2022-2023學(xué)年高三年級新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題-空間向量及其運算（含解析）

1、空間向量及其運算學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、單選題（本大題共11小題，共55.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，在EF上，且平面BDE，則M點的坐標為 ()A. B. C. D. 空間四邊形ABCD中，若向量，點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則的坐標為()A. B. C. D. 已知三棱柱的所有棱長相等，若，則異面直線與所成角的余弦值是()A. B. C. D. 如圖所示，二面角為，過點A作，垂足為B，過點D作，垂足為C，若，則AD的長度為()A. 1B. C. D. 2在四面體ABCD中，若與互余，則的最大值為()

2、A. 20B. 30C. 40D. 50如圖，在正四棱柱中，動點P、Q分別在線段、AC上，則線段PQ長度的最小值是()A. B. C. D. 如圖，在正方體中，M，N分別是棱AB，的中點，點P在對角線上運動當?shù)拿娣e取得最小值時，點P的位置是()A. 線段的三等分點，且靠近點B. 線段的中點C. 線段的三等分點，且靠近點CD. 線段的四等分點，且靠近點C向量的運算包含點乘和叉乘，其中點乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積現(xiàn)定義向量的叉乘：給定兩個不共線的空間向量與，規(guī)定：為同時與，垂直的向量；，三個向量構(gòu)成右手系如圖；若，則，其中如圖2，在長方體中，則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D. 長方體的

3、體積已知三棱錐中，底面BCD為等邊三角形，點E為CD的中點，點F為BE的中點，若點M、N是空間中的兩動點，且，則()A. 3B. 4C. 6D. 8為三個非零向量，則對空間任一向量，存在唯一實數(shù)組，使；若，則；若，則；，以上說法一定成立的個數(shù)()A. 0B. 1C. 2D. 3A，B，C是不共線的三點，O是平面ABC外一點，設(shè)M滿足條件，則直線()A. 與平面ABC平行B. 是平面ABC的斜線C. 是平面ABC的垂線D. 在平面ABC內(nèi)二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）在三棱錐中，以下說法正確的有()A. 若，則B. 若，則C. 若，M、N分別為PA、BC的

4、中點，則D. 若T為的重心，則正方體的棱長為2，且，過P作垂直于平面的直線l，l交正方體的表面于M，N兩點，下列說法不正確的是()A. 平面B. 四邊形面積的最大值為C. 若四邊形的面積為，則D. 若，則四棱錐的體積為如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為4的正方形，點M為CG的中點，點P為底面EFGH上的動點，則()A. 當時，存在點P滿足B. 當時，存在唯一的點P滿足C. 當時，滿足的點P的軌跡長度為D. 當時，滿足的點P的軌跡長度為以下四個命題中錯誤的是()A. 空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示B. 若為空間向量的一組基底，則構(gòu)成空間向量的另一組基底C. 對空間任意一點O和不共線的三點

5、A、B、C，若，則P、A、B、C四點共面D. 任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底三、填空題（本大題共1小題，共5.0分）如圖，四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，在線段AH上取一點G，使四點四面.若為常數(shù)，則_.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本題考查空間中點的坐標的求法，是基礎(chǔ)題設(shè)AC、BD交于點O，連結(jié)OE，由已知推導(dǎo)出四邊形OAME是平行四邊形，從而M是EF的中點，由此能求出點M的坐標【解答】解：設(shè)AC、BD交于點O，連結(jié)OE，平面BDE，平面ACEF，平面平面，又，四邊形OAME是平行四邊形，是EF的中點，易得平面ABCD、平面ABCD，故選2.【答案】B【解析】【分

6、析】本題考查了向量的線性運算、向量坐標運算，屬于基礎(chǔ)題點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，O為空間內(nèi)任一點，可得，代入計算即可得出【解答】解：，點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，O為空間內(nèi)任一點，故選：3.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查的異面直線所成的角，空間向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.設(shè)，設(shè)三棱柱的棱長為m，利用空間向量基本定理，將與用表示出來，利用空間向量的運算求出，即可得到異面直線所成角的余弦值.【解答】解：設(shè)，設(shè)三棱柱的棱長為則又，所以，所以則異面直線與所成角的余弦值是故選4.【答案】B【解析】【分析】本題考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.由題設(shè)知，

7、故，由此能求出AD的長【解答】解：二面角的大小為，點B，C在棱l上，故選5.【答案】B【解析】【分析】本題考查空間向量的數(shù)量積運算以及三角函數(shù)求最值，屬于中檔題.設(shè)，可得，利用空間向量數(shù)量積的定義以及輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域可求得的最大值.【解答】解：設(shè)，可得，則為銳角，在四面體ABCD中，則，其中為銳角，且，則，所以，當時，取得最大值故選：6.【答案】C【解析】【分析】本題考查了空間向量的模，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題設(shè)，利用向量模的計算公式可得：，從而得解.【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，當且僅當，即，時取等號線段PQ長度的最小值為故選7.【答案】B【解析】【

8、分析】本題考查點的位置判斷，考查空間中兩點之間的距離，考查運算求解能力，是中檔題以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出的面積取得最小值時，P為的中點【解答】解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，P為上的動點，設(shè)，其中，為等腰三角形，底邊，設(shè)底邊MN上的高為h，則有，時的面積取得最小值，此時P為的中點故選：8.【答案】C【解析】【分析】本題考查空間向量的新定義，空間向量的數(shù)量積，屬于中檔題.利用新定義，結(jié)合棱柱的體積公式逐個判斷即可；法二：建立空間直角坐標系，由向量法逐個進行判斷.【解答】解：同時與，垂直

