流變學(xué)第二章精品課件

1、流變學(xué)第二章第1頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四第2頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四第3頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四實(shí)際材料發(fā)生地變形和受力情況是復(fù)雜的，要找出其應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系十分困難。因此，在流變學(xué)中采用一些理想化的實(shí)驗(yàn)，使形變能準(zhǔn)確定義和分析。這種理性化的實(shí)驗(yàn)被稱為簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)。在簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)中，材料是均勻的，各向同性的，而材料被施加的應(yīng)力而發(fā)生形變也是均勻和各向同性的。下面討論在這些簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)中的形變的定義。實(shí)際物體的形變往往是這些簡(jiǎn)單形變的復(fù)雜組合。高分子液體流動(dòng)中發(fā)生的主要形變方式有剪切、拉伸、壓縮及其組合。第4

2、頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四 簡(jiǎn)單剪切形變物體內(nèi)一些平行平面彼此作相對(duì)移動(dòng)，相對(duì)移動(dòng)的大小與平面間距成比例，移動(dòng)方向與平面平行。 圖矩形材料經(jīng)簡(jiǎn)單剪切變?yōu)榈捉菫?0-的平行四邊形，矩形內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)P（X1，X2，X3）位移到平行四邊形中的P(x1，x2，x3）點(diǎn)位置， 其位置矢量由X變?yōu)閤。由圖可以導(dǎo)出簡(jiǎn)單剪切形變的描述方程：第5頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四均勻拉伸形變 發(fā)生均勻拉伸形變時(shí)，物體在一個(gè)或幾個(gè)坐標(biāo)軸方向經(jīng)歷均勻伸縮。若三個(gè)坐標(biāo)軸方向都有伸縮形變，則形變可由如下方程描寫 式中1、2、3 稱為拉伸比，可為常數(shù)或時(shí)間t 的函數(shù)，

3、的值可以作為拉伸形變的一種度量。 第6頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四假定在拉伸形變過程中材料的體積保持不變，則有圖給出兩種典型的拉伸形變過程。 a表示一維拉伸形變，其形變度量可記為：11,2=3=1/0.5 ;b表示二維拉伸形變，材料在x2 x3 兩個(gè)方向受到拉伸，形變度量記為： 21, 31, 1=1/23第7頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四各向同性膨脹和壓縮在各向同性膨脹中，任何形狀的試樣都變?yōu)閹缀涡螤钕嗨频叽巛^大地試樣。形變度量記為： 11 ，21, 31各向同性壓縮中，任何形狀的試樣都變?yōu)槌叽巛^小的試樣。形變度量記為： 11 ，2

4、 1, 31若1=2=3，則表明物體經(jīng)歷均勻膨脹或壓縮；第8頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四（二）流動(dòng)與變形新的描述a、所謂物體的形變實(shí)際上可視為該物體在不同時(shí)刻，在空間占有不同位形（也稱構(gòu)型）的相互比較。若選擇物體的原形為參考位形，而以后的一系列時(shí)刻中，物體在空間分別占有一系列不同的位形，那么可以認(rèn)為，選擇任一時(shí)刻物體的位形與參考位形對(duì)比，就是對(duì)物體形變的描述。b、所謂物體流動(dòng)在一個(gè)時(shí)間序列中，對(duì)物體位形連續(xù)變化的描述。第9頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四C、流動(dòng)與變形新描述的特點(diǎn)是一種與時(shí)間有關(guān)的大變形有限形變 形變時(shí)間進(jìn)程中，這種形變描

5、述始終是針對(duì)同一材料元的。 由于粘彈性材料的力學(xué)松弛行為，這種跟蹤十分必要，因?yàn)楫?dāng)一個(gè)材料元經(jīng)歷有限形變時(shí)，它對(duì)于固定原點(diǎn)的坐標(biāo)位置會(huì)發(fā)生變化，而以往用固定坐標(biāo)定義的形變度量已失去了意義。第10頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四關(guān)于參考位形的選擇，必須指出固體和液體的差別。 對(duì)固體而言，它有原始形狀，一般取原始位形作為參考位形。 而液體無(wú)原始形狀，因此人們只能根據(jù)現(xiàn)在時(shí)刻其占據(jù)的位形加以區(qū)別，故一般選現(xiàn)在時(shí)（t）的位形為參考位形，反回去討論以往時(shí)刻（t）的形變情形。第11頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四（三）形變梯度張量 設(shè)在時(shí)刻t1， t2物

