2021年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)3理科真題及答案

1、 10/102021年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)3理科真題及答案 1.(2018年新課標(biāo)理)已知集合A x |x 10,B 0,1,2,則A B ( ) A .0 B .1 C .1,2 D .0,1,2 C 【解析】A x |x 10 x |x 1,則A B x |x 10,1,21,2. 2.(2018年新課標(biāo)理)(1i)(2i)( ) A .3i B .3i C .3i D .3i D 【解析】(1i)(2i)2i 2i i 23i . 3.(2018年新課標(biāo)理)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的

2、木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是( ) A B C D A 【解析】由題意可知木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,小的長方體是榫頭,從圖形看出輪廓是長方形,內(nèi)含一個長方形,且一條邊重合,另外3邊是虛線.故選A . 4.(2018年新課標(biāo)理)若sin 1 3,則cos 2( ) A .89 B .79 C .79 D .8 9 B 【解析】cos 212sin 2121979 . 5.(2018年新課標(biāo)理)?x 22 x 5的展開式中x 4的系數(shù)為( ) A .10 B .20 C .40 D .80 C 【解析】?x 22x 5的展開式的通項為T r +1C r 5

3、(x 2)5r ?2x r 2r C r 5x 103r .由103r 4,解得r 2.?x 22x 5的展開式中x 4的系數(shù)為22C 2 540. 6.(2018年新課標(biāo)理)直線x y 20分別與x 軸,y 軸交于A ,B 兩點,點P 在圓(x 2)2y 22上,則ABP 面積的取值范圍是( ) A .2,6 B .4,8 C .2,32 D .22,32 A 【解析】易得A (2,0), B (0,2),|AB |22.圓的圓心為(2,0),半徑r 2.圓心(2,0)到直線x y 20的距離d |202| 1212 22,點P 到直線x y 20的距離h 的取值范圍為22r ,22r ,即

4、2,32.又ABP 的面積S 1 2|AB |h 2h ,S 的取值范圍是 2,6. 7.(2018年新課標(biāo)理)函數(shù)y x 4x 22的圖象大致為( ) A B C D D 【解析】函數(shù)過定點(0,2),排除A ,B ；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y 4x 32x 2x (2x 21),由y 0解得x 22或0 x 2 2 ,此時函數(shù)單調(diào)遞增,排除C .故選D . 8.(2018年新課標(biāo)理)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p ,各成員的支付方式相互獨立.設(shè)X 為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),DX 2.4,P (X 4)P (X 6),則p ( ) A .0.7 B .0.6 C .0.4 D

5、.0.3 B 【解析】某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p ,為獨立重復(fù)事件,滿足X B (10,p ).由P (X 4)P (X 6),可得 C 410p 4(1p )6C 610p 6(1p )4 ,解得p 12.因為DX 2.4,所以10p (1p )2.4,解得p 0.6或p 0.4(舍去). 9.(2018年新課標(biāo)理)ABC 的內(nèi)角A ,B ,C 的對邊分別為a ,b ,c .若ABC 的面積為a 2b 2c 2 4,則C ( ) A .2 B .3 C . 4 D . 6 C 【解析】S ABC 1 2ab sin C a 2b 2c 24,則sin C a 2b 2c 22

6、bc cos C .因為0C ,所以 C 4. 10.(2018年新課標(biāo)理)設(shè)A ,B ,C ,D 是同一個半徑為4的球的球面上四點,ABC 為等邊三角形且面積為93,則三棱錐D -ABC 體積的最大值為( ) A .12 3 B .18 3 C .24 3 D .54 3 B 【解析】由ABC 為等邊三角形且面積為93,得S ABC 3 4 |AB |293,解得AB 6.設(shè)半徑為4的球的球心為O ,ABC 的外心為O ,顯然D 在O O 的延長線與球的交點處(如圖).O C 233 2623,OO 42(23)22,則三棱錐D -ABC 高的最大值為6,則三棱 錐D -ABC 體積的最大值

