極限承載力的計(jì)算

1、第三節(jié)極限承載力的計(jì)算在土力學(xué)的發(fā)展中，已經(jīng)提出了許多極限荷載公式，1920年普朗特首先根據(jù)塑性平衡理論導(dǎo)出了介質(zhì)達(dá)到極限荷載時(shí)，沿著曲面發(fā)生滑動(dòng)的數(shù)學(xué)方程，并認(rèn)為介質(zhì)的抗剪強(qiáng)度性質(zhì)，可以用強(qiáng)度指標(biāo)C,表示，但是，他的研究結(jié)果只適用于無(wú)重量的介質(zhì)的極限平衡平面課題。隨后不少學(xué)者根據(jù)他的研究結(jié)果，引用來(lái)求解地基土的極限荷載，并進(jìn)一步作了不同形式的修正和補(bǔ)充，以便在工程中加以應(yīng)用。太沙基根據(jù)普朗特相似的概念，導(dǎo)出了考慮地基土自重影響的極限荷載公式。但這些公式都忽略了基礎(chǔ)底面以上覆蓋土層的抗剪強(qiáng)度的影響，故只適用于計(jì)算淺基礎(chǔ)的極限荷載。梅耶霍夫進(jìn)一步考慮了基礎(chǔ)底面以上覆蓋層的抗剪強(qiáng)度的影響，從而提出

2、了淺基礎(chǔ)和深基礎(chǔ)的極限荷載公式。一普朗特爾極限承載力公式普朗特爾公式是求解寬度為b的條形基礎(chǔ)，置于地基表面，在中心荷載P作用下的極限荷載Pu值。普朗特爾的基本假設(shè)及結(jié)果，歸納為如下幾點(diǎn)：(1)地基土是均勻，各向同性的無(wú)重量介質(zhì)，即認(rèn)為土的0，而只具有c，的材料。(2)基礎(chǔ)底面光滑，即基礎(chǔ)底面與土之間無(wú)摩擦力存在，所以基底的壓應(yīng)力垂直于地面。(3)當(dāng)?shù)鼗幱跇O限平衡狀態(tài)時(shí)，將出現(xiàn)連續(xù)的滑動(dòng)面，其滑動(dòng)區(qū)域?qū)⒂衫士现鲃?dòng)區(qū)I，徑向剪切區(qū)II或過(guò)渡區(qū)和朗肯被動(dòng)區(qū)III所組成。其中滑動(dòng)區(qū)I邊界BC或AC為直線，并與水平面成(45+/2)角；即三角形ABC是主動(dòng)應(yīng)力狀態(tài)區(qū)；滑動(dòng)區(qū)II的邊界CE或CD為對(duì)數(shù)螺

3、旋曲線，其曲線方程為rreg，r為起始矢徑；0為射線r與r夾角，滑000動(dòng)區(qū)III的邊界EG，DF為直線并與水平面成(45一/2)角。(4)當(dāng)基礎(chǔ)有埋置深度d時(shí)，將基礎(chǔ)底面以上的兩側(cè)土體用相當(dāng)?shù)木汲dq叫來(lái)代替。根據(jù)上述的基本假設(shè)，采用剛體平衡方法或特征線法，可以得到地基極限承載力為：prdNcNuqc式中：r：基礎(chǔ)兩側(cè)土的容重d:基礎(chǔ)的埋置深度3，”承載力系數(shù)，它們是土的內(nèi)摩擦角的函數(shù)，可查下表:其中Nqegtg2(45。)2Nc(Nq1)ctgNrNqNcNrNqNc001.005.14246.909.6119.320.011.205.69269.5311.922.340.051.436

4、.172813.114.725.860.141.726.823018.118.430.280.272.067.523225.023.235.5100.472.478.353434.529.542.2120.762.979.293648.137.850.6141.163.5810.43867.448.961.4161.724.3311.64095.564.275.4182.495.2513.14213785.493.7203.546.4014.844199115118224.967.8216.945241134133二、斯肯普頓地基極限承載力公式對(duì)于矩形基礎(chǔ)，斯肯普頓（1952年）給出的地基極限

