常用概率分布 (3)講稿

1、關(guān)于常用概率分布 (3)第一張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/172第二張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/173 一、正態(tài)分布的概念 第四章 常用概率分布 第三節(jié) 正態(tài)分布 正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，若指標(biāo)X的頻率分布曲線對應(yīng)于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線，則稱該指標(biāo)服從正態(tài)分布。第三張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/174第四張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/175第五張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/176正態(tài)分布的概率密度函數(shù)（即縱向的曲線高度） -X+ 第六張，PPT共六十二頁

2、，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/177 均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，這種正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。-Z+ 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)： 對于任意一個(gè)服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量，可作如下的標(biāo)準(zhǔn)化變換，也稱Z變換，第七張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/178正態(tài)分布的特征 1. 關(guān)于 對稱。即正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱。 2. 在 處取得概率密度函數(shù)的最大值，在 處有拐點(diǎn)，表現(xiàn)為 鐘形曲線。即正態(tài)曲線在橫軸上方均數(shù)處最高。第八張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/179 3. 正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。是位置參數(shù)，是變異度參數(shù)(形狀參

3、數(shù))。常用N(,2)表示均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布；用N(0,1)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 4. 正態(tài)曲線下面積分布有一定規(guī)律。橫軸上正態(tài)曲線下的面積等于1（ 也常寫作100% ） 。第九張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1710 二、正態(tài)概率密度曲線下的面積正態(tài)方程的積分式(分布函數(shù))： F(X)為正態(tài)變量X的累計(jì)分布函數(shù)，反映正態(tài)曲線下，橫軸尺度自到X的面積，即下側(cè)累計(jì)面積 。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布方程積分式(分布函數(shù))： (Z)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 Z的累計(jì)分布函數(shù)，反映標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下，橫軸尺度自到Z的面積，即下側(cè)累計(jì)面積 。第十張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/

4、1711第十一張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1712 用查表代替計(jì)算必須注意： 1）表中曲線下面積為到Z的面積。 2）當(dāng),和X已知時(shí)，先求出Z值，再用Z值查表，得所求區(qū)間占總面積的比例。當(dāng)和未知時(shí)，要用樣本均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來估計(jì)Z值。 3）曲線下對稱于0的區(qū)間，面積相等。 4）曲線下橫軸上的面積為1 （即100% ）。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表第十二張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1713 正態(tài)分布是一種對稱分布，其對稱軸為直線X=，即均數(shù)位置，理論上： 1范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的68.27% 1.96范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的95% 2.58范

5、圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的99% 實(shí)際應(yīng)用中： 1 S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的68.27% 1.96 S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的95% 2.58 S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的99%第十三張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1714第十四張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1715標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的=0，=1，則相當(dāng)于區(qū)間(-1，1)，1.96相當(dāng)于區(qū)間(-1.96，1.96),2.58的區(qū)間相當(dāng)于區(qū)間(-2.58，2.58)。區(qū)間(-1,1)的面積：1-2(-1)=1-20.1587=0.6826=68.26%區(qū)間(-1.96,1.96)的面積：1

6、-2(-1.96)=1-20.0250=0.9500=95.00%區(qū)間(-2.58,2.58)的面積：1-2(-2.58)=1-20.0049=0.9902=99.02%第十五張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1716 正態(tài)曲線下面積對稱，則區(qū)間（1.96，）的面積也是0.025。Z取值于（-1.96，1.96）的概率為1-20.025=0.95，即X取值在區(qū)間 上的概率為95%。 例 4-11 X服從均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布，試估計(jì)（1）X取值在區(qū)間 上的概率；（2）X取值在區(qū)間 上的概率；先做標(biāo)準(zhǔn)化變換:第十六張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/

7、9/1717例 4-12 已知某地1986年120名8歲男童身高均數(shù) ，S=4.79 cm ，估計(jì)(1)該地8歲男孩身高在130 cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比；(2)身高界于120cm128cm者占該地8歲男孩總數(shù)的比例；(3)該地80%男孩身高集中在哪個(gè)范圍？ 先做標(biāo)準(zhǔn)化變化: 理論上該地8歲男孩身高在130 cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的7.21%。第十七張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1718（2）第十八張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1719（3）查附表1，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下左側(cè)面積為0.10所對應(yīng)的Z值為-1.28，所以80%的