7、為133 4 63183. 11.(2018年新課標(biāo)理)設(shè)F 1,F 2是雙曲線C :x 2a 2y 2 b 21(a 0,b 0)的左,右焦點,O 是坐標(biāo)原點. 過F 2作C 的一條漸近線的垂線,垂足為P ,若|PF 1|6|OP |,則C 的離心率為( ) A . 5 B .2 C . 3 D . 2 C 【解析】雙曲線C 的一條漸近線方程為y b a x ,點F 2到漸近線的距離d bc a 2 b 2b , 即|PF 2|b ,|OP |OF 2|2|PF 2|2c 2b 2a ,cos PF 2O b c .|PF 1|6|OP |,|PF 1| 6a .F 1PF 2中,由余弦定理

8、得|PF 1|2|PF 2|2|F 1F 2|22|PF 2|F 1F 2|cos PF 2O ,即6a 2b 24c 2 2b 2c b c 4c 23b 24c 23(c 2a 2),化簡得3a 2c 2,e c a c 2 a 2 3. 12.(2018年新課標(biāo)理)設(shè)a log 0.20.3,b log 20.3,則( ) A .a b ab 0 B .ab a b 0 C .a b 0ab D .ab 0a b B 【解析】a log 0.20.3 lg 0.3lg 5 ,b log 20.3lg 0.3lg 2,a b lg 0.3lg 2lg 0.3 lg 5 lg 0.3(lg

9、5lg 2)lg 2lg 5lg 0.3lg 52lg 2lg 5,ab lg 0.3lg 2lg 0.3lg 5lg 0.3lg 103lg 2lg 5.lg 103lg 52, lg 0.3 lg 2lg 50,ab a b 0.故選B . 13.(2018年新課標(biāo)理)已知向量a (1,2),b (2,2),c (1,).若c (2a b ),則_. 12 【解析】(2a b )2(1,2)(2,2)(4,2),由c (2a b ),得142,解得1 2. 14.(2018年新課標(biāo)理)曲線y (ax 1)e x 在點(0,1)處的切線的斜率為2,則a _. 3 【解析】由y (ax 1)e

10、 x ,可得y a e x (ax 1)e x .y |x 0a 1,a 12,解得a 3. 15.(2018年新課標(biāo)理)函數(shù)f (x )cos ? ?3x 6在0,的零點個數(shù)為_. 3 【解析】令f (x )cos ?3x 60,得3x 62k (k Z ),解得x 9k 3(k Z ).當(dāng)k 0時,x 9；當(dāng)k 1時,x 49；當(dāng)k 2時,x 79；當(dāng)k 3時,x 109.x 0,x 9,或x 49,或x 7 9.f (x )的零點的個數(shù)為3. 16.(2018年新課標(biāo)理)已知點M (1,1)和拋物線C :y 24x ,過C 的焦點且斜率為k 的直線與C 交于A ,B 兩點.若AMB 90

11、,則k _. 2 【解析】拋物線的焦點為F (1,0),過A ,B 兩點的直線方程為y k (x 1).聯(lián)立 ? ?y 24x ，y k (x 1)，化簡得k 2x 22(2k 2)x k 20.設(shè)A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),則x 1x 242k 2k 2,x 1x 2 1.y 1y 2k (x 1x 22)4 k ,y 1y 2k 2(x 11)(x 21)k 2x 1x 2(x 1x 2)14.M ( 1,1),MA (x 11,y 11),MB (x 21,y 21).AMB 900,MA MB 0,即(x 11)(x 21)(y 11)(y 21)0,整理得x 1x

12、 2(x 1x 2)y 1y 2(y 1y 2)20,124 k 24 4 k 20,即k 24k 40,解得k 2. 17.(2018年新課標(biāo)理)等比數(shù)列a n 中,a 11,a 54a 3. （1）求a n 的通項公式； （2）記S n 為a n 的前n 項和.若S m 63,求m . 【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列a n 的公比為q . 由a 11,a 54a 3,得1q 44(1q 2),解得q 2. 當(dāng)q 2時,a n 2n 1； 當(dāng)q 2時,a n (2)n 1. （2）當(dāng)q 2時,S n 11(2)n 1(2)1(2)n 3.由S m 63,得1(2)m 363,m N ,無解； 當(dāng)q

