上海市徐匯區(qū)上海師大附中2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）ABCD2已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（）ABCD3已

2、知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中N，P的坐標(biāo)分別為，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間不可能為（ ）ABCD4設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（ ）ABCD5已知函數(shù)在處取極值10，則（ ）A4或B4或C4D6已知函數(shù)的圖象如圖，則與的關(guān)系是：（）ABCD不能確定7已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為()ABCD8把編號(hào)分別為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的電影票超過一張，則必須是連號(hào)，那么不同分法的種數(shù)為（ ）A36B40C42D489若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則=（ ）A1B2CD10已知命題p：“x1,e，al

3、nx”，命題q：“xR，x2-4x+a=0”若“A(1,4B(0,1C-1,1D(4,+)11設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則（ ）ABCD12函數(shù)的大致圖象為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知復(fù)數(shù)，則z的虛部為_；14對(duì)于自然數(shù)方冪和，求和方法如下：，將上面各式左右兩邊分別相加，就會(huì)有，解得，類比以上過程可以求得，且與無(wú)關(guān)，則的值為_15三棱錐PABC中，PAPBABACBC，M是PA的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，當(dāng)二面角PABC為時(shí)，則直線BM與CN所成角的余弦值為_.16已知復(fù)數(shù)z=1+mi（i是虛數(shù)單位，mR），且（3+i）為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）則_三、

4、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N試問：在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值，若不存在，請(qǐng)說明理由18（12分）某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：8911141412現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為（1）求該運(yùn)動(dòng)員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望19（12分）已知函數(shù)，.（）若，求的極值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.20（12分）天水市第一次聯(lián)考

5、后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班10乙班30合計(jì)110（1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”；（3）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào)試求抽到9號(hào)或10號(hào)的概率參考公式與臨界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.706

6、3.8415.0246.63510.82821（12分）已知函數(shù)，（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（2）若函數(shù)在與處的切線互相垂直，求的取值范圍；（3）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍22（10分）2019年高考前夕某地天空出現(xiàn)了一朵點(diǎn)贊云，為了將這朵祥云送給馬上升高三的各位學(xué)子，現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為，在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程：（2）點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求的最小值。參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

7、項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析:先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再求z的虛部.詳解：由題得=，故復(fù)數(shù)z的虛部為-1,故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和運(yùn)算能力.(2) 復(fù)數(shù)的實(shí)部是a,虛部為b，不是bi.2、A【解析】由二項(xiàng)分布的公式即可求得時(shí)概率值.【詳解】由二項(xiàng)分布公式：.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的公式，由題意代入公式即可求出.3、D【解析】利用排除法，根據(jù)周期選出正確答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)的周期為T，則,所以 .因?yàn)樵谶x項(xiàng)D中，區(qū)間長(zhǎng)度為在區(qū)間上不是單調(diào)減函數(shù)所以選擇D【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解決此類

8、問題需要結(jié)合單調(diào)性、周期等屬于中等題4、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，首先判斷函數(shù)的奇偶性，利用可判斷時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象列不等式組可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)闀r(shí)，即成立，所以當(dāng)時(shí)，恒大于零，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，又，函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，又函數(shù)的圖象性質(zhì)類似如圖，數(shù)形結(jié)合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范圍是故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題. 聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件

9、，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).5、C【解析】分析：根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和極值得到關(guān)于的方程組，解方程組并進(jìn)行驗(yàn)證可得所求詳解：，由題意得，即，解得或當(dāng)時(shí)，故函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)極值不符合題意故選C點(diǎn)睛：（1）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn)（2）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x0)0是函數(shù)f(x)在xx0處有極值

10、的必要不充分條件，因此在根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)或極值求得參數(shù)的值后需要進(jìn)行驗(yàn)證，舍掉不符合題意的值6、B【解析】通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖像即得答案.【詳解】由于導(dǎo)數(shù)表示的幾何意義是切線斜率，而由圖可知，在A處的切線傾斜角小于在B處切線傾斜角，且都在第二象限，故，答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，比較基礎(chǔ).7、A【解析】根據(jù)判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進(jìn)而求得正三棱錐的體積.【詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選

11、A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正三棱錐的幾何性質(zhì)，考查向量加法運(yùn)算，考查幾何體外接球有關(guān)問題的求解，屬于中檔題.8、A【解析】將情況分為113和122兩種情況，相加得到答案.【詳解】當(dāng)分的票數(shù)為這種情況時(shí)： 當(dāng)分的票數(shù)為這種情況時(shí)：一張票數(shù)的人可以選擇： 不同分法的種數(shù)為36故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合，將情況分為兩類可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.9、C【解析】試題分析：因?yàn)?，所以因此考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模10、A【解析】通過判斷命題p和q的真假，從而求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：若命題p：“1,e，aln則aln若命題q：“xR，x2則=16-4a0，解得a4，若命題“pq”為真命題，則p，q都是真命題，則a