8、8歲男孩身高值集中在 區(qū)間內(nèi)，即116.9cm129.2cm第十九張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/17201. 確定醫(yī)學(xué)參考值范圍參考值范圍：指特定的“正?！比巳旱慕馄省⑸?、生化、免疫等各種數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍。制定參考值范圍的步驟： 1. 選擇足夠數(shù)量的正常人作為調(diào)查對象。 2. 樣本含量足夠大。 3. 確定取單側(cè)還是取雙側(cè)正常值范圍。 4. 選擇適當(dāng)?shù)陌俜纸缦蕖?5. 選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。三、正態(tài)分布的應(yīng)用第二十張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1721估計(jì)醫(yī)學(xué)參考值范圍的方法： 1. 正態(tài)近似法：適用于正態(tài)分布或近似正態(tài)分布的資料。 2. 百分位

9、數(shù)法：適用于偏態(tài)分布資料。過低異常過低異常過高異常過高異常第二十一張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1722 例4-13 某地調(diào)查120名健康女性血紅蛋白，直方圖顯示，其分布近似于正態(tài)分布，得均數(shù)為117.4g/L，標(biāo)準(zhǔn)差為10.2g/L ，試估計(jì)該地正常女性血紅蛋白的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍。 分析：正常人的血紅蛋白過高過低均為異常，要制定雙側(cè)正常值范圍。 該指標(biāo)的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍為第二十二張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1723 例 4.13-A 某年某市調(diào)查了 200例正常成人血鉛含量（g/100g)如下，試估計(jì)該市成人血鉛含量的95%醫(yī)學(xué)參

10、考值范圍。第二十三張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1724 分析：血鉛的分布為偏峰分布，且血鉛含量只以過高為異常，要用百分位數(shù)法制定單側(cè)上限。第二十四張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/17252、質(zhì)量控制圖 為了控制實(shí)驗(yàn)中的檢測誤差，常用 2S作上下警戒線，以 3S作為上下控制線。這里的2S和3S可視為1.96S 和2.58S的約數(shù)。其依據(jù)是正常情況下檢測誤差是服從正態(tài)分布的。 第二十五張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1726第三節(jié) 正態(tài)分布及其應(yīng)用判斷異常的8種情況是：有一個(gè)點(diǎn)距中心線的距離超過3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（控制限以外）在中

11、心線的一側(cè)連續(xù)有9個(gè)點(diǎn)連續(xù)6個(gè)點(diǎn)穩(wěn)定地增加或減少連續(xù)14個(gè)點(diǎn)交替上下連續(xù)3個(gè)點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)距中心線距離超過2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（警戒限以外）第二十六張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1727第三節(jié) 正態(tài)分布及其應(yīng)用連續(xù)5個(gè)點(diǎn)中有4個(gè)點(diǎn)距中心線距離超過1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差中心線一側(cè)或兩側(cè)連續(xù)15個(gè)點(diǎn)距中心線距離都在1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)中心線一側(cè)或兩側(cè)連續(xù)8個(gè)點(diǎn)距中心線距離都超出1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍。第二十七張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1728 3、統(tǒng)計(jì)處理方法的理論基礎(chǔ)如 統(tǒng)計(jì)描述中計(jì)算算術(shù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、 統(tǒng)計(jì)推斷中進(jìn)行總體均數(shù)置信區(qū)間估計(jì)、 t 檢驗(yàn)、F 檢驗(yàn)、相關(guān)與回歸等分

12、析二項(xiàng)分布、Poisson分布在一定條件下可以當(dāng)作正態(tài)分布。第二十八張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1729 成敗型實(shí)驗(yàn)（Bernoulli實(shí)驗(yàn)） 在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域的許多實(shí)驗(yàn)或觀察中，人們感興趣的是某事件是否發(fā)生。如用白鼠做某藥物的毒性實(shí)驗(yàn)，關(guān)心的是白鼠是否死亡；某種新療法臨床實(shí)驗(yàn)觀察患者是否治愈；觀察某指標(biāo)的化驗(yàn)結(jié)果是否呈陽性等。將我們關(guān)心的事件A出現(xiàn)稱為成功，不出現(xiàn)稱為失敗，這類試驗(yàn)就稱為成-敗型實(shí)驗(yàn)。指定性資料中的二項(xiàng)分類實(shí)驗(yàn)。第一節(jié) 二項(xiàng)分布 一、二項(xiàng)分布的概念與特征 第二十九張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1730 成-敗型（Bernou

