機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)第四講

1、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)第四講山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02第1頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02機(jī)器人的任務(wù)第2頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02第3章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的問(wèn)題： 手在空間的位姿及運(yùn)動(dòng)與各個(gè)關(guān)節(jié)的位姿及運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。其中：正問(wèn)題：已知關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，求手的運(yùn)動(dòng)。逆問(wèn)題：已知手的運(yùn)動(dòng)，求關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。第3頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02一、機(jī)

2、器人位姿的表示1、位置的表示 坐標(biāo)系建立后，任意點(diǎn)p在空間的位置可以用一個(gè)31的位置矢量來(lái)描述；例如，點(diǎn)p在A坐標(biāo)系中表示為： (,)3.1 機(jī)器人的位姿描述A第4頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/022、姿態(tài)（或稱方向）的表示剛體的姿態(tài)可以用附著于剛體上的坐標(biāo)系（用B表示）來(lái)表示；因此，剛體相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的姿態(tài)等價(jià)于B相對(duì)于A的姿態(tài)。 坐標(biāo)系B相對(duì)于A的姿態(tài)表示可以用坐標(biāo)系B的三個(gè)基矢量xB、xB和xB在A中的表示給出， 即AxB AxB AxB ,它是一個(gè)33矩陣，它的每一列為 B的基矢量在A中的分量表示。3.1 機(jī)器

3、人的位姿描述第5頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02即：3.1 機(jī)器人的位姿描述=),cos(),cos(),cos()A,cos()A,cos(),cos()A,cos(),cos(),cos(BBBBBBBBBzzAyzAxzAzy yyxyAzxyxAxxARAB 基矢量都是單位矢量，因此，上式又可以寫(xiě)成：第6頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023.1 機(jī)器人的位姿描述 稱為坐標(biāo)系B相對(duì)A的旋轉(zhuǎn)矩陣。 旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)：1、三個(gè)列向量?jī)蓛烧弧?/p>

4、2、每一行是A的基矢量在B中的分量表示。3、旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣，其行列式等于1。4、它的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，即： 第7頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023、位姿的統(tǒng)一表示 定義一組四向量矩陣R P，如圖。其中，R表示j相對(duì)i的姿態(tài)，P表示j的原點(diǎn)相對(duì)i的位移。 我們可以將j坐標(biāo)系相對(duì)i坐標(biāo)系描述為：iiiijjjjp3.1 機(jī)器人的位姿描述第8頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023.2.1、不同直角坐標(biāo)系表示之間的關(guān)系 1、平移 設(shè)坐標(biāo)系i和

5、坐標(biāo)系j具有相同的姿態(tài)，但它倆的坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，若用31矩陣iPjorg表示坐標(biāo)系j的原點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)系i的表示，則同一向量在兩個(gè)坐標(biāo)系中的表示的關(guān)系為：3.2 齊次變換及運(yùn)算第9頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/022、旋轉(zhuǎn) 設(shè)坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j的原點(diǎn)重合，但它倆的姿態(tài)不同。設(shè)有一向量P，它在j坐標(biāo)系中的表示為jP，它在i中如何表示？ 考慮分量：即：3.2 齊次變換及運(yùn)算iiiijjjjp第10頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023、另一種解釋 對(duì)同一

6、個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式可以給出多種不同的解釋，前面介紹的是同一個(gè)向量在不同的坐標(biāo)系的表示之間的關(guān)系。 上述數(shù)學(xué)關(guān)系也可以在同一個(gè)坐標(biāo)系中解釋的向量的“向前”移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)，或則，坐標(biāo)系“向后”的移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)。 例如:2P= R 1P3.2 齊次變換及運(yùn)算第11頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/024、常用的旋轉(zhuǎn)變換、繞z軸旋轉(zhuǎn)角 坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j的原點(diǎn)合，坐標(biāo)系j的坐標(biāo)軸方向相對(duì)于坐標(biāo)系i繞軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角。角的正負(fù)一般按右手法則確定，即由z軸的矢端看，逆時(shí)鐘為正。3.2 齊次變換及運(yùn)算iiiijjjj第12頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月

