二重積分的概念與性質(zhì)演示文稿

1、二重積分的概念與性質(zhì)演示文稿第一頁，共四十六頁。（優(yōu)選）二重積分的概念與性質(zhì)第二頁，共四十六頁。 重積分是定積分的推廣和發(fā)展.其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取極限. 定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),其積分區(qū)域是一個確定區(qū)間. 而二重、三重積分的被積函數(shù)是二元、三元函數(shù),其積分域是一個平面有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域.重積分有其廣泛的應(yīng)用.序 言第三頁，共四十六頁。問題的提出二重積分的概念二重積分的性質(zhì)小結(jié) 思考題 作業(yè)double integral第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)第九章 重積分第四頁，共四十六頁。一、問題的提出定積分中會求平行截面面積為已知

2、的 一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開始.而曲頂柱體的體積的計算問題,一般立體的體積可分成一些比較簡單的 回想立體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積.曲頂柱體的體積.二重積分的一個模型.可作為二重積分的概念與性質(zhì)第五頁，共四十六頁。曲頂柱體體積=特點1曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).曲頂頂是曲的二重積分的概念與性質(zhì)第六頁，共四十六頁。柱體體積 = 特點 分析曲邊梯形面積是如何求以直代曲、如何創(chuàng)造條件使 解決問題的思路、步驟與回憶思想是分割、平頂平曲這對矛盾互相轉(zhuǎn)化與以不變代變.曲邊梯形面積的求法類似取近似、

3、求和、取極限.二重積分的概念與性質(zhì) 底面積高第七頁，共四十六頁。步驟如下用若干個小平頂柱體體積之和先任意分割曲頂柱體的底，曲頂柱體的體積并任取小區(qū)域，近似表示曲頂柱體的體積，二重積分的概念與性質(zhì)第八頁，共四十六頁。(1) 分割相應(yīng)地此曲頂柱體分為n個小曲頂柱體.(2) 取近似第i個小曲頂柱體的體積的近似式(用 表示第i個子域的面積) .將域D任意分為n個子域在每個子域內(nèi)任取一點二重積分的概念與性質(zhì)第九頁，共四十六頁。(3) 求和 即得曲頂柱體體積的近似值: (4) 取極限)趨于零,求n個小平頂柱體體積之和令n個子域的直徑中的最大值(記作上述和式的極限即為曲頂柱體體積二重積分的概念與性質(zhì)第十頁，

4、共四十六頁。2. 非均勻平面薄片的質(zhì)量(1) 將薄片分割成n個小塊，看作均勻薄片.(2)(3)(4)近似 任取小塊 設(shè)有一平面薄片,求平面薄片的質(zhì)量M.二重積分的概念與性質(zhì)第十一頁，共四十六頁。也表示它的面積,二、二重積分的概念1. 二重積分的定義定義作乘積 并作和 二重積分的概念與性質(zhì)第十二頁，共四十六頁。積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素這和式則稱此零時,如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于的極限存在,極限為函數(shù)二重積分,記為即二重積分的概念與性質(zhì)第十三頁，共四十六頁。曲頂柱體體積它的面密度曲頂 即在底D上的二重積分,平面薄片D的質(zhì)量即二重積分的概念與性質(zhì)在薄片D上的二重

5、積分, 第十四頁，共四十六頁。 2. 在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區(qū)別:重積分中可正可負(fù).則面積元素為二重積分的概念與性質(zhì)Dyxddd=s第十五頁，共四十六頁。(A) 最大小區(qū)間長;(B) 小區(qū)域最大面積;(C) 小區(qū)域直徑;(D)最大小區(qū)域直徑.D選擇題二重積分的概念與性質(zhì)第十六頁，共四十六頁。2. 二重積分的存在定理 設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)存在.連續(xù)函數(shù)一定可積注今后的討論中,積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時,則都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的二重積分的概念與性質(zhì)第十七頁，共四十六頁。(2)3. 二重積分的幾

6、何意義(3) (1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負(fù)的. 這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,柱體體積的負(fù)值;柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,二重積分的概念與性質(zhì)第十八頁，共四十六頁。例 設(shè)D為圓域二重積分=解 上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積：二重積分的概念與性質(zhì)RD第十九頁，共四十六頁。性質(zhì)為常數(shù), 則(二重積分與定積分有類似的性質(zhì))二重積分的概念與性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)根據(jù)二重積分的幾何意義,確定積分值練習(xí)第二十頁，共四十六頁。以1為高的性質(zhì)2將區(qū)域D分為兩個子域性質(zhì)3若 為D的面積oxyD1D2 注既可看成是以

7、D為底,柱體體積. 對積分區(qū)域的可加性質(zhì).D1與D2除分界線外無公共點.D又可看成是D的面積.二重積分的概念與性質(zhì)第二十一頁，共四十六頁。二重積分的概念與性質(zhì)在有界閉區(qū)域D1上可積,且則必有第二十二頁，共四十六頁。特殊地性質(zhì)4(比較性質(zhì))設(shè) 則二重積分的概念與性質(zhì)例的值= ( ).(A) 為正(B) 為負(fù)(C) 等于0(D) 不能確定為負(fù)B第二十三頁，共四十六頁。選擇題 比較(D) 無法比較.oxy 1 12C(2,1)性質(zhì)4(比較性質(zhì))的大小,則( )二重積分的概念與性質(zhì)第二十四頁，共四十六頁。解例判斷的正負(fù)號.故于是又當(dāng)二重積分的概念與性質(zhì)第二十五頁，共四十六頁。幾何意義以m為高和以M為高