13、lli）實(shí)驗(yàn)序列：滿足以下三個(gè)條件的n次實(shí)驗(yàn)構(gòu)成的序列稱為成-敗型實(shí)驗(yàn)序列。 1）每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果，只能是兩個(gè)互斥的結(jié)果之一（A或非A）。 2) 相同的實(shí)驗(yàn)條件下，每次實(shí)驗(yàn)中事件A的發(fā)生具有相同的概率。（非A的概率為1-）。 實(shí)際工作中要求是從大量觀察中獲得的較穩(wěn)定的數(shù)值。 3) 各次實(shí)驗(yàn)獨(dú)立。各次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果互不影響。第三十張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1731（一）二項(xiàng)分布的概念 二項(xiàng)分布是指在只能產(chǎn)生兩種可能結(jié)果（如“陽性”或“陰性”）之一的n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)每次試驗(yàn)的“陽性”概率保持不變時(shí)，出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)X=0,1,2,n的一種概率分布。 若從陽性率為的總體

14、中隨機(jī)抽取大小為n的樣本，則出現(xiàn)“陽性”數(shù)為X的概率分布即呈現(xiàn)二項(xiàng)分布，記作 B(n,)。第三十一張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1732舉例 設(shè)實(shí)驗(yàn)白鼠共3只，要求它們同種屬、同性別、體重相近，且他們有相同的死亡概率，即事件“白鼠用藥后死亡”為A，相應(yīng)死亡概率為。記事件“白鼠用藥后不死亡”為 ，相應(yīng)不死亡概率為1-。設(shè)實(shí)驗(yàn)后3只白鼠中死亡的白鼠數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2和3，則死亡鼠數(shù)為X的概率分布即表現(xiàn)為二項(xiàng)分布。第三十二張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1733獨(dú)立事件的乘法定理互不相容事件的加法定理第三十三張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作

15、于2022年6月2022/9/1734第三十四張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1735 構(gòu)成成-敗型實(shí)驗(yàn)序列的n次實(shí)驗(yàn)中，事件A出現(xiàn) 的次數(shù)X的概率分布為： 其中X=0，1，2，n。 n，是二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù) 。 對于任何二項(xiàng)分布，總有 第三十五張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1736例4-2 臨床上用針灸治療某型頭疼，有效的概率為60%，現(xiàn)以該療法治療3例，其中2例有效的概率是多大？ 分析：治療結(jié)果為有限和無效兩類，每個(gè)患者是否有效不受其他病例的影響，有效概率均為0.6，符合二項(xiàng)分布的條件。2例有效的概率是0.432第三十六張，PPT共六十二頁

16、，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1737有效數(shù)不少于1例的概率為：或第三十七張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1738（二）二項(xiàng)分布的特征1. 二項(xiàng)分布的圖形特征 n，是二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)，所以二項(xiàng)分布的形狀取決于n，?？梢钥闯觯?dāng) =0.5時(shí)分布對稱，近似對稱分布。當(dāng) 0.5時(shí)，分布呈偏態(tài)，特別是n較小時(shí)， 偏離0.5越遠(yuǎn)，分布的對稱性越差，但只要不接近1和0時(shí)，隨著n 的增大，分布逐漸逼近正態(tài)。因此， 或1- 不太小，而n足夠大，我們常用正態(tài)近似的原理來處理二項(xiàng)分布的問題。第三十八張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1739第三十九張，PPT共

17、六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1740第四十張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1741 2. 二項(xiàng)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差 對于任何一個(gè)二項(xiàng)分布B(n,)，如果每次試驗(yàn)出現(xiàn)“陽性”結(jié)果的概率均為 ，則在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，出現(xiàn)陽性次數(shù)X的總體均數(shù)為方差為標(biāo)準(zhǔn)差為第四十一張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1742例 實(shí)驗(yàn)白鼠3只，白鼠用藥后死亡的死亡概率=0.6，則3只白鼠中死亡鼠數(shù)X的總體均數(shù) =30.6=1.8（只）方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為第四十二張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1743 如果以率表示，將陽性結(jié)果的頻率記為

