現(xiàn)代控制設(shè)計

1、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)期中課程設(shè)計題 目：單倒置擺控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計學(xué)院：電氣工程學(xué)院姓名：學(xué)號：專業(yè)班級：指導(dǎo)教師:成績：摘要:回倒置擺控制系統(tǒng)是一個復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進(jìn)行 控制理論教學(xué)及其開展各種控制策略理論驗證平臺。倒立擺系統(tǒng)的高階次、不穩(wěn) 定、多變量以及強耦合等特性使得許多現(xiàn)代控制理論研究人員一直將它作為最佳 的理論方法驗證試驗研究對象，不斷從研究倒立擺中發(fā)掘出新的控制方法，并將 其應(yīng)用于航天科技和機(jī)器人學(xué)等各種高新技術(shù)領(lǐng)域。本次設(shè)計運用牛頓運動定律 建立倒立擺系統(tǒng)的運動方程，選擇合適的狀態(tài)變量，進(jìn)而抽象出系統(tǒng)的狀態(tài)空間 描述，建立數(shù)學(xué)模型。通過狀態(tài)反饋極點配置算法，研究系

2、統(tǒng)的某些狀態(tài)；進(jìn)而 通過PID控制對該系統(tǒng)進(jìn)行校正；利用全維狀態(tài)觀測器和降為觀測器，對狀態(tài)變 量進(jìn)行了重構(gòu)并給出了利用Matlab仿真結(jié)果及分析；關(guān)鍵詞：倒置板；狀態(tài)反饋；極點配置；狀態(tài)觀測器;目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 緒論41.1倒立擺控制的目的4 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 1.2倒立擺系統(tǒng)的發(fā)展?fàn)顩r4 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 1.3倒立擺系統(tǒng)的實際應(yīng)用5 HYPERLINK l bo

3、okmark41 o Current Document 研究背景5 HYPERLINK l bookmark45 o Current Document 模型的構(gòu)造6 HYPERLINK l bookmark61 o Current Document 模型（被控對象）特性分析7能控性分析8穩(wěn)定性分析8 HYPERLINK l bookmark79 o Current Document 控制方案設(shè)計：10 HYPERLINK l bookmark83 o Current Document 5.1方案一：全狀態(tài)反饋極點配置法10 HYPERLINK l bookmark92 o Current Do

4、cument 5.2方案二：全維觀測器的設(shè)計125.2.1判定系統(tǒng)狀態(tài)的能觀測性135.2.2使用simulink仿真圖：全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖： 15 HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 5.3方案二：降維觀測器的設(shè)計175.3.1能觀性極點配置185.3.2使用simulink仿真圖：全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖： 18結(jié)論分析與心得體會21 HYPERLINK l bookmark138 o Current Document 參考文獻(xiàn)22緒論倒立擺就是這樣一個被控制對象，倒立擺的種類不僅有簡單的單機(jī)倒立擺，而 且有多種形

5、式的倒置裝置，能有效地反映諸如可鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動性以及跟蹤 等許多控制中的關(guān)鍵問題，是檢驗各種控制理論的理想模型。倒立擺系統(tǒng)作為一個 實驗裝置，許多抽象的控制概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)抗干 擾能力等，都可以通過倒立擺直觀的表現(xiàn)出來。并且它形象直觀，結(jié)構(gòu)簡單，構(gòu)件 組成參數(shù)和形狀易于改變，成本低廉；作為一個被控對象，它又相當(dāng)復(fù)雜，就其本 身而言，是一個高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強耦合系統(tǒng)，只有采取行之有 效的控制方法方能使之穩(wěn)定。1.1倒立擺控制的目的小車和擺組成的系統(tǒng)在受到干擾后，小車處于軌道的中心位置，擺桿將保 持垂直位置不倒。旋轉(zhuǎn)倒立擺控制的目的是系統(tǒng)受到干擾后

