流體運動學(xué)精品課件

1、流體運動學(xué)第1頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四26.用分析的方法將流體運動速度分解為平移變形速度以及旋轉(zhuǎn)角速度；建立旋渦運動與無旋運動的概念并引入速度勢函數(shù)。3-1 研究流體運動的兩種方法流體質(zhì)點(particle)體積很小的流體微團(tuán)。5. 引入流函數(shù)的概念兩個基本概念：流體就是由這種流體微團(tuán)連續(xù)組成的。3-1兩種研究方法第2頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四3同上 流體微團(tuán)在運動的過程中，在不同的瞬時，占據(jù)不同的空間位置。空間點: 空間點僅僅是表示空間位置的幾何點，并非實際的流體微團(tuán)?？臻g點是不動的，而流體微團(tuán)則是運動的。同一空間點，在某一瞬時為

2、某一流體微團(tuán)所占據(jù)，在另一瞬時又為另一新的流體團(tuán)所占據(jù)。也就是說，在連續(xù)流動過程中，同一空間點先后為不同的流體微團(tuán)所經(jīng)過。第3頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四4拉格朗日法研究流體運動的兩種方法一、拉格朗日（Lagrange)法（質(zhì)點法） 始終跟隨每一個流體質(zhì)點，研究其在運動過程中的位置、有關(guān)物理量（速度、壓力、密度等）的變化規(guī)律。第4頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四5同上拉格朗日變量：（，）（，）（，） 設(shè)任意時刻，任意一個流體質(zhì)點的空間坐標(biāo)為,z，則以a,b,c標(biāo)認(rèn)的流體質(zhì)點在0時刻所對應(yīng)的位置, x,y,z應(yīng)該是a,b,c和時間的函數(shù)，即第5

3、頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四6同上其速度和加速度為：第6頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四7二、歐拉法(Euler)（空間點法） 歐拉法不跟蹤流體質(zhì)點，而著眼于選定的空間點，空間點在不同的時刻為不同的流體質(zhì)點所占據(jù)。研究與流動有關(guān)的物理量。流動物理量是空間坐標(biāo)，以及時間的函數(shù)。 例如流體質(zhì)點的速度(velocity)、壓力(pressure)和密度(density)可表示成歐拉變量如下:第7頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四8同上xx（，）yy（，）zz（，） （，） （，）AB第8頁，共97頁，2022年，5月20日，1

4、1點7分，星期四9加速度(accleration) ：單位時間內(nèi)流體質(zhì)點 的速度變化率：加速度的矢量試:第9頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四10同上從而歐拉法表示的加速度在直角坐標(biāo)系中為：第10頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四11局部導(dǎo)數(shù)) :變位導(dǎo)數(shù)1） : 局部導(dǎo)數(shù)，在固定空間點處， vx隨時間變化而引起的加速度,又叫“局部加速度”。 它是在同一時間，在空間不同點處速度不同而引起的加速度，又叫“對流加速度”。討論問題：1)什么情況下只有局部加速度？局部=當(dāng)?shù)貙α?遷移=位移第11頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四12討論

5、思考ABAB2.什么情況下只有位移加速度？3.什么情況下兩部分加速度都有？4. :稱為流體的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)第12頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四13同上流體的其它物理量都可以寫為質(zhì)點導(dǎo)數(shù)的形式:例如:第13頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四143-2 幾個基本概念一、定常運動與非定常運動1. 定常流動(steady flow) 在任意固定空間點處，所有物理量均不隨時間而變化的流動。即有2.非定常流動(non-steady flow)在流場某點處有物理量隨時間變化.第14頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四15定常運動與坐標(biāo)的選取有關(guān)第

6、15頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四16 0均勻流動與非均勻流動1. 均勻流動所有物理量均不隨空間位置而變化的流動。即有2.非均勻流動在流場中有物理量隨空間位置變化. =0第16頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四17二、軌跡線(path line)1.定義：連續(xù)時間內(nèi)流體質(zhì)點在空間經(jīng)過的曲線稱為軌跡線。它的著眼點是個別流體質(zhì)點，因此它是與拉格朗日法相聯(lián)系的。2. 特點：軌跡線上各點的切線方向表示的是同 一流體質(zhì)點在不同時刻的速度方向。第17頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四18軌跡線的方程式 3. 軌跡線的方程式 ： 一條跡線

