整理曲線積分與曲面積分17261

1、精品文檔第二十一章曲線積分與曲面積分 1第一型線面積分222求 f(xy + yz + zx)ds,其中 L 是球面 x + y + zL=a與平面x + y + z=0的交線。解法，、,1 、，(xy yz zx)ds =-2(xy yz zx)dsL2 l12222=-(x y z) -(x y - z )ds2 L-1222(x y z )ds 二L解法求曲線L的參數(shù)方程。由 x2十y2z22,、2x (x z)(x (1 -2a2z2)J2asin t ,則 .3z a _-(12- 22a22、 a ,z ):一二cost?2a . sin t.6, a .cost sin t, 6

2、cost sin t于是得到兩組參數(shù)方程aa .,cost sin t 2. 6, a .cost sin t, a .cost sin tJ3asint2 asin t ,3L都具有輪換對稱性，則我們可任選一組，例如第一組。顯然，被積函數(shù)和(xy yz zx)ds =3 zxdsLL精品文檔精品文檔 TOC o 1-5 h z 22 二1222=,3a sint (cost sin t) x (t) y z (t)dt0. 32 二12 二二-3a3 sint (cost sint)dt - -a3 sin2tdt -二a3030解法3作坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。就坐標(biāo)是 （x, y）,新坐標(biāo)是（X,Y）,

3、旋轉(zhuǎn)角為e ,則旋轉(zhuǎn)變換的一般公式為x = X cosH Y sin 8 , y = X sin 6 +Y cos9因為平面x+y+z=0的單位法矢為n =1,1,1,則它與z軸的夾角余弦為cos =13F面分兩步進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，先將 Oxy平面旋轉(zhuǎn) 二，得新坐標(biāo)系Ou,vz;再將Ozu平面旋轉(zhuǎn)巾，得新坐標(biāo)系 Ouvw。即Oxyz *-Ou vz *Ouvw由旋轉(zhuǎn)公式得于是得x=E(u-v)y =%(u，+v)1 ,0, y0, z a 0的邊界線，從球的外側(cè)看去，L的方向為逆時針方向； TOC o 1-5 h z 222222(2)L te球面x +y +z =a和柱面x +y = ax(a a

4、0)的交線位于 Oxy平面上萬的部分，從x軸上(b,0,0)(b a)點看去，L是順時針方向。解 (1)顯然，L具有輪換對稱性，且被積表達(dá)式也具有輪換對稱性，將 L分為三段22Li ： x +y =1, z=0 (x0, y 0)22L2 ： y +z =1, x = 0 (y0, z 0)22L3： x +z =1, y = 0 (x0, z 0)貝UI = (y2 -z2)dx (z2 - x2)dy (x2 - y2)dzL=3 (y2 - z2)dx (z2 - x2)dy (x2 - y2)dzL101=3 y2dx - x2dy = 3 (1 - x2)dx - 3 (1 - y2

5、)dy = -4Li10或 I = (y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz精品文檔精品文檔=3 (y2 -z2)dx=3()(y2 -z2)dxLL1 L2 L3 TOC o 1-5 h z 01-2_222、.=3 y dx 3 -z dx = 3 (1 - x )dx - 3 (1 - x )dx - -4L1L310注1這里利用輪換對稱性使計算化簡，都是寫為某積分的3倍。它們的區(qū)別在于第一種方法：積分表達(dá)式不變，積分化為L1上的積分的3倍。第二種方法：積分曲線 L不變，積分化為表達(dá)式中第一項積分的3倍。問題1是否可化為既是 L1上的積分的3倍，又是表達(dá)式中第一項積分的

6、3倍，即222222一 22I = (y - z )dx (z -x )dy (x - y )dz = 9 (y - z )dxLL1(2)曲線關(guān)于 Ozx平面對稱，且方向相反(y2-z2)dx= (y2 -z2)dx(y2-z2)dx = 0lL,y_0L,y 生同理 (x2 y2)dz =(x2 y2)dz=(x2 y2)dz = 0lL,y 0L,ya故 I = (y2 -z2)dx (z2 -x2)dy (x2 -y2)dz = (z2 -x2)dy LL下面求曲線 L的參數(shù)方程。方法1利用球面的參數(shù)方程x=acossin4, y = asinHsine, z=acos4,代入柱面方程

7、 x2 + y2 = ax得sin * = cos6 ,于是得L的參數(shù)方程2JT= acos 日， y=asincos日，z = a|sin|,日從萬到一萬 TOC o 1-5 h z a aa萬法2利用柱面的參數(shù)萬程 x = - +cos8 , y = sin ,代入球面方程2 222222x +y +z =a，得L的參數(shù)方程a a . ax=一十一cos,y= sin, z=a|sin|,日從 2n 到 02 222不妨取方法1中的參數(shù)方程進(jìn)行計算，-二/2I = (z2x2)dy = a2sin21-cos4 ua(cos2 u - sin21)duL-：!./ 2精品文檔精品文檔0= 2a3 1cos2i cos4 i(2cos2i _1)cH二/2二/2=-2a3 (-1 3cos2 1-cos41-2cos6 1)di031335 3 二 3二-2a 二- - 2 = a2 4 4 2 26 4 2 22值得注意的是第二型的Ozx平面對注2這里利用對稱性(不是輪換對稱性)，立即可知前兩項的積分為 0。 曲線積分與第一型的曲線積分對稱性的應(yīng)用是不同的。例如第一項