6、，擺桿在垂直位置倒 立不倒。平面倒立擺控制目的是系統(tǒng)受到干擾后，在XY平臺上擺桿能夠豎立穩(wěn)定 而不倒，達(dá)到動態(tài)平衡狀態(tài)。倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價值，對其控制研究是控制領(lǐng) 域研究的熱門課題之一，國內(nèi)外的專家學(xué)者對此給予了廣泛的關(guān)注。1.2倒立擺系統(tǒng)的發(fā)展?fàn)顩r上世紀(jì)50年代，麻省理工學(xué)院(MIT)機(jī)電工程系的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射 助推器原理設(shè)計出一級倒立擺實驗裝置。1966年Schaefer和Cannon應(yīng)用Bang Bang控制理論將一個曲軸穩(wěn)定于倒置 位置。1976年，Mori etc.首先把倒立擺系統(tǒng)在平衡點附近線性化，利用狀態(tài)空間 方法設(shè)計比例微分控制器實現(xiàn)了一級倒立擺

7、的穩(wěn)定控制。1993年，Wiklund等人應(yīng)用基于李亞普諾夫的方法控制了環(huán)形一級倒立擺。1997年，Gordillo比較了LQR方法和基于遺傳算法的控制方法，結(jié)論是傳統(tǒng)控 制方法比遺傳算法控制效果更好。總之，倒立擺系統(tǒng)是檢驗各種控制算法、研究控制理論很有效的實驗設(shè)備。目前應(yīng)用在倒立擺上的算法主要有以下幾類：(1)經(jīng)典控制理論：PID控制。通過對倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺 系統(tǒng)的動力學(xué)模型，設(shè)計PID控制器實現(xiàn)控制。(2)現(xiàn)代控制理論：狀態(tài)反饋。通過對倒立擺系統(tǒng)物理模型的分析，建立系 統(tǒng)的動力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài) 反饋，實現(xiàn)對倒立擺的控制。常見的方

8、法有：極點配置，狀態(tài)反饋控制全 維觀測器和降為觀測器來觀測。1.3倒立擺系統(tǒng)的實際應(yīng)用倒立擺的控制方法在軍工,航天和機(jī)器人領(lǐng)域有廣泛的用途，另外其控制方法和 思路在處理一般工業(yè)過程中亦有廣泛的用途。機(jī)器人行走類似倒立擺系統(tǒng)，而機(jī)器 人的關(guān)鍵技術(shù)至今仍未很好解決，倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定與空間飛行器控制和各類伺服 平臺的穩(wěn)定有很大相似性，也是日常生活中所見到的任何重心在上、支點在下的控 制問題的抽象。因此，倒立擺機(jī)理的研究具有重要的應(yīng)用價值，成為控制理論中很 重要的研究課題。研究背景單倒置擺系統(tǒng)的原理圖，如下圖1所示。設(shè)擺的長度為L、質(zhì)量為m，用鉸鏈安 裝在質(zhì)量為M的小車上。小車由一臺直流電動機(jī)拖動，在

9、水平方向?qū)π≤囀┘涌刂?力u，相對參考系位移2。若不給小車施加控制力，則倒置擺會向左或右傾倒，因 此，它是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)?？刂频哪康氖?，到倒置擺無論出現(xiàn)向左或者向右傾倒 時，通過控制直流電動機(jī)，使小車在水平方向運動，將倒置擺保持在垂直位置上。圖1單倒置擺系統(tǒng)的原理圖模型的構(gòu)造為了簡化問題，工程上往往忽略一些次要因素。本例中，忽略擺桿質(zhì)量、 執(zhí)行電動機(jī)慣性以及擺軸、輪軸、輪與接觸面之間的摩擦力及風(fēng)力。如圖6-2對系 統(tǒng)進(jìn)行受力分析：設(shè)小車瞬時位置為倒置擺出現(xiàn)的偏角為6，則擺心瞬時位置 為（z +1sin6 ）。在控制力u的作用下，小車及擺均產(chǎn)生加速度運動，根據(jù)牛頓第二定 律，在水平直線運動方向

10、的慣性力應(yīng)與控制力u平衡，則有 TOC o 1-5 h z d2 zd2M+ m（z +1 sin 6 ） = u（ 1）dt 2dt2艮口（M + m）z + ml6cos6 - ml62 sin6 = u由于繞擺軸旋轉(zhuǎn)運動的慣性力矩應(yīng)與重力矩平衡，因而有 HYPERLINK l bookmark49 o Current Document d 2八m （z +1 sin6） l cos6 = mgl sin6 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document _ dt 2_ HYPERLINK l bookmark58 o Current Document