7、：一個流體質(zhì)點在一段時間內(nèi)描述的路徑。給定速度分布積分上式可得跡線方程。t3t4AAAAAAt1t2t5ts第18頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四19三、流線(stream line)定義：流場中這樣一條連續(xù)光滑曲線：它上 面每一點的切線方向與該點的速度矢 量方向重合。 abc流線t1abcaat1+ tt1+ 2t質(zhì)點a的軌跡t=t1的流線第19頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四20視頻：流線-平板層流-begin第20頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四21視頻：流線_球第21頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分

8、，星期四22視頻：流線_機(jī)翼第22頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四232. 流線特點 流線上各點的切線方向所表示的是在同一時 刻流場中這些點上的速度方向，因而流線形 狀一般都隨時間而變。 定常運動，流線的形狀，不隨時間變化，流 體質(zhì)點沿流線前進(jìn)，流線與軌跡線重合。 流線一般不相交 流線不轉(zhuǎn)折，為光滑曲線。 第23頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四243. 流線的微分方程 上述可組成一微分方程組，給定了速度分布。積分可得一族流線，確定積分常數(shù)后可得一條流線。 注意：積分時時間作為參量。(3-13)第24頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分

9、，星期四25例3.1試求：（）時刻流體質(zhì)點的分布規(guī)律；（），時這個質(zhì)點的運動規(guī)律；（）流體質(zhì)點的加速度；（）歐拉變數(shù)下的速度與加速度。例3.1已知拉格朗日變數(shù)下的速度表達(dá)式為： vx=(a+1)et-1 vy=(b+1)et-1、為時流體質(zhì)點所在位置的坐標(biāo)。第25頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四26同上注意到在t=0時，x=a、y=b，即有解（1）C1=-1 C2=-1進(jìn)一步求得流體質(zhì)點的一般運動規(guī)律為:第26頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四27同上t=2時流體質(zhì)點的分布規(guī)律:（2）a=1，b=2的特定流體質(zhì)點，其運動規(guī)律為：（）質(zhì)點的加速度為:

10、第27頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四28同上（4）由質(zhì)點一般運動規(guī)律則拉格朗日變數(shù)與的表達(dá)式為 代入所給的拉格朗日變數(shù)下的速度表達(dá)式，可求得在歐拉變數(shù)下的速度表達(dá)式為第28頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四29同上可進(jìn)一步求得歐拉變數(shù)下的加速度為：第29頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四30例3.6例 3.6 已知流場的速度分布為 xx+t， y-y+t（）1，過點（1, 2）的加速度。解：（1）軌跡線微分方程為:試求：（）0，過點（-1,-1）的跡線；（）0，過點（1,2）的跡線；（），過點（-1，-1）的流線；第30頁，

11、共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四31同上將t0，x=-1，y=-1代入上式得10 20此非齊次常系數(shù)線性微分方程組的通解為1t- 2-t+-故經(jīng)過點(-1,-1)的軌跡線方程為: = -1 =-1消去t后得: x + y = -為一條過點(-1,-1)的直線。第31頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四32同上（） 將0，代入通解得: C1 C2故過點（1，2）的軌跡線方程為: 2et- 3e-t+t-1（）流線微分方程為:積分后得: ln（x+t）=-ln（-y+t）+C 或為 (x+t)（-y+t）=代入t=0，=-，=-1得=-1 則過點(-1,-1

12、)的流線方程為 y=1第32頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四33同上（）加速度公式為所以ax=1+（x+t）（y+t）s2ay=1+（ x+t ）（ y+t ）4ms2第33頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四34例3.7 例3.7 以Lagrange變數(shù)（a，b，c）給出流體的運動規(guī)律為：ae-2t b（1+t）2 z=ce2t（1+t）-2 求：（）流體的速度場；（）過點（1,1,1）的流線；（）過點（1,1,1）的跡線；（）流動是否定常？第34頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四35同上解 （1）流體的速度場為（2）由流線微