7、20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023.2 齊次變換及運(yùn)算20 九月 2022 上式也可以表示坐標(biāo)系固定，向量繞Z軸反向轉(zhuǎn)動(dòng)角。第13頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02、繞x軸旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為： 3.2 齊次變換及運(yùn)算iiiijjjj第14頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02繞y軸旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為： 3.2 齊次變換及運(yùn)算iiiijjjj第15頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分

8、，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 設(shè)繞k軸轉(zhuǎn)動(dòng)角，則旋轉(zhuǎn)矩陣為：其中：3.2 齊次變換及運(yùn)算第16頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02若給定一旋轉(zhuǎn)矩陣:則可計(jì)算出：3.2 齊次變換及運(yùn)算第17頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023.2 齊次變換及運(yùn)算5、聯(lián)合（平移+旋轉(zhuǎn)） 設(shè)坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j坐標(biāo)原點(diǎn)不重合并具有不同的姿態(tài)。則空間任一矢量在坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j 之間有以下關(guān)系：第18頁(yè)，共30頁(yè)，2022年

9、，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02 若坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j之間是先旋轉(zhuǎn)變換，后平移變換，則上述關(guān)系是應(yīng)如何變化？3.2 齊次變換及運(yùn)算第19頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02例：已知坐標(biāo)系B的初始位置與坐標(biāo)系A(chǔ)重合，首先 坐標(biāo)系B沿坐標(biāo)系A(chǔ)的x軸移動(dòng)12個(gè)單位，并沿坐 標(biāo)系A(chǔ)的y軸移動(dòng)6個(gè)單位，再繞坐標(biāo)系A(chǔ)的z軸旋 轉(zhuǎn)30，求平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣。假設(shè)某 點(diǎn)在坐標(biāo)系B中的矢量為 ，求該點(diǎn) 在坐標(biāo)系A(chǔ)中的矢量。 3.2 齊次變換及運(yùn)算第20頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，

10、5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02解：由題意可得平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為： ，則： 3.2 齊次變換及運(yùn)算20 九月 2022第21頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/021、齊次坐標(biāo)的定義 空間中任一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量用 表示，若有四個(gè)不同時(shí)為零的數(shù) 與三個(gè)直角坐標(biāo)分量之間存在以下關(guān)系： 則稱 是空間該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。 3.2 齊次變換及運(yùn)算3.2.2、齊次坐標(biāo)變換以后用到齊次坐標(biāo)時(shí)，一律默認(rèn)k=1 。第22頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分

11、，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/023.2 齊次變換及運(yùn)算2、齊次坐標(biāo)變換 為何使用齊次坐標(biāo) 在進(jìn)行聯(lián)合變換時(shí)，變換關(guān)系為：第23頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02將其寫(xiě)成統(tǒng)一的矩陣形式則有： 3.2 齊次變換及運(yùn)算式中， 齊次坐標(biāo)變換矩陣， 它是一個(gè)44的矩陣。 第24頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義若將齊次坐標(biāo)變換矩陣分塊，則有：意義：左上角的33矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它描述了

12、姿態(tài)關(guān)系；右上角的31矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的平移變換矩陣，它描述了位置關(guān)系，所以齊次坐標(biāo)變換矩陣又稱為位姿矩陣。 3.2 齊次變換及運(yùn)算第25頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系： 任何一個(gè)齊次坐標(biāo)變換矩陣均可分解為一個(gè)平移變換矩陣與一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣的乘積，即： 3.2 齊次變換及運(yùn)算第26頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02齊次變換的逆變換3.2 齊次變換及運(yùn)算第27頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02齊次變換的逆變換若齊次坐標(biāo)變換矩陣為：則： 3.2 齊次變換及運(yùn)算第28頁(yè)，共30頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)19分，星期四山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/02（2）齊次變換矩陣（D-H矩陣） 聯(lián)合變換與單步齊次矩陣的關(guān)系 當(dāng)空間有任意多個(gè)坐標(biāo)系時(shí)，若已知相鄰坐標(biāo)系之間的齊次坐標(biāo)變換