11、艮口zcos6 +16cos26 -162 sin6 cos6 = g sin6（2）式（1）、式（2）兩個方程都是非線性方程，需作線性化處理。由于控制的目的 是保持倒置擺直立，因此，在施加合適u的條件下，可認(rèn)為6、6,均接近零， 此時sin6部，cos6 5。且可忽略6,20項，于是有（3）y = 10 0ok(8b)式中x = z_， z66 fr假定系統(tǒng)參數(shù)M=1 kg,m= 0.1kg,g=10m/ s 2，則狀態(tài)方程中參數(shù)矩陣為10 1 0 01 0 :A =0 0 1 0,u1，c =(L 0 0 0)(9)0 0 0 10k 0 0 11 0 J1k J(4)聯(lián)立求解式（3）、（

12、4），可得z 一竺 6 + -1 u MM6= （M (4)聯(lián)立求解式（3）、（4），可得z 一竺 6 + -1 u MM6= （M + m1 由MlMl消去中間變量6，可得到輸入量u、輸出量為z的系統(tǒng)微分方程為z（4）- （M + m）g z = -1 u-里u M Ml、擺的角位置e及角速度。作為狀態(tài)變量，(5)(6)Ml選區(qū)小車的位移z及其速度z(7)為輸出變量并考慮恒等式及式（5）、式（6）,可列出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為100 )10、0mg 01Mx +M00100(M + m) g01Ml)kM J(8a)模型（被控對象）特性分析作為被控制的倒置擺，當(dāng)它向左或向右傾倒時，能否通過控

13、制作用使它回復(fù) 到原直立位置？首先進(jìn)行其能控性的分析：4.1.能控性分析根據(jù)能控性的秩判據(jù)，并把式（9）的有關(guān)數(shù)值代入該判據(jù)，可得rankM = rank (b Ab A 2 b A 3 b) = 4利用MATLAB仿真即可得該矩陣的秩等于4,仿真過程如下:根據(jù)秩判據(jù)得到單倒置擺的運動狀態(tài)有上述仿真可知道，當(dāng)矩陣M為滿秩， 時可控的。換句話說，這意味著總存在一控制作用u，將非零狀態(tài)x轉(zhuǎn)移至零。根據(jù)秩判據(jù)得到單倒置擺的運動狀態(tài)4.2.穩(wěn)定性分析由單倒置擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程，可求出其特征方程I人/ A| =人2 (人2 11) = 0解得特征值為0,0,Ti,-。4個特征值中存在一個正根，兩個零根，這

14、說明單 倒置擺系統(tǒng)，即被控系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，采用MATLAB對被控對象進(jìn)行仿真，如下 圖所示為倒擺沒有添加任何控制器下四個變量的單位階躍響應(yīng)。冒 F: at labvorknZ01. 口回區(qū)IFile Edi t Text Cell Tols Debug Desktop Window 口回區(qū)I芽S #4 fT 目幻 Base- figure (? Number Tit le? 3 7 off? 3 ? Name?, ? 1E?)；- A= 0, 10, 0, ;0, 0,-1,0; 0, 0, 0, 1 ; 0, 0, 11,0;4 - sys l=ss (Aj bj c, d);5 - t =

15、 0: 0. 01: 3 ;y s=step (syslj t);subplot 2j 1) ;plot (tj k 1) ; grid-slabel (? t (s)? ) ;ylabel (? k (t)? ) ; t it le (? z?);subplot 2j 2) ;plot (tj k 2) ; grid;-slabel (? t (s)? ) ;ylabel (? k (t)? ) ; title (? z的微分);一 mubolcit (N.2.3) :口:grid王茂正rinlx王茂正File E di t Vi ew Insert Tools Desktup Windij

16、w Help200 :-/312間8的微分芽9暑鼠A爐 宅 E 200 :-/312間8的微分-1000 L -1000 L 0-4000 L 0-1000 -2000-300012間如圖可知，由于倒立擺系統(tǒng)在不加任何反饋時階躍響應(yīng)下四個變量使得系統(tǒng) 不穩(wěn)定，不能到達(dá)控制目的，必須對被控系統(tǒng)進(jìn)行反饋綜合，使4個特征值全部 位于根平面s左邊的適當(dāng)位置，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定工作并達(dá)到良好動、靜態(tài)性能 的要求，為此，本文提出了兩種主要的反饋綜合方案?？刂品桨冈O(shè)計:5.1方案一：全狀態(tài)反饋極點配置法取狀態(tài)變量z、z、e、0為反饋信號，狀態(tài)控制規(guī)律為u - v -kx（12）假設(shè) k =（k k k k）式

17、中，k0 k3分別為z、z、e、0反饋至參考輸入v的增益。則閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x = （A - bk）x + bv不妨假設(shè)期望閉環(huán)極點為-1，-2, -1+0.5i,-1-0.5i利用MATLAB仿真如下：由可求得:File Edi t Vi ew Siirnilati on Format Tools Help I芽9辱File Edi t Vi ew Siirnilati on Format Tools Help I芽9辱I君電峪I令*令I(lǐng)口 厄廣同M3 圖邕函覆瞳I(xiàn)阿國彩進(jìn)行運行的結(jié)果如下所示Sope、Socpel、Socpe2、Scope3的運行結(jié)果顯示如下:如仿真圖可知，單倒置擺

18、的全狀態(tài)反饋為穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)。觀察仿真曲線：單位 階躍的作用下，輸出變量逐漸趨于某一常數(shù)，狀態(tài)變量0則是逐漸趨于0。當(dāng)參 考輸入v單位階躍時，狀態(tài)向量在單位階躍的作用下相應(yīng)逐漸趨于穩(wěn)定，這時擺 桿回到原始位置（即0 =0），小車也保持穩(wěn)定（即z二某一常數(shù)）。如果不將4個 狀態(tài)變量全用作反饋，該系統(tǒng)則不能穩(wěn)定。5.2方案二：全維觀測器的設(shè)計為實現(xiàn)單倒置擺控制系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋，必須獲取系統(tǒng)的全部狀態(tài)，即z、力、0、。的信息。因此，需要設(shè)置z、力、0、&的四個傳感器。在實際的工程系 統(tǒng)中往往并不是所有的狀態(tài)信息都是能檢測到的，或者，雖有些可以檢測，但也 可能由于檢測裝置昂貴或安裝上的困難造成難于獲取

19、信息，從而使?fàn)顟B(tài)反饋在實 際中難于實現(xiàn)，甚至不能實現(xiàn)。在這種情況下設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，解決全維狀態(tài)反饋的實現(xiàn)問題。5.2.1判定系統(tǒng)狀態(tài)的能觀測性將式（9）中的數(shù)值代入能觀測性秩判據(jù)，得:rankN = rank C t Atc t (A t ) 2 c t (A t ) 3 c t )由MATLAB中的由MATLAB中的obsv（A,c）命令來求秩，可得秩為4。由秩判據(jù)，可見被控系統(tǒng)的4個狀態(tài)均是可觀測的，即意味著其狀 態(tài)可由一個全維（四維）狀態(tài)觀測器給出估值。其中，全維觀測器的運動方程為x = （A - GC）x + Bu + Gy式中G =（g 0 研 g 2 g 3）T全維觀測器已G配

20、置極點，決定狀態(tài)向量估計誤差衰減的速率。設(shè)置狀態(tài)觀察器的期望閉環(huán)極點為-1，-2, -2+i,-2-i。由于最靠近虛軸的希望閉環(huán)極點為-2,這意味著任一狀態(tài)變量估計值至少以e-規(guī)律衰減。由MATLAB可求的出G過程如下：對 MATLAB匚|回區(qū)1File Edi t Debug Desktop Window Help芽若sc警寸國tF: matlShortcuts How to Add _? WhatJ e New WZ21-1.0000-1.9000 -25.0000-6.9000王茂正03File Edi t Vi ew Insert. Tools Desktop Window Help滲

21、口昌 惇毆&聊 ?？谔?024810-1 024810為實現(xiàn)單倒置擺控制系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋，必須獲取系統(tǒng)的仝部狀態(tài)，即刁z、 ）、苛的信息。因此35設(shè)置-Z、：、6、孑的四個傳感器。在實際的工程系統(tǒng)中往往并不是所有的狀態(tài)信息都是能檢測到的或者，雖有些可以檢測,但也 可能由于檢測”裝置昂貴或安裝上的困難造成難于獲取信息，從而使?fàn)顟B(tài)反饋在實 示 態(tài)L2.E于實現(xiàn)，甚至不能實現(xiàn)不這 普的實現(xiàn)問題。-角：simulrnk;IU下設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，解決全維狀11真圖：全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖:ScopeTime個系數(shù)為零時，式（6-14）所示特征多項式或是缺項，或是系數(shù)值小于零，由穩(wěn) 定的代數(shù)

22、判據(jù)可以看出，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。如果/Time個系數(shù)為零時，式（6-14）所示特征多項式或是缺項，或是系數(shù)值小于零，由穩(wěn) 定的代數(shù)判據(jù)可以看出，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。如果/應(yīng)將漸近地衰減至零，這時擺桿和小車都會回到它的初始位置，即二0 狀態(tài)變量全用作反饋，該系統(tǒng)則不能穩(wěn)定，例如令k0k3的5.3方案二：降維觀測器的設(shè)計由于單倒置擺控制系統(tǒng)中的小車位移，可由輸出傳感器測量，因而無需估計， 可以設(shè)計降維(3維)狀態(tài)的觀測器。通過重新排列被控系統(tǒng)狀態(tài)變量的次序， 把需由降維狀態(tài)觀測器估計變量與輸出傳感器測得的狀態(tài)變量分開，也就是說， 將z作為第四個狀態(tài)變量，則按照被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出方程

23、可變換為：z0 -z0 -1 0 0d00 0 10 dt0=0 11 0 0z10 0 0zz1 一o00+-1L z _0u簡記為x 1x1- 2x 1x1- 2ii1221222二式中f X 1 -_11 X2|0Aii011120|0Aii011120-1x2 x2 = z = y, A =1 0故單倒置擺三維子系統(tǒng)動態(tài)方程為0A22 = 0, b2 = 0, = 1,dtLo-1 0-zdtLo-1 0-zT0 10+011 00-1000uzz，= G 0 0)o0 _使用MATLAB對其的觀測性檢查，結(jié)果是客觀的。因為降維狀態(tài)觀測器動態(tài)方程 的一般形式為W = (A11 hA J

24、 “ +匡沖 + (Aii - hAM + A12 hA 22 y人 . 一 -X = w + hy式中，h =虬 h1 J。使用MATLAB可求出降維狀態(tài)觀測器特征多項式為XI - (A 11 - hA21)| = b + h0人2 + (-11 - h)X + (Uh。- h2)5.3.1能觀性極點配置設(shè)期望的觀測器閉環(huán)極點為-3，-2土i，則由MATLAB仿真可得，F(xiàn) ： atl-2座-101-7-92 h =-92如上所示，由MATLAB設(shè)期望的觀測器閉環(huán)極點為-3，-2土i，則由MATLAB仿真可得，F(xiàn) ： atl-2座-101-7-92 h =-92如上所示，由MATLAB可得，h

25、0=7, 所以可得降維觀測器的動態(tài)方程為h =-28，atlabvorknZ30. m寸 UTLABrilnllxW = 2801 巧 + 0 + 104 y92 11 0-1336人X人XwX =1_ y _=0+7-28-9215.3.2使用simulink仿真圖：全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖：使用降維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的的單倒置擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。I3叵I區(qū)I10.971Gain 12Gs.in13Gsin14IntegratorIntegra toriS-copeGain2IntegratorZGainlGsin4GsinSGainSGain7Gain 11Interat

26、orfilntegrstor&Soope4Gin 15GsinW100%ode45File Edi t Vi ew Simulati on Format Tools Help |由19昌普阻喧I3叵I區(qū)I10.971Gain 12Gs.in13Gsin14IntegratorIntegra toriS-copeGain2IntegratorZGainlGsin4GsinSGainSGain7Gain 11Interatorfilntegrstor&Soope4Gin 15GsinW100%ode45File Edi t Vi ew Simulati on Format Tools Help |由19昌普阻喧J牛*令I(lǐng)。以|卜叵日Gain 10 4 -A GainEGain1 Gain5 23 I ntegf3tDr4gal一三11圖邕囹考圜IH囹腐密 flZSl *Scope3Scope2Scopel點擊Sart,雙擊擊Scope得到如下圖