13、 2時,S n 1(12n )122n 1.由S m 63,得2m 163,解得m 6. 18.(2018年新課標(biāo)理)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖: （1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由； （2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m ,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m 和 不超過m 的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表: （3）根據(jù)（2）中的

14、列聯(lián)表,能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異? 附:K 2 n (ad bc )2 (a b )(c d )(a c )(b d ) 【解析】（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知第一種生產(chǎn)方式的工作時間主要集中在7292之間,第二種生產(chǎn)方式的工作時間主要集中在6585之間, 第二種生產(chǎn)方式的工作時間較少,效率更高. （2）這40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間按從小到大的順序排列后,排在中間的兩個數(shù)據(jù)是79和81,m 7981 280. 由此填寫列聯(lián)表如下: （3）K 2 40(151555)20202020 106.635, 有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異. 19.(2018年新課標(biāo)文

15、)如圖,邊長為2的正方形ABCD 所在的平面與半圓弧 CD 所在平面垂直,M 是 CD 上異于C ,D 的點. （1）求證:平面AMD 平面BMC ； （2）當(dāng)三棱錐M ABC 體積最大時,求面MAB 與面MCD 所成二面角的正弦值. 【解析】（1）證明:在半圓中,DM MC . 正方形ABCD 所在的平面與半圓弧 CD 所在平面垂直,AD 平面DCM . 又MC ?平面DCM ,AD MC . 又AD DM D ,MC 平面ADM . MC ?平面MBC ,平面AMD 平面BMC . （2）ABC 的面積為定值,要使三棱錐M ABC 體積最大,則三棱錐的高最大,此時M 為圓弧的中點. 以O(shè)

16、為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 正方形ABCD 的邊長為2,A (2,1,0),B (2,1,0),M (0,0,1),則平面MCD 的一個法向量為m (1,0,0). 設(shè)平面MAB 的一個法向量為n (x ,y ,z ),則AB (0,2,0),AM (2,1,1). ?n AB 2y 0， n AM 2x y z 0. 令x 1,則y 0,z 2,n (1,0,2). cos m ,n m n |m |n |1155 5 . 設(shè)面MAB 與面MCD 所成的二面角為,則sin 1? ? ?552255. 20.(2018年新課標(biāo)文)已知斜率為k 的直線l 與橢圓C :x 24y

17、2 31交于A ,B 兩點,線段AB 的中點為M (1,m )(m 0). （1）求證:k 1 2 ； （2）設(shè)F 為C 的右焦點,P 為C 上一點,且FP F A FB 0,求證:|F A |,|FP |,|FB |成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差. 【解析】（1）設(shè)A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 線段AB 的中點為M (1,m ),x 1x 22,y 1y 22m . 將A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)代入x 24y 2 3 1中, 化簡得3(x 1x 2)(x 1x 2)4(y 1y 2)(y 1y 2)0,即6(x 1x 2)8m (y 1y 2)0, k

18、y 1y 2x 1x 2 68m 34m . 點M (1,m )在橢圓內(nèi),即14m 231(m 0),解得0m 3 2. k 34m 1 2 . （2）證明:設(shè)(x 3,y 3),可得x 1x 22. FP F A FB 0,F (1,0),x 11x 21x 310,y 1y 2y 30. x 31,y 3(y 1y 2)2m . m 0,P 在第四象限. y 332,m 3 4 ,k 1. |F A |212x 1,|FB |212x 2,|FP |212x 33 2, 則|F A |FB |41 2(x 1x 2)3. 2|FP |F A |FB |. 聯(lián)立?y x 7 4，x 2 4y

