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文檔簡介
1、一、集合集合與函數(shù)基本性質學問點匯總 整理者 : 陳老師一)集合的有關概念 1. 關于集合的元素的特點(1)元素的確定性 :(2)元素的互異性:(3) 元素的無序性 :2. 元素與集合的關系;屬于 aA,不屬于 aA二)集合的表示方法:列舉法;描述法;圖示法;符號簡記法;三)集合的基本關系:1、集合與集合之間的“ 包含” 關系;2、集合與集合之間的“ 相等” 關系;,就中的元素是一樣的,因此即3、真子集的概念4、空集的概念:不含有任何元素的集合稱為空集,記作:規(guī)定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;5、結論:1)、12 ,且,就2)、點集與數(shù)集的交集是 . (例: A = x,y|
2、 y = x+1 B= y| y = x 2+1 就 AB = )一般地,含 nn 0 個元素的集合的全部子集的個數(shù)是,全部真子集的個數(shù)是-1 ,非空真子集的個數(shù)為四)集合的基本運算:1. 并集: 一般地,由全部屬于集合 A 或屬于集合 B 的元素所組成的集合,稱為集合 A 與 B 的并集記作: AB; AB=x|x A,或 xBVenn圖表示:A BAB2.交集:A 且屬于集合B的元素所組成的集合,叫做集合A 與 B 的交集( intersection);一般地,由屬于集合記作: AB; AB=x| A,且 xB交集的 Venn 圖表示3. 補集: 全集:一般地,假如一個集合含有我們所討論問
3、題中所涉及的全部元素,那么就稱這個集合為全集( Universe ),通常記作 U;補集:對于全集 U的一個子集 A,由全集 U中全部不屬于集合 A 的所有元素組成的集合稱為集合 A 相對于全集 U的補集( complementary set), 簡稱為集合 A的補集,記作: CUA;CUA=x|x U且 xA 補集的 Venn 圖表示 4. 集合基本運算的一些結論:說明:補集的概念必需要有全集的限制交集: ABA, ABB, AA=A, A=, AB=BA并集: AAB, BAB, AA=A, A=A, AB=BA補集( CUA) A=U,(CUA) A= 如 AB=A,就 AB,反之也成立
4、 如 x( AB),就 xA且 xB 如 AB=B,就 AB,反之也成立 如 x( AB),就 xA,或 xB6摩根定律: (AB) C = (AC)( AC)(AB) C = (AC)( AC)二、函數(shù)相關概念和性質:1、 函數(shù)概念、解析式、分段函數(shù)、復合函數(shù)概念:1)映射2 函數(shù) 3)函數(shù)的表示 列表法:用表格的形式表示兩個變量之間函數(shù)關系的方法,稱為列表法圖象法:用圖象把兩個變量間的函數(shù)關系表示出來的方法,稱為圖象法解析法:一個函數(shù)的對應關系可以用自變量的解析式表示出來,這種方法稱為解析法4)分段函數(shù)(1 分段函數(shù)的定義:在定義域的不同部分,有不同對應法就的函數(shù)稱為分段函數(shù)(2 分段函數(shù)
5、的定義域和值域:分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,其值域是各段值域的并集5)復合函數(shù) : 如 y 是 u 的函數(shù), u 又是 x 的函數(shù),即,那么 y 關于 x 的函數(shù),叫做 f 和 g 的復合函數(shù), u 叫 做中間變量, u 的取值范疇是的值域;2、 函數(shù)定義域:(1)確定函數(shù)定義域的原就(四條)復合函數(shù)定義域的求法:(2)如已知的定義域為,求的定義域,其方法是:利用,求得的范疇,此即的定義域;如已知的定義域為,求的定義域,其方法是:利用,求得的范疇,此即的定義域 3、函數(shù)值域求解方法:一、直接法:從自變量的范疇動身,推出的取值范疇;二、配方法(二次函數(shù)法):配方法式求“ 二次函數(shù)類” 值
6、域的基本方法;形如的函數(shù)的值域問題,均可使 用配方法 三、反函數(shù)法:利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系,通過求反函數(shù)的定義域,得到原函數(shù) 的值域;四、分別常數(shù)法:分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù),可用分別常數(shù)法,此類問題一般也可以用反函數(shù)法;五、換元法: 運用代數(shù)代換, 獎所給函數(shù)化成值域簡單確定的另一函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域,形如(、均為常數(shù),且)的函數(shù)常用此法求解;六、判別式法:把函數(shù)轉化成關于的二次方程;通過方程有實數(shù)根,判別式,從而求得原函數(shù)的值域,形 如(、不同時為零)的函數(shù)的值域,常用此方法求解;七、函數(shù)的單調性法:確定函數(shù)在定義域(或某個定義域的子集)上的單調性,求出函