8、的兩個證再用性質(zhì)1和性質(zhì)3, 性質(zhì)5(估值性質(zhì))則為D的面積,則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.證畢.則二重積分的概念與性質(zhì)第二十六頁，共四十六頁。解估值性質(zhì)區(qū)域D的面積在D上例不作計算,二重積分的概念與性質(zhì)第二十七頁，共四十六頁。性質(zhì)6(二重積分中值定理)體積等于 顯然幾何意義證D上連續(xù),為D的面積,則在D上至少存在一點使得則曲頂柱體以D為底 為高的平頂柱體體積.將性質(zhì)5中不等式各除以二重積分的概念與性質(zhì)有第二十八頁，共四十六頁。的最大值M與最小值m之間的.由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.兩端各乘以 點的值證畢.即是說,確定的數(shù)值是介于函數(shù)在D上至少存在一點使得函數(shù)在該與這個確定

9、的數(shù)值相等,即二重積分的概念與性質(zhì)第二十九頁，共四十六頁。選擇題(A)(B)(C) (D)提示:B是有界閉區(qū)域D:上的連續(xù)函數(shù),不存在.利用積分中值定理.二重積分的概念與性質(zhì)第三十頁，共四十六頁。利用積分中值定理,解即得:由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點是圓域內(nèi)的一點.二重積分的概念與性質(zhì)第三十一頁，共四十六頁。 補充在分析問題和算題時常用的設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù) f(x, y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù).oxyD1性質(zhì)7則D1為D在第 一象限中的部分,對稱性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)坐標(biāo)y為奇函數(shù)則設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù) f (x, y)關(guān)于第三十二頁，共四十六頁。設(shè)f(x, y)關(guān)于y為

10、偶函數(shù), D1oxy 證則得二重積分的概念與性質(zhì)軸的分為許多對稱于將域xD,子域內(nèi)取一中的子域在iDsD1軸的子域與其對稱于點xyxii),(,isD也記成).,(iiyx-取一點第三十三頁，共四十六頁。坐標(biāo)y為奇函數(shù)自證!則設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù) f(x,y)關(guān)于二重積分的概念與性質(zhì)第三十四頁，共四十六頁。這個性質(zhì)的幾何意義如圖:OxyzOxyz 區(qū)域D關(guān)于x軸對稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù) 區(qū)域D關(guān)于x軸對稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為奇函數(shù)二重積分的概念與性質(zhì)第三十五頁，共四十六頁。如果函數(shù) f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x為奇函數(shù)oxyD1如果函數(shù) f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x則為偶函數(shù)則類似

11、地,設(shè)區(qū)域D關(guān)于y軸對稱,且D1為D在第一象限中的部分,二重積分的概念與性質(zhì)第三十六頁，共四十六頁。設(shè)D為圓域(如圖)00D1為上半圓域D2為右半圓域二重積分的概念與性質(zhì)第三十七頁，共四十六頁。 解由性質(zhì)得 例二重積分的概念與性質(zhì)11,11),(-=yxyxD其中第三十八頁，共四十六頁。為頂點的三角形區(qū)域,(A)(B)(C)(D)0.A1991年研究生考題, 選擇,3分D1是D在第一象限的部分,練習(xí)二重積分的概念與性質(zhì)第三十九頁，共四十六頁。D1D2D3D4記 I=則I= I1+ I2, 其中I1=I2=而 I1 =D1與D2關(guān)于y軸對稱D3與D4關(guān)于x軸對稱xy關(guān)于x和關(guān)于y都是奇函數(shù)二重積

12、分的概念與性質(zhì)第四十頁，共四十六頁。而 I2 =是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于y的奇函數(shù). 所以 二重積分的概念與性質(zhì)D1D2D3D4第四十一頁，共四十六頁。 今后在計算重積分利用對稱性簡化計算時, 注意被積函數(shù)的奇偶性. 積分區(qū)域的對稱性,要特別注意考慮兩方面:二重積分的概念與性質(zhì)第四十二頁，共四十六頁。 思考當(dāng)f為關(guān)于x且關(guān)于y的偶函數(shù)時：當(dāng)f為關(guān)于x或關(guān)于y的奇函數(shù)時：04Di是區(qū)域D位于第i(i=1,2,3,4)象限的區(qū)域 設(shè)區(qū)域 關(guān)于x軸、y軸均對稱, 函數(shù)f(x, y)在D上可積，則二重積分的概念與性質(zhì)第四十三頁，共四十六頁。若D為 此式的幾何意義是:中心在原點的上半球的體積等于它在第一卦限內(nèi)的體積的4倍.0D1為 x0, y 0, 則二重積分的概念與性質(zhì)第四十四頁，共四十六頁。二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義(曲頂柱體的體積)(四步:分割、取近似、求和、取極限)二重積分的概念與性質(zhì)四、小結(jié)