5、承載力公式為：p5c（1b）（1廿）du5l5b0c地基土粘聚力；b、l分別為基礎(chǔ)的寬度和長(zhǎng)度；，基礎(chǔ)埋置深度d范圍內(nèi)土的重度。三太沙基極限承載力公式對(duì)于均勻地基上的條形基礎(chǔ)，當(dāng)受中心荷載作用時(shí)，若把土作為有重量的介質(zhì)，即不等于零，求其極限承載力時(shí)，太沙基作了如下假設(shè)：1基礎(chǔ)底面粗糙，即的與土之間有摩擦力存在當(dāng)?shù)鼗_(dá)到破壞并出現(xiàn)連續(xù)的滑動(dòng)面時(shí)，其基底下有一部分土體將隨著基礎(chǔ)一起移動(dòng)而處于彈性平衡狀態(tài)，該部分土體稱(chēng)為彈性核或叫彈性契體，如圖8-9中ABC所示。彈性核的邊界AC或BC為滑動(dòng)面的一部分，它與水平面的夾角為，而它的具體數(shù)值又與基底的粗糙程度有關(guān)。.當(dāng)把基底看作是完全粗糙時(shí)，則滑動(dòng)區(qū)域由

6、徑向過(guò)渡區(qū)剪切區(qū)II和朗肯被動(dòng)區(qū)III所組成。其中滑動(dòng)區(qū)域II的邊界CE和DC為對(duì)數(shù)螺旋曲線，其曲線方程為（r0為起始矢徑）。朗肯區(qū)域III的邊界DFA為直線，它與水平面成（450一/2）角。.當(dāng)基礎(chǔ)有埋置深度時(shí)，則基底以上兩側(cè)的土體用相當(dāng)?shù)木汲dq叫來(lái)代替。根據(jù)上述假定，經(jīng)推導(dǎo)可得地基的極限承載力1prbNqNcNu2rqc式中：Nr,Nq,Nc稱(chēng)為承載力系數(shù)，都是土的內(nèi)摩擦角的函數(shù)。3e（；一其中：Nq.2cos2（45。,）Nc（Nq1）ctg但對(duì)Nr,太沙基并未給出公式。太沙基將Nr,Nq,Nc可以查表8-4得。幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）當(dāng)把基礎(chǔ)底面假定為光滑時(shí)，則基底以下的彈性核就不存在，而

7、成為朗肯主動(dòng)因了,而AC面與水平面的夾角中=（45。+中/2）而整個(gè)滑動(dòng)區(qū)域?qū)⑼耆c普朗特爾的情況相似，因此，由C,q所引起的承載力系數(shù)即可直接取用普朗特爾的結(jié)果，即：Nengtg2（45。：）N（Nq1）ctgc而由土容重所引起的承載力系數(shù)則采用下列半經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表達(dá)：N1.8Nctg2Br將Netgtg2(45。)q2N(NHl)ctgcqNl.8Ntg2Brcl代入：prbNqNcNu2rqc即可得基礎(chǔ)底面完全光滑情況下的太沙基地基極限承載力，或Nq,Nc,Nr可直接查表取得。（2）太沙基承載力公式都是在整體剪切破壞的條件下得到的,對(duì)于局部剪切破壞時(shí)的承載力,應(yīng)進(jìn)行修正。2cc3tg3tg

8、再用修正后的c，就可計(jì)算局部剪切破壞時(shí)松軟土的地基承載力_1,p-rbNBqNNTOC o 1-5 h zu2rqc式中：NNN,修正后的承載力系數(shù)。（3）對(duì)于方形或圓形基礎(chǔ),太沙基建議用下列修正公式計(jì)算地基極限承載力：圓形基礎(chǔ)：p0.6rRNrdN1.2cN整體破壞urrqcp0.6rRN-dN.2%N局部破壞urrqc方形基礎(chǔ)：p0.4rbNrdNl.3cN整體破壞usrqcp0.4rbN-dN.3cN,局部破壞usrqc4地基的容許承載力將上述各公式算出的極限承載力P“，除以安全系數(shù)K，即得到地基的容許承載力在設(shè)計(jì)時(shí)，基底壓力p應(yīng)滿(mǎn)足pWp的要求。例題1：某辦公樓采用磚混結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)基

9、礎(chǔ)寬度b=1.50m,基礎(chǔ)埋深d=1.4m,地基為粉土，=18.0kN/m3,=30度，c=10kPa,地下水位深7.8m,計(jì)算此地基的極限荷載和地基承載。1解：(1)條形，由太沙基公式：prbNqNcNu2rqc因?yàn)?0o，查得，N=19,N=35,N=18rcq代入公式p=18.0X1.5X192+10X35+18.0X1.4X18=1060.1kPaup(2)地基承載力：p-=1060.1/3.0=353.4kPaK例題2：在例題1中，若地基的為20度，其余條件不變，求p和pu解：(1)當(dāng)20。，查曲線：Nr=4,Nc=17.5,Nq=7,1prbNqNcNu2rqcp=18.0X1.5