6、體分別占有空間位形1、位形2;在t1時(shí)刻物體內(nèi)的任一線元d X,在t2時(shí)刻占據(jù)的空間位置變?yōu)閐 x,則定義t1-t2 時(shí)刻間，物體內(nèi)發(fā)生的形變梯度為：第12頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四F形變梯度張量，這是一個(gè)二階張量。用分量式展開來(lái)寫，記為： 一般來(lái)說(shuō)， F一個(gè)非對(duì)稱張量，這一性質(zhì)決定了F不是形變的恰當(dāng)度量。 原因：一個(gè)好的形變度量應(yīng)該具有無(wú)形變時(shí)度量不變的性質(zhì)，但F在剛體的純轉(zhuǎn)動(dòng)中（此時(shí)并無(wú)形變發(fā)生）也會(huì)發(fā)生變化。從應(yīng)力張量的性質(zhì)看，應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量都是對(duì)稱張量，由此可見與其相對(duì)應(yīng)的形變度量也應(yīng)該是對(duì)稱張量。第13頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)

7、15分，星期四 簡(jiǎn)單剪切形變 圖矩形材料經(jīng)簡(jiǎn)單剪切變?yōu)榈捉菫?0-的平行四邊形，矩形內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)P（X1，X2，X3）位移到平行四邊形中的P(x1，x2，x3）點(diǎn)位置， 其位置矢量由X變?yōu)閤。由圖可以導(dǎo)出簡(jiǎn)單剪切形變的描述方程：第14頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四均勻拉伸形變 發(fā)生均勻拉伸形變時(shí)，物體在一個(gè)或幾個(gè)坐標(biāo)軸方向經(jīng)歷均勻伸縮。若三個(gè)坐標(biāo)軸方向都有伸縮形變，則形變可由如下方程描寫 第15頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四F形變梯度張量，這是一個(gè)二階張量。用分量式展開來(lái)寫，記為： 一般來(lái)說(shuō)， F一個(gè)非對(duì)稱張量，這一性質(zhì)決定了F不是形變的恰

8、當(dāng)度量。 原因：一個(gè)好的形變度量應(yīng)該具有無(wú)形變時(shí)度量不變的性質(zhì)，但F在剛體的純轉(zhuǎn)動(dòng)中（此時(shí)并無(wú)形變發(fā)生）也會(huì)發(fā)生變化。從應(yīng)力張量的性質(zhì)看，應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量都是對(duì)稱張量，由此可見與其相對(duì)應(yīng)的形變度量也應(yīng)該是對(duì)稱張量。第16頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四（四）、Cauchy-Green形變張量和Finger形變張量 F構(gòu)成一些新的張量，這些張量是對(duì)稱張量，它們能正確的描述有限形變。這些張量有Cauchy-Green形變張量，定義為： 式中FT為F的轉(zhuǎn)置張量 第17頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四Cauchy-Green張量分量式記為：利用了

9、張量的性質(zhì) 第18頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四Finger形變張量，定義為：F-1為F的逆張量 利用了張量的性質(zhì) 第19頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四Finger張量分量式記為：注意Cauchy 張量與Finger 張量不是有限應(yīng)變的等值度量。Cauchy張量與Finger張量的不同之處在于其定義不同，形象地說(shuō)：第20頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四例1 簡(jiǎn)單剪切形變中形變張量簡(jiǎn)單剪切形變：x1=X1+X2tg,x2=X2,x3=X3根據(jù)定義，形變梯度張量為：求逆矩陣的方法：用定義，當(dāng)AB=E(或BA=E)且A

10、,B為方陣時(shí)，有A-1=B用伴隨矩陣用初等變換法第21頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四第22頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四形變張量分別記為：可以看出，F(xiàn)確實(shí)為非對(duì)稱張量，而C和C-1 均為對(duì)稱張量，后者具有無(wú)形變時(shí)度量不變的性質(zhì)。第23頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四例2 均勻拉伸形變中形變張量均勻拉伸形變：x1=1X1, x2=2X2,x3=3X3根據(jù)定義得到：第24頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四第25頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四第26頁(yè)，共39頁(yè)，202