18、， 則p的總體均數(shù) 總體方差為 總體標(biāo)準(zhǔn)差為 式中 是頻率p的標(biāo)準(zhǔn)誤，反映陽性頻率的抽樣誤差的大小。第四十三張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1744例4-4 如果某地鉤蟲感染率為6.7%,隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人,樣本鉤蟲感染率為p,求p的抽樣誤差 。第四十四張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1745 二、二項(xiàng)分布的應(yīng)用1. 概率估計(jì)例5-5 如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人，其中有10人感染鉤蟲的概率有多大?第四十五張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/17462. 累計(jì)概率計(jì)算 二項(xiàng)分布出現(xiàn)陽性次數(shù)至少為k次的概率

19、為陽性次數(shù)至多為k次的概率為第四十六張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1747例5-6 如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人，其中至多有2人感染鉤蟲的概率有多大?至少有2人感染鉤蟲的概率有多大?至少有20人感染鉤蟲的概率有多大?至多有2名感染的概率為:第四十七張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1748至少有2名感染的概率為:至少有20名感染的概率為:第四十八張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1749 第二節(jié) Poisson分布的概念與特征 一、Poisson分布的概念 Poisson分布也是一種離散型分布，用以描述罕

20、見事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。Poisson分布也可用于研究單位時(shí)間內(nèi)(或單位空間、容積內(nèi))某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布，如分析在單位面積或容積內(nèi)細(xì)菌數(shù)的分布，在單位空間中某種昆蟲或野生動(dòng)物數(shù)的分布，粉塵在觀察容積內(nèi)的分布，放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)放射出質(zhì)點(diǎn)數(shù)的分布等。Poisson分布一般記作 。第四十九張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1750 Poisson分布可以看作是發(fā)生的概率 很小，而觀察例數(shù)很大時(shí)的二項(xiàng)分布。除要符合二項(xiàng)分布的三個(gè)基本條件外，Poisson分布還要求或1-接近于0和1。有些情況和n都難以確定，只能以觀察單位(時(shí)間、空間、容積、面積)內(nèi)某種稀有事件的發(fā)生

21、數(shù)X等來表示，如每毫升水中大腸桿菌數(shù)，每個(gè)觀察單位中粉塵的計(jì)數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)放射性質(zhì)點(diǎn)數(shù)等，只要細(xì)菌、粉塵、放射性脈沖在觀察時(shí)間內(nèi)滿足以上條件，就可以近似看為Poisson分布。 Poisson分布作為二項(xiàng)分布的一種極限情況第五十張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1751 二、Poisson分布的特征 Poisson分布的概率函數(shù)為:式中 為Poisson分布的總體均數(shù)，X為觀察單位時(shí)間內(nèi)某稀有事件的發(fā)生次數(shù)；e為自然對數(shù)的底，為常數(shù)，約等于2.71828。第五十一張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1752 如某地20年間共出生短肢畸形兒10名，平均每

22、年0.5名。就可用 代入Poisson分布的概率函數(shù)來估計(jì)該地每年出生此類短肢畸形兒的人數(shù)為0，1，2的概率P(X)。第五十二張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1753第五十三張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1754 Poisson分布具有以下特性：（1）Poisson分布的的總體均數(shù)與總體方差相等，均為 。（2）Poisson分布的觀察結(jié)果有可加性。即對于服從Poisson分布的m個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2Xm，它們之和也服從Poisson分布，其均數(shù)為這m個(gè)隨機(jī)變量的均數(shù)之和。第五十四張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1755 從總體均數(shù)為 的服從Poisson分布總體中隨機(jī)抽出一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為X1，再獨(dú)立地從總體均數(shù)為 的Poisson分布總體中隨機(jī)抽出另一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為X2，則他們的合計(jì)發(fā)生數(shù)T=X1+X2也服從Poisson分布，總體均數(shù)為 。第五十五張，PPT共六十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2022/9/1756 Poisson分布的這些性質(zhì)還可以推廣到多個(gè)Poisson分布的情形。例如，從同一水源獨(dú)立地取水樣5