19、 2 31， 化簡得28x 2 56x 10. x 1x 22,x 1x 21 28 . |x 1x 2|(x 1x 2)24x 1x 2321 7 . 該數(shù)列的公差d 滿足2d 12|x 1x 2|321 14. 該數(shù)列的公差為321 28 . 21.(2018年新課標(biāo)理)已知函數(shù)f (x )(2x ax 2)ln(1x )2x . （1）若a 0,求證:當(dāng)1x 0時,f (x )0；當(dāng)x 0時,f (x )0； （2）若x 0是f (x )的極大值點,求a . 【解析】（1）證明:當(dāng)a 0時,f (x )(2x )ln(1x )2x (x 1),則f (x )ln(1x )x 1x . 令

20、g (x )f (x )ln(1x )x 1x ,則g (x )x (1x )2. 當(dāng)x (1,0)時,g (x )0；當(dāng)x (0,)時,g (x )0. f (x )在(1,0)遞減,在(0,)遞增. f (x )f (0)0. f (x )(2x )ln(1x )2x 在(1,)上單調(diào)遞增. 又f (0)0,當(dāng)1x 0時,f (x )0；當(dāng)x 0時,f (x )0. （2）由f (x )(2x ax 2)ln(1x )2x , 得f (x )(12ax )ln(1x )2x ax 21x 2ax 2x (12ax )(1x )ln(1x ) 1x . 令h (x )ax 2x (12ax

21、)(1x )ln(1x ), 則h (x )4ax (4ax 2a 1)ln(1x ). 當(dāng)a 0,x 0時,h (x )0,h (x )單調(diào)遞增. h (x )h (0)0,即f (x )0. f (x )在(0,)上單調(diào)遞增,x 0不是f (x )的極大值點,不合題意. 當(dāng)a 0時,令u (x )h (x )4ax (4ax 2a 1)ln(1x ), 則u (x )8a 4a ln(1x )12a 1x ,顯然u (x )單調(diào)遞減. 令u (x )0,解得a 1 6 . 當(dāng)1x 0時,u (x )0；當(dāng)x 0時,u (x )0. h (x )在(1,0)上單調(diào)遞增,在(0,)上單調(diào)遞減.

22、 h (x )h (0)0,則h (x )在(0,)上單調(diào)遞減. 又h (0)0,當(dāng)1x 0時,h (x )0,即f (x )0；當(dāng)x 0時,h (x )0,即f (x )0. f (x )在(1,0)上單調(diào)遞增,在(0,)上單調(diào)遞減. x 0是f (x )的極大值點,符合題意. 若16a 0,則u (x )16a 0,u ? ? ?e 16a 4a 1(2a 1)(1e 16a 4a )0, u (x )0在(0,)上有唯一一個零點,設(shè)為x 0. 當(dāng)0 x x 0時,u (x )0,h (x )單調(diào)遞增,h (x )h (0)0,即f (x )0. f (x )在(0,x 0)上單調(diào)遞增,不

23、合題意； 若a 16,則u (x )16a 0,u ?1e 21(12a )e 20, u (x )0在(1,0)上有唯一一個零點,設(shè)為x 1. 當(dāng)x 1x 0時,u (x )0,h (x )單調(diào)遞減,h (x )h (0)0,h (x )單調(diào)遞增,h (x )h (0)0,即f (x )0. f (x )在(x 1,0)上單調(diào)遞減,不合題意. 綜上,a 16 . 22.(2018年新課標(biāo)理)在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,O 的參數(shù)方程為? ? ?x cos ，y sin (為參數(shù)), 過點(0,2)且傾斜角為的直線l 與O 交于A ,B 兩點. （1）求的取值范圍； （2）求AB 中點P 的軌跡的參數(shù)方程. 【解析】（1）將O 的參數(shù)方程化為普通方程,得為x 2y 21,圓心為O (0,0),半徑r 1. 當(dāng) 2時,過點(0,2)且傾斜角為的直線l 的方程為x 0,成立； 當(dāng) 2時,過點(0,2)且傾斜角為的直線l 的方程為y tan x 2. 直線l 與O 交于A ,B 兩點,圓心O (0,0)到直線l