7、數(shù)的值域;八、利用函數(shù)的導數(shù)求最值:當一個函數(shù)在定義域上可導時,可據(jù)其導數(shù)求最值;九、利用重要的不等式:基本不等式求值域;十、圖像法(數(shù)形結合法) :函數(shù)圖像是把握函數(shù)的重要手段,利用數(shù)形結合的方法,依據(jù)函數(shù)圖像求得函 數(shù)值域,是一種求值域的重要方法;注: 求函數(shù)的值域沒有通性解法,只有依據(jù)函數(shù)解析式的結構特點來確定相應的解法;但不論哪種方法,都應遵循一個原就:定義域優(yōu)先的原就;4、反函數(shù):1)反函數(shù)的定義:2)原函數(shù)與反函數(shù)有兩個“ 交叉關系”:自變量與因變量、定義域與值域 .求一個函數(shù)的反函數(shù),分三步:逆解、交換、定域(確定原函數(shù)的值域,并作為反函數(shù)的定義域).留意 :,但 .函數(shù)的反函數(shù)
8、是,而不是 . 4、函數(shù)的單調性:1)定義;特點:增(減)函數(shù)的y 值,隨自變量x 值的增大而增大(減?。?即從左邊往右邊看增函數(shù)的圖象是上升的,減函數(shù)圖象是下降的2)如函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),就就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性,這一區(qū)間叫做函 數(shù)的單調區(qū)間 . 此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調函數(shù) .3)判定證明函數(shù)單調性的一般步驟是:設 , 是給定區(qū)間內的任意兩個值,且 0(1)fxfxa,就fx的周期 T=a;| 2 , 就fx的 周 期(2)fxfxa0,或fxaf1fx0,x或f xa 1 0,f x 或1f x f2 fxa,f x 0,1 , 就fx 的周期 T=2a
9、;2f1a fx 0,就fx的周期 T=3a;3fx1x4fx 1x2fx 1x 1fx2且f a 1f x 1f x 21,0 |x 1x 21ffx2T=4a;5f x f x a f x2 a f x3 f x4 f x f x a f x2 a f x3 a f x4 a , 就fx的周期 T=5a;6fxafx fxa,就fx的周期 T=6a.8. 分數(shù)指數(shù)冪1amn1m(a0,m nN ,且n1).na2am1(a0,m nN ,且n1) .nman9. 根式的性質(1) n ana .na na ;0.(2)當 n 為奇數(shù)時,當 n 為偶數(shù)時,nn a|a|a aa a010.
10、有理指數(shù)冪的運算性質1 a ra sa r s a 0, , r s Q .2 a r sa rs a 0, , r s Q .3 ab ra b r r a 0, b 0, r Q .注:如 a0,p 是一個無理數(shù),就 a p表示一個確定的實數(shù)上述有理指數(shù)冪的運算性質,對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用 .33. 指數(shù)式與對數(shù)式的互化式logaNbabN a0,a1,N0.34. 對數(shù)的換底公式logaNlogmN a aa0, 且a01,m0, 且m1,N0.n1,N0.logm推論logambnnlogba, 且a1,m n0, 且m1 ,m11. 對數(shù)的四就運算法就如 a0, a 1,M0,N0,就1 log aMNlogaMlogaN ;a0 , 記ab24ac. 如fx的定義域為 R, 就a0,且2 logaMnlogaMlogaN;N3 logaMnlogaM nR .注:設函數(shù)fxlogmax2bxc0 ; 如fx的值域為 R , 就a0,且0 . 對于0的情形 , 需要單獨檢驗 .12. 對數(shù)換
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