13、分方程:即積分時將視為參數(shù)，或令代入上式得：第35頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四36同上積分得 lnx-1=lny+C 或 xy=C當(dāng)x=1，y=1時得 c=1xy=1 Z=1便是t=0，過點（1,1,1）的流線方程（）將t=0和點（1，1，1）代入下式：x=e-2t y=（1+t）2 z=e2t（1+t）-2則軌跡方程為：ae-2t b（1+t）2 z=ce2t（1+t）-2 得 a=1，b=1，C=1第36頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四37同上(）從所求出的速度場知，速度與時間有 關(guān)，故流場為非定常流動。第37頁，共97頁，2022年，5

14、月20日，11點7分，星期四38四、流管和流量(flowrate)-end（1）流管：設(shè)某一瞬時，流場中任封閉曲線C （不是流線），經(jīng)過曲線C的每一點 作出該瞬時的流線，這些流線的組 合形成一個管狀的表面。第38頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四39（2）流量-begin（2）流量：流管的垂直截面，叫“過流斷面” 其面積記為，單位時間內(nèi)通過過 水?dāng)嗝娴捏w積，稱為體積流量 (3-14)第39頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四40（3）平均流速 這是人為定義的一個速度，實際流動中過流斷面上各點的流速是不相等的。(3-15)第40頁，共97頁，2022年，

15、5月20日，11點7分，星期四41五 條紋線 條紋線是曾經(jīng)在不同時刻流過流場中同一點的各流體質(zhì)點軌跡線的端點的連線。 第41頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四42一維，二維與三維流動1. 流動維數(shù)的確定：三維流動: 速度場必須表示為三個方向坐標(biāo)的函數(shù) v=v ( x, y, z, t)或v=v ( r, , z, t) 二維流動: 速度場簡化為二個空間坐標(biāo)的函數(shù) v=v ( x, y, t) 或 v=v ( r, z, t) 一維流動: 速度場可表示為一個方向坐標(biāo)的函數(shù) v=v( x ) 或 v=v ( s )第42頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四

16、432. 常用的流動簡化形式：二維流動：平面流動軸對稱流動(2) 一維流動： 質(zhì)點沿曲線的流動 v=v ( s )流體沿管道的平均速度 v=v ( s )第43頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四443-3 連續(xù)性方程式-連續(xù)性方程式（equation of continuity)一、一元流動（one dimensional flow）的連續(xù)性 方程式對于定常流動即對于不可壓縮流體：或截面積小的地方流速大，截面積大的地方流速小。對于低速氣流可視為不可壓縮流體。(3-17)(3-18)(3-19)第44頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四45二、空間運動的

17、連續(xù)性方程式-end以 x方向為例同理yxzdydzdxA(x,y,z)單位時間內(nèi)密度的變化引起質(zhì)量的增量:化簡后得:(3-21)_第45頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四46同上定常流動不可壓縮流體連續(xù)性方程為 不可壓縮流體，速度分量沿各自坐標(biāo)軸的變化率互相約束，不能隨意變化。在流動過程中形狀雖然有變化，但體積卻保持不變（體積膨脹率為零）。(3-24)(3-25)第46頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四47三、平面極坐標(biāo)系中的連續(xù)方程r代入(3-21)第47頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四48三、平面極坐標(biāo)系中的連續(xù)方程不可

18、壓縮流體=const式中為徑向速度，為圓周切向速度。定常流動(3-27)(3-28)第48頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四49四、柱面坐標(biāo)系中的連續(xù)方程end 、是柱坐標(biāo)，軸上的速度分量。五、球面坐標(biāo)系中的連續(xù)方程 ，是速度在球坐標(biāo)，軸上的分量。(3-29)第49頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四50六、積分形式的連續(xù)性方程流場中取一任意形狀的控制體，其邊界面為控制面。單位時間內(nèi)經(jīng)過邊界流入控制體內(nèi)的凈質(zhì)量為:討論：1. 上式積分結(jié)果若大于零的含義？2.上式積分結(jié)果若小于零、等于零的含義？凈流入質(zhì)量第50頁，共97頁，2022年，5月20日，11點