9、，三個向量構(gòu)成右手系，且，所以選項A錯誤；根據(jù)右手系知：與反向，所以，故選項B錯誤;因為，且與同向共線，又因為，且與同向共線，與同向共線，所以，且與同向共線，故選項C正確；所以長方體的體積為，又因為由右手系知向量方向垂直底面向上，與反向，所以，故選項D錯誤；故選法二：如圖，建立空間直角坐標系，則，所以選項A錯誤；，則，故選項D錯誤；，故選項B錯誤；，則，則，所以，故選項C正確；故選9.【答案】B【解析】【分析】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬難題由題意畫出圖形，建立空間直角坐標系，由已知說明點M，N在以O(shè)為球心，以1為半徑的球上，結(jié)合，得M

10、N為球的直徑，由向量的數(shù)量積，即可得到答案【解答】解：設(shè)A在底面BCD的投影為O，底面BCD為等邊三角形，且，以O(shè)為坐標原點，OA為z軸，OD為y軸，以過點O且與BC平行的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系則，又E為CD的中點，點F為BE的中點，設(shè)，由，得，即，點M在以O(shè)為球心，以1為半徑的球上，同理N也在這個球上，且，為球的直徑，則故選：10.【答案】B【解析】【分析】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間向量基本定理、向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，屬于中檔題利用空間向量基本定理可判斷；利用非零向量共線的性質(zhì)可判斷；利用向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷；錯誤【解答】解：因為為三個非零向量，所以，對于

11、，當為三個非零共面向量時，對空間任一向量，不存在唯一實數(shù)組，使，故錯誤；對于，為三個非零向量，故正確；對于，若，則，即，而不是，故錯誤；對于，不一定成立，等號左端為倍的，等號右端為倍的，而與不一定共線，故錯誤綜上所述，以上說法一定成立的個數(shù)為1個，故選：11.【答案】D【解析】【分析】本題考查空間向量中向量線性運算以及共面定理，屬于中檔題.根據(jù)題中向量等式，將向量進行拆分，移項整理可得，從而得到向量、是共面向量，由此不難得到本題答案【解答】解：由，得移項，得，即由此可得向量、是共面向量，由此可得直線AM在平面ABC內(nèi)故選：12.【答案】BD【解析】【分析】本題主要考查了空間向量的加法、減法以及

12、數(shù)乘、數(shù)量積運算，考查了向量的模的計算.根據(jù)空間向量的線性運算，逐項判斷每項的正誤即可.【解答】解：如圖：對于A，因為，即，所以D為BP的中點，則，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，且，根據(jù)勾股定理的逆定理可得 PA， PB， PC兩兩垂直，故，故C錯誤；對于D，因為 T為的重心，所以，所以，即，所以，故D正確故答案選：13.【答案】ACD【解析】【分析】本題主要考查了線面垂直的判定，空間直角坐標系，空間向量的正交分解及坐標表示，空間向量的模，夾角與距離求解問題，棱錐的體積，屬于較難題.根據(jù)已知及線面垂直的判定，可知A是否正確，根據(jù)已知及空間直角坐標系，利用表示出點M，N的

13、坐標，從而可求出四邊形的面積以及四棱錐的體積.【解答】解：因為與不垂直，所以與平面不垂直，故A不正確如圖，以為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，因為，所以因為平面，所以設(shè)，則，若平面，則，即，；若平面，則，即，因為，所以四邊形的面積當時，四邊形的面積最大，且最大值為；點B到直線的距離為，即點B到平面的距離為，故四棱錐的體積，故B正確，故D不正確若四邊形的面積為，則或，解得或，故C不正確故選14.【答案】BCD【解析】【分析】本題考查了向量的數(shù)量積，空間中的軌跡長度，多面體的結(jié)構(gòu)特征，屬于較難題.建立空間直角坐標系，對選項ABCD一一進行分析判斷即可得.【解答】

14、解：建立如圖所示的空間直角坐標系，可知，設(shè)，作點M關(guān)于EFGH的對稱點為，連接交平面EFGH于點，當點P不在處，即的最小值為，當時，所以，故A錯誤；B：，若，則，所以存在唯一的點滿足，故B正確；，滿足，即，即，在平面EFGH作出該直線與四邊形EFGH的交線KQ，即，所以，故C正確；當時，則，因為，則，即，與平面EFGH聯(lián)合起來交于4段圓弧如圖所示，設(shè)該圓弧GF交于S，T兩點，令，可得，所以，其對圓弧長度為；根據(jù)對稱性可知點P的軌跡長度為，故D正確.故選15.【答案】ACD【解析】【分析】本題考查空間向量基本定理和平面向量基本定理，屬于中檔題.根據(jù)空間向量基本定理和平面向量基本定理逐一判斷即可得出答案.【解答】解：因為空間中的任何一個向量都可用其他三個不共面的向量來表示，故A不正確；若為空間向量的一組基底，則，任意兩個向量不共線，且，不共面，且，均為非零向量，假設(shè)，共面，可設(shè)，所以該方程組無解，故，不共面，因此，可構(gòu)成空間向量的一組基底，故B正確;由于，此時，P、A、B、C四點不共面，故C不正確；空間向量基底是由三個不共面的向量組成的，故D不正確故選16.【答案】【解析】【分析】本題考查的知識點是四點共面問題，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，向量的加減與數(shù)乘混合運算，屬于中檔題.若G，B，P，D四點共面，則G即為AH與平面PBD的交點，連接