慣性矩平行軸定理:y0z0y0z0ab第27頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲 盡管公式 s = Mzy/Iz 是在純彎曲條件下建立的。但彈性理論和實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)于具有對(duì)稱截面的一般細(xì)長(zhǎng)梁（梁的跨度l與高度h之比l/h5），剪力對(duì)正應(yīng)力的分布規(guī)律影響很小，上述計(jì)算正應(yīng)力的公式仍然可用，并且具有足夠的精度第28頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四 對(duì)于一般的彎曲梁，其彎矩是截面位置的函數(shù)。因此計(jì)算等截面直梁的最大正應(yīng)力的公式為即橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在全梁最大彎矩

10、Mmax所在橫截面的最外邊緣各點(diǎn)處正應(yīng)力強(qiáng)度條件第29頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四對(duì)于變截面直梁，最大正應(yīng)力不一定發(fā)生在彎矩為最大的截面上，必須綜合考慮 M 和 Wmax 這兩個(gè)因素，以確定全梁上的最大正應(yīng)力，既確定一般應(yīng)力表達(dá)式的最大值正應(yīng)力強(qiáng)度條件第30頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四對(duì)于塑性材料，由于其抗拉和抗壓許用應(yīng)力相同，梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 smax s 對(duì)于脆性材料，由于其抗拉和抗壓許用應(yīng)力不相同，梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 s +max s + s -max s -正應(yīng)力強(qiáng)度條件第31頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3

11、點(diǎn)58分，星期四已知 d1=100mm，d2=120mm，P =30 kN， l1=600mm，l2=800mm，s =100 Mpa。解 支座反力： FAy=FDy=P/2 =15 kNBPd2Ed1l1l2l1ACDFAyFDy例 對(duì)圖示的階梯形變截面圓直梁校核強(qiáng)度EXAMPLE-1第32頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四畫出彎矩圖：關(guān)于荷載P對(duì)稱，且為折線。AB(CD)段上的最大彎矩MB =MC =9 kNm，位于截面B和C。BC段上的最大彎矩Mmax=ME=15 kNm，位于截面E1599ABCDEPEABCDEXAMPLE-1第33頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月

12、20日，3點(diǎn)58分，星期四校核強(qiáng)度：截面E：WzE = d23/32= 1.696105mm3故 smaxE=Mmax/ WzE = 88.4 MPa截面B (C) : WzB= d13/32= 9.81104mm3故 smaxB=MB/ WzB = 91.7 MPa?？梢姡钗ｋU(xiǎn)點(diǎn)在B(C) 截面的上下邊緣，且 smax =smaxB = 91.7 MPa s 因此，該軸是安全的。PEABCD第34頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四 例 題 例 6-1 已知：梁用18 工字鋼制成, Me=20 kNm, E=200 GPa。計(jì)算：最大彎曲正應(yīng)力smax, 梁軸曲率半徑

13、r解：1. 工字鋼一種規(guī)范化、系列化的工字形截面的標(biāo)準(zhǔn)鋼材（GB 706-88）18 工字鋼：第35頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四Me=20 kNm，E=200 GPa，求 smax 與 r2. 應(yīng)力計(jì)算3. 變形計(jì)算第36頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四 例 題 例 6-2 已知：F=15kN, l=400mm, b=120mm, d=20mm計(jì)算：截面 B-B 的最大拉應(yīng)力st,max與壓應(yīng)力sc,max解：1. 彎矩計(jì)算第37頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四2. 慣性矩計(jì)算3. 最大彎曲正應(yīng)力第38頁(yè)，共59頁(yè)，2

14、022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四例 3 已知：鋼帶厚d=2mm, 寬b=6mm, D=1400mm, E=200GPa。計(jì)算：帶內(nèi)的 smax 與 M解：1. 問(wèn)題分析 應(yīng)力變形關(guān)系： 內(nèi)力變形關(guān)系：已知鋼帶變形，求鋼帶應(yīng)力與內(nèi)力第39頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四帶厚 d=2 mm, 寬 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求 smax 與 M2. 應(yīng)力計(jì)算3. 彎矩計(jì)算第40頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四若帶厚 d=10 mm, 4. 討論第41頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四例

15、圖示外伸梁由鑄鐵作成，橫截面為T字形已知 q=10 kN/m，P =20 kN， st =40 Mpa， sc =160 Mpa ，校核該梁的強(qiáng)度。EXAMPLE-2PACBD2m3mq1myzCzC2002003030第42頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四解 支座反力:FBy= 30 kNFDy =10 kN EXAMPLE-2FByFDyPACBD2m3mq1m彎矩圖：10 kNm20 kNm第43頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四EXAMPLE-2yzCzC2002003030求 Izc首先求形心C的位置形心主慣性矩為：第44頁(yè)，共59頁(yè)，2

16、022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四EXAMPLE-2校核強(qiáng)度：FByFDyPACBD2m3mq1m10 kNm20 kNmB截面：上邊緣為拉應(yīng)力下邊緣為壓應(yīng)力第45頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四EXAMPLE-2校核強(qiáng)度：FByFDyPACBD2m3mq1m10 kNm20 kNmC截面：上邊緣為壓應(yīng)力下邊緣為拉應(yīng)力所以僅對(duì)C截面拉應(yīng)力校核。梁滿足強(qiáng)度要求。第46頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四例 圖示槽形截面鑄鐵梁。已知 b=2 m，Iz =5493104 mm4 ，許用拉應(yīng)力 st =30 MPa， sc =90 MPa ，確定此梁的

17、許可荷載。PACBDbbbq=P/byzO86134120401802020EXAMPLE-3第47頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四解: 支座反力FAy= P/4 , FBy=7P/4MB=-Pb/2彎矩圖：彎矩圖MC=Pb/4FAyFAyPACBDbbbq=P/bEXAMPLE-3第48頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四 分析可知，不管是對(duì)截面C還是截面B，該梁的強(qiáng)度均由最大拉應(yīng)力控制最大正、負(fù)彎矩分別在C、B截面處，其值分別為 MC=Pb/4， MB=Pb/2彎矩圖MC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020由橫截面尺寸可見，

18、中性軸到上、下邊緣的距離分別為y2=86mm，y1=134mm 第49頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四因此，只須計(jì)算C、B截面上的最大拉應(yīng)力。得彎矩圖MC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020EXAMPLE-3由C截面上的最大拉應(yīng)力第50頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四由B截面上的最大拉應(yīng)力得從而，許用荷載為彎矩圖MC=Pb/4ACBDyzO86134120401802020EXAMPLE-3第51頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)58分，星期四F=80kNACB1m1m22060y1y2yzo220d例 跨長(zhǎng)l=2m的鑄鐵梁受力如圖所示。已知材料的拉、壓許用應(yīng)力分別為 st=30MPa， sc=90MPa。根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形截面梁的橫截面尺寸d，并校核梁的強(qiáng)度。EXAMPLE-4第52頁(yè)，共59頁(yè)，2022年