12、1a4解得：1a4故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,4故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出命題p，q的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵11、B【解析】試題分析：設(shè)，則，若函數(shù)在xR上有大于零的極值點(diǎn)即有正根，當(dāng)有成立時(shí)，顯然有，此時(shí)由，得參數(shù)a的范圍為故選B考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值12、B【解析】分析：利用函數(shù)的解析式，判斷大于時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，以及小于時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，對(duì)比選項(xiàng)排除即可.詳解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，排除選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，排除選項(xiàng)，故選B.點(diǎn)睛：本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知

13、識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-3【解析】先由除法法則計(jì)算出，再寫出它的虛部【詳解】，其虛部為-3。故答案為：-3?！军c(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題。14、.【解析】分析：利用類比法先求出，再求，從而得到答案.詳解：利用類比法：，將上面各式左右兩邊分別相加，就會(huì)有，解得；繼續(xù)使用類比法：，將上面各式左右兩邊分別相加，就會(huì)有，解得， .故答案為：.點(diǎn)睛：類比推理應(yīng)用的類型及相應(yīng)方

14、法類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來求解；(2)類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵；(3)類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識(shí)的遷移15、【解析】先連結(jié)PN，根據(jù)題意，PNC為二面角PABC的平面角，得到PNC，根據(jù)向量的方法，求出兩直線方向向量的夾角，即可得出結(jié)果.【詳解】解：連結(jié)PN，因?yàn)镹為AB中點(diǎn)，PAPB，CACB，所以，所以

15、，PNC為二面角PABC的平面角，所以，PNC，設(shè)PAPBABACBC2，則CNPNBM，設(shè)直線BM與CN所成角為，【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，靈活運(yùn)用向量法求解即可，屬于?？碱}型.16、【解析】先求出的表達(dá)式，再由純虛數(shù)的定義，可求出的值，進(jìn)而可求出.【詳解】由題意，則為純虛數(shù)，故，解得.故，.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】由橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)，列方程給，求出，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)直線l

16、的方程為，由，得，由此利用韋達(dá)定理、直線的斜率，結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點(diǎn)，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1【詳解】橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，它與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意，直線l的斜率k存在，設(shè)直線l的方程為，由，得，設(shè)，則，要使對(duì)任意實(shí)數(shù)k，為定值，則只有，此時(shí)，在x軸上存在點(diǎn)，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查滿足兩直線的斜率和為定值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查橢圓、直線方程、斜率、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題本題主要考查直

17、線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用18、（1）1.36；（2）見解析，9.2【解析】（1）先計(jì)算兩次命中8環(huán)，9環(huán)，11環(huán)的概率，然后可得結(jié)果.（2）列出的所有可能結(jié)果，并分別計(jì)算所對(duì)應(yīng)的概率，然后列出分布列，并依據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）兩次都命中8環(huán)的概率為兩次都命中9環(huán)的概率為兩次都命中11環(huán)的概率為設(shè)該運(yùn)動(dòng)員兩

18、次命中的環(huán)數(shù)相同的概率為（2）的可能取值為8，9，11 ，的分布列為8911116148136【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，重在于對(duì)隨機(jī)變量的取值以及數(shù)學(xué)期望的公式的掌握，屬基礎(chǔ)題.19、（）極大值，極小值；（）見解析.【解析】（）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，然后列表分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)的極大值和極小值；（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)分、和四種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，令，?列表如下：極大值極小值所以，函數(shù)的極大值，極小值；（）由題意得，（1）當(dāng)時(shí)，令，解得；，解得.（2）當(dāng)

19、時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在處理含參數(shù)的函數(shù)問題時(shí)，要弄清楚分類討論的基本依據(jù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)進(jìn)行求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.20、（1）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班105060乙班203050合計(jì)3080110（2）按99.9%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有

20、關(guān)系” （3）【解析】試題分析：思路分析：此類問題（1）（2）直接套用公式，經(jīng)過計(jì)算“卡方”，與數(shù)表對(duì)比，作出結(jié)論（3）是典型的古典概型概率的計(jì)算問題，確定兩個(gè)“事件”數(shù)，確定其比值解：（1） 4分優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班105060乙班203050合計(jì)3080110（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K27.48710.1因此按99.9%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系” （3）設(shè)“抽到9或10號(hào)”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為（x，y）所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6）共36個(gè)事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7個(gè)所以P(A)=，即抽到9號(hào)或10號(hào)的