10、X4：2+10X17.5+18.0X1.4X7=405.4kPaupp-u=405.4/3.0=135kPaK評(píng)論：由上兩例計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)：基礎(chǔ)的形式，尺寸與埋深相同，地基土的,c不變，只是由30度減小為20度，極限荷載與地基承載力均降低為原來(lái)的38%,可知：的大小，對(duì)p和p影響很大。u四、考慮其它因素影響時(shí)的極限承載力計(jì)算公式1、漢森極限承載力公式對(duì)于均質(zhì)地基基礎(chǔ)底面完全光滑,在中心傾斜荷載作用下,漢森建議按下式計(jì)算豎向地基極限承載力。1pNsdidNsdicsdiNu2rrrrrqqqqccccc式中：(1)s,s,s為基礎(chǔ)的形狀系數(shù),qcbNbs10.4i0.6s1-TqvTOC o 1-

11、5 h zrlrcNlcbb?。簊1-ism或s1tgqlqqlbbs10.2is10.4clcrlir,iq,ic為荷載傾斜系數(shù)ir1一07ph0pcActg.1.空./4500)Ph20pcActgiq(1一05ph)5a0pcActgBiq、ic(iq)Nq1（3）d,d,d深度修正系數(shù)rqcd1rd12tg(1sinB)2dqBd10.40D,d10.35DcBcB（4）g,g,g地面傾斜系數(shù)rqcgrggrgcg(10.5tg14.7b,b,b基底傾斜系數(shù)rqcbexp(H.7grbexp(IEHg)qb1/14.7cNr,Nc,Nq承載力系數(shù)，由下式表示:Nqegtg2(45)2N

12、c(Nq1)ctg上式中Bn分別為地面和基底的傾角。Nr1.8Nctg2幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)應(yīng)用公式時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足p及CaAptg，以保證基底不因水平力過(guò)大而產(chǎn)生水平滑h動(dòng)。Ph：作用在基底上的水平分力P：作用在基底上的垂直分力Ca：為基底與土之間的粘滯力6：為基底與土之間的摩擦力A=LXB(2)當(dāng)基底受到偏心荷載作用時(shí)，先將其換成有效的基底面積，然后按中心荷載情況下的極限承載力公式進(jìn)行計(jì)算。若條形基礎(chǔ)，其荷載的偏心距為e,則用有效寬度B=B2e,來(lái)代替原來(lái)的寬度B。若是矩形基礎(chǔ)，并且在兩個(gè)方面均有偏心，則用有效面積A=BXL來(lái)代替原來(lái)的面積A。其中B=B2eBL=L2eL(3)對(duì)于成層土所組成的地基

13、,當(dāng)各土層的強(qiáng)度相差不大的情況下,漢森建議按下式近似確定持力層的深度。Zmax=AB式中：入：為系數(shù)，根據(jù)土層平均內(nèi)摩擦角和荷載的傾角B從下表查出：B：為基礎(chǔ)的原寬度。人值表：?jiǎn)挝粸?度)20213536450.20.61.202.000.210.300.40.901.600.310.400.20.601.20持力層范圍內(nèi)土的容重和強(qiáng)度指標(biāo)按層厚求其平均值：.rihirThi.cihicQhi*hi式中ri,Ci,甲i分別為第i土層的容重，凝聚力和內(nèi)摩擦角，hi為第i層的厚度。例題：有一寬4m的條形基礎(chǔ)，埋置在中砂層下2米深處，其上作用中心傾斜荷載（豎直分量P=900Kn/m,水平方向Ph=1

14、50Kn/m）中砂層的內(nèi)摩擦角甲=32度，濕容重r=18.5Kn/m3浮容重r=9.5Kn/m3,距基底2米處有一粘土層，其固結(jié)不排水剪的強(qiáng)度指標(biāo)為C=18Kn/m;甲=22度，浮容重r=9.7Kn/m3,設(shè)地下水位與基底齊平，試按漢森公式確定地基的極限承載力。解：荷載的傾斜率：tgP=Ph/P=150/900=0.17該地基屬層狀地基，應(yīng)先確定持力層的最大深度Zmax值，為此固結(jié)tgp=0.17并假設(shè)土層的平均內(nèi)摩擦角2135之間，從表查得人=1.2,于是公式Zmax=AB可得Zmax=1.2X4=4.8m,求持力層內(nèi)土層的平均指標(biāo)：9.6Kn9.6Kn/m3rJ-hh22.812chch02182.8c1I10.5Kn/m3hh22.812hh_322222.8_22.8hh12I2-22.8hh12可見(jiàn)求得的在假設(shè)范圍內(nèi)，查表可得:Nr=9.53,Nq=11.90,Nc=22.3求荷載傾斜系數(shù)：(1(1(1(10.7phpcBctg0.5phpcBctg1i)50.57)50.67(ij)0.67qNq1求深度修正系數(shù)：112tg,1sinB)2d1.158B10.4D