19、7分，星期四51歐拉型連續(xù)方程式的積分式曲面所圍體積內(nèi)的流體質(zhì)量為: 由于內(nèi)流體既不產(chǎn)生也不消失，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，單位時間內(nèi)流入 面的凈質(zhì)量與體積內(nèi)的質(zhì)量變化率應(yīng)相等，即將上式移項得(3-31)第51頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四52物理意義物理意義：單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增減等于同一時間內(nèi)進(jìn)出控制面的流體質(zhì)量凈的通量(3-31)左端第項使用高斯定理，將其面積分變?yōu)轶w積分得：又將左端第一項的微分符號移入積分號內(nèi)得：第52頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四53歐拉型連續(xù)方程的微分式將上述結(jié)果代入得：因積分域為流場中任取的控制體，故必有：流體

20、無論是理想還是粘性流體，定常還是非定常流動,均勻還是非流動都適用。(3-21)第53頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四543-4 流體微團(tuán)運動的分析流體微團(tuán)的運動形態(tài)：平移旋轉(zhuǎn)變形線變形角變形線變形 平移 轉(zhuǎn)動角變形第54頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四55平面流動平面流動平移 轉(zhuǎn)動 線變形 角變形第55頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四56平行六面體流體微團(tuán)瞬時邊長為dx,dy,dz的平行六面體流體微團(tuán)yxzdydzdxMM1yxdydx 頂點（xdx，ydy，zdz）處速度分量用泰勞級數(shù)展開，略去二階以上小量得:MM1第5

21、6頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四57同上（3-33）以第一式為例，方程右邊作如下變換：第57頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四58同上整理得：同理第二，三方程作變換得：（3-35）第58頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四59各項的物理意義（3-34）其中： 1）x,y、,z的意義 ：點相對于點在向的相對速度BdydxACDDCB六面體在xoy 平面的投影第59頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四60同上 上述兩項使微團(tuán)在與方向產(chǎn)生線變形:點相對于點在向的相對速度dt內(nèi)使向右移動的距離為dt內(nèi)使D向上移動的

22、距離為（1） ：代表流體微團(tuán)沿方向的應(yīng)變率即方向單位長度線段的伸長或縮短變形速度dydxACDDCB六面體在xoy 平面的投影B第60頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四61同上同理可知另外兩個量的物理意義（2） : 方向的應(yīng)變率（3） : 方向的應(yīng)變率第61頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四622)x ,y ,z的物理意義-begin :向速度分量在DC 和AB層間的速度差。 ：向速度分量在B C和AD層間的速度差。速度差使相鄰兩層流體產(chǎn)生剪切變形AB在dt內(nèi)轉(zhuǎn)動的角度為:單位時間內(nèi)AB邊的轉(zhuǎn)角為DdydxACDCBBd1d2第62頁，共97頁，20

23、22年，5月20日，11點7分，星期四63同上同理，AD在dt內(nèi)轉(zhuǎn)角為：單位時間內(nèi)AD邊的轉(zhuǎn)角為所以 : 流體微團(tuán)在平面內(nèi)剪切變形 的平均角速度，或稱剪切應(yīng)變率。同理可證另外兩個量的物理意義，有：第63頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四64同上流體微團(tuán)在xy平面內(nèi)剪切變形的平均角速度，或稱剪切應(yīng)變率。yz平面上剪切應(yīng)變率xz平面上剪切應(yīng)變率第64頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四653）x、y、z的物理意義流體微團(tuán)的平均旋轉(zhuǎn)角速度:單位時間內(nèi)AE的旋轉(zhuǎn)角度。設(shè)dt時間內(nèi)旋轉(zhuǎn)dDdydxACDCBBd1d2EEdaAE:流體微團(tuán)角平分線第65頁，共97

24、頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四66同上微團(tuán)角分線的旋轉(zhuǎn)角速度為：由此可知： 代表流體微團(tuán)繞過點并平行于軸的軸線旋轉(zhuǎn)的平均角速度。DdydxACDCBBd1d2EEda第66頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四67 流體微團(tuán)繞點并平行于軸的軸線旋轉(zhuǎn)的平均角速度。同上同理得另外兩個量的物理意義，三個方向有： 流體微團(tuán)繞點并平行于x軸的軸線旋轉(zhuǎn)的平均角速度。 流體微團(tuán)繞點并平行于y