8.6.2-第一課時-直線與平面垂直的判定

1、88教材知識探究木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次，如右圖.如果兩次檢查時，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直.教材知識探究木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不問題(1)用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？(2)上述問題說明了直線與平面垂直的條件是什么？提示(1)不能.(2)直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線.問題(1)用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？1.直線與平面垂直的定義任意一條定義如果直線l與平面內(nèi)的_直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直記法_有關(guān)概念直線l叫做平面的_，平面叫做

2、直線l的_，它們唯一的公共點P叫做_l垂線垂面垂足1.直線與平面垂直的定義任意一條定義如果直線l與平面內(nèi)的_畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直圖示性質(zhì)過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條垂線段與點面距過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形2.直線與平面垂直的判定定理定理中的條件“相交直線”很重要，切勿忽視文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的_垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言la，lb，a，b，_Pl圖形語言兩條相交直線

3、ab2.直線與平面垂直的判定定理定理中的條件“相交直線”很重要，3.直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個平面_，但不與這個平面_，這條直線叫做這個平面的斜線斜足斜線和平面的_叫做斜足射影過斜線上斜足以外的一點P向平面引_，過_和_的直線叫做斜線在這個平面上的射影相交垂直交點A垂線PO垂足O斜足A3.直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個直線與平面所成的角定義：平面的一條_和它在平面上的_所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角. 規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是_；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是_取值范圍_斜線射影90009

4、0直線與平面所成的角定義：平面的一條_和它在平面教材拓展補遺微判斷1.若直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l.( )2.若ab，b，則a.( )3.若直線l與平面垂直，則直線l與平面的所有直線成的角均為90.( )4.若直線l與平面所成的角為0，則直線l平面.( )提示1.直線l垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線時，則l與不一定垂直.2.還有可能a.4.l或l.教材拓展補遺提示1.直線l垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線時微訓(xùn)練1.若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC解析OAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，O

5、A平面OBC.答案C微訓(xùn)練A.平面OAB B.平面OAC2.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是_(填序號).三角形的兩邊；梯形的兩邊；圓的兩條直徑；正六邊形的兩條邊.解析由線面垂直的判定定理知，直線垂直于圖形所在的平面，對于圖形中的兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在的平面不一定垂直.答案2.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線微思考1.直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線”是否可以換成“所有直線”或“無數(shù)條直線”？提示定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是等效的，但是不可說成“無數(shù)條直線”，因為一條直線與某平面內(nèi)無數(shù)條平行

6、直線垂直，該直線與這個平面不一定垂直.2.若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”，直線與平面一定垂直嗎？提示當這兩條直線平行時，直線可與平面平行或相交，不一定垂直.3.如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面嗎？提示垂直.微思考2.若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”，直題型一線面垂直概念的理解【例1】下列命題中，正確的序號是_.若直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l；若直線l與平面內(nèi)的一條直線垂直，則l；若直線l不垂直于平面，則內(nèi)沒有與l垂直的直線；若直線l不垂直于平面，則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條.題型一線面垂直概

7、念的理解若直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂解析當直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直時，l與不一定垂直，所以不正確；當l與內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面垂直，所以不正確；當l與不垂直時，l可能與內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以不正確，正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以正確.故填.答案解析當直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直時，l與不一定規(guī)律方法1.直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注意理解.實際上，“任何一條”與“所有”表達相同的含義.當直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線.由此可知，如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個

8、平面垂直.2.由定義可得線面垂直線線垂直，即若a，b，則ab.規(guī)律方法1.直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意【訓(xùn)練1】設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是()A.若lm，m，則lB.若l，lm，則mC.若l，m，則lmD.若l，m，則lm解析對于A，直線lm，m并不代表平面內(nèi)任意一條直線，所以不能判定線面垂直；對于B，因l，則l垂直內(nèi)任意一條直線，又lm，由異面直線所成角的定義知，m與平面內(nèi)任意一條直線所成的角都是90，即m，故B正確；對于C，也有可能是l，m異面；對于D，l，m還可能相交或異面.答案B【訓(xùn)練1】設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題型

9、二直線與平面所成的角 找垂線找射影得線面角【例2】如圖所示，在RtBMC中，斜邊BM5，它在平面ABC上的射影AB長為4，MBC60，求MC與平面CAB所成角的正弦值.解由題意知A是M在平面ABC上的射影，MA平面ABC，MC在平面CAB上的射影為AC.MCA即為直線MC與平面CAB所成的角.又在RtMBC中，BM5，MBC60，題型二直線與平面所成的角 找垂線找射影得線面角【例28規(guī)律方法求斜線與平面所成角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計算.(2)證明：證

10、明某平面角就是斜線與平面所成的角.(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.規(guī)律方法求斜線與平面所成角的步驟【訓(xùn)練2】在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，A1D1的中點，求：(1)D1B與平面ABCD所成角的余弦值；(2)EF與平面A1B1C1D1所成的角.解(1)如圖所示，連接DB，D1D平面ABCD，DB是D1B在平面ABCD內(nèi)的射影，則D1BD即為D1B與平面ABCD所成的角.【訓(xùn)練2】在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別(2)E是A1A的中點，A1A平面A1B1C1D1，EFA1是EF與平面A1B1C1D1所成的角.在RtEA1F中，F(xiàn)

11、是A1D1的中點，EFA145，即EF與平面A1B1C1D1所成的角為45.(2)E是A1A的中點，A1A平面A1B1C1D1，題型三直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用 線線線面探究1直線與平面垂直的證明【例31】如圖所示，RtABC所在平面外有一點S，且SASBSC，點D為斜邊AC的中點.(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC，求證：BD平面SAC.題型三直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用 線線線面探究證明(1)SASC，D為AC的中點，SDAC.在RtABC中，ADDCBD，又SASB，ADSBDS.SDBD.又ACBDD，AC，BD平面ABC，SD平面ABC.(2)BABC，D為AC的中點

12、，BDAC.又由(1)知SDBD，于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線.BD平面SAC.證明(1)SASC，D為AC的中點，SDAC.探究2線面垂直的應(yīng)用【例32】在矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD，且PA1，邊BC上是否存在點Q，使得PQQD？為什么？解PA平面ABCD，QD平面ABCD，PAQD.若邊BC上存在一點Q，使得QDAQ，又PAAQA，則有QD平面PAQ，又PQ平面PAQ，從而QDPQ.在矩形ABCD中，當ADa2時，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點Q，使AQDQ.當a2時，才存在點Q，使得PQQD.探究2線面垂直的應(yīng)用解PA平面ABCD，QD平面A

13、規(guī)律方法1.線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化規(guī)律方法1.線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化2.證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義.(2)線面垂直的判定定理.(3)如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.(4)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.2.證明線面垂直的方法8證明由已知得：ACBD，ADCD，于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，OH，EF平面ABCD，所以DH平面ABCD.證明由已知得：ACBD，ADCD，于是DH2OH2一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)線面角、線面垂直的判定定理及應(yīng)用，重點培

14、養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，以及提升邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).2.直線和平面垂直的判定方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個結(jié)論：若ab，a，則b；若，a，則a.3.求線面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二證三計算)；(2)轉(zhuǎn)移法(找過點與面平行的線或面).一、素養(yǎng)落地(1)利用線面垂直的定義；3.求線面角的常用方法二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直 C.相交 D.不確定解析由于直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，而這兩邊相交于點C，所以直線l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三邊AB在這個平面內(nèi)，所以lAB.答案B二、素養(yǎng)訓(xùn)練