11、2年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四三、速度梯度 在流動(dòng)過程中，與流體應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)的更重要物理量，往往不是形變的大小，而是形變進(jìn)行的速率，它與流動(dòng)場(chǎng)中的速度梯度密切相關(guān)。第27頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四速度梯度張量定義：設(shè)在某一瞬時(shí)位形，流體內(nèi)的流動(dòng)速度場(chǎng)為v，如下： 速度矢量v和位置矢量x 都應(yīng)是同一瞬時(shí)位形中的物理量。分量式記為 第28頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四速度梯度張量L 一般為非對(duì)稱張量，按張量性質(zhì)，一個(gè)非奇異的二階張量總可以分解成一個(gè)對(duì)稱張量與一個(gè)反對(duì)稱張量之和。于是可以將L寫成：式中 其中d為對(duì)稱張量，稱形變率張量

12、，表征了材料形變的速率。為反對(duì)稱張量，稱旋轉(zhuǎn)速率張量，與材料的形變無(wú)關(guān)。第29頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四例1 簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)中的形變率張量簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)，一律取x1方向?yàn)榱鲃?dòng)方向，X2方向?yàn)樗俣忍荻确较?，第三個(gè)方向X3為中性方向。簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)的速度場(chǎng)為：式中稱剪切速率，單位為s-1x1x3x2第30頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四由此得速度梯度張量：分解L得到形變率張量d和旋轉(zhuǎn)速率張量分別為：可以看出，d為對(duì)稱張量，為反對(duì)稱張量。第31頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四例2 均勻拉伸流場(chǎng)中的形變率張量 在纖維紡絲、薄

13、膜吹塑等工藝過程以及在一切流道截面積有變化的流場(chǎng)中都有強(qiáng)烈的拉伸流動(dòng)存在。第32頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四在拉伸流場(chǎng)中流體的速度方向與速度梯度的方向是相同的，流體的速度方向?yàn)閤1方向，而速度的梯度方向也同樣在x1方向，v1只是x1坐標(biāo)的函數(shù)， v1=v1（x1）。第33頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四一維單軸拉伸流場(chǎng)。設(shè) x1方向?yàn)槔旆较?，速度?chǎng)：v1=v1（x1）模仿簡(jiǎn)單剪切流場(chǎng)，拉伸速率同樣用速度梯度定義，為第34頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四對(duì)于不可壓縮流體, 若在第1方向受到拉伸, 則必然在第2、3

14、方向被反拉伸，而且第2、3方向是對(duì)等的，因此有v2=v30。按不可壓縮流體的連續(xù)性方程有： 即有由此得：說(shuō)明在一維拉伸流場(chǎng)中， 材料元只受到拉伸形變，不發(fā)生旋轉(zhuǎn)。第35頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四二維雙軸拉伸流場(chǎng)。設(shè)x1,x2 為拉伸方向，速度場(chǎng)為需要定義兩個(gè)方向的拉伸速率 由此得到速度梯度張量和形變率張量為：第36頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四這是拉伸流場(chǎng)與剪切流場(chǎng)的本質(zhì)區(qū)別，剪切流場(chǎng)中，速度與速度梯度的方向相互垂直；拉伸流場(chǎng)中，速度與速度梯度的方向相互平行。稱二維等幅拉伸流動(dòng) 稱二維不等幅拉伸流動(dòng) 第37頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)15分，星期四思考題一、解釋下列名詞1、震凝性流體 2、偏應(yīng)力張量 3、Weissenberg效應(yīng) 二、填空題1、流變學(xué)是研究材料 及 的科學(xué)，遵從 定律的液體稱為牛頓流體，遵從 定律的固體稱為胡克彈性體。2、按Cauchy應(yīng)力定律，平衡時(shí)，物體所受的合外力與合外力矩均等于零，因此單位立方體平衡時(shí)剪切應(yīng)力分量Tij= (i,j=1,2,3)。若靜止液體內(nèi)只有法向應(yīng)力，無(wú)剪切應(yīng)力，則應(yīng)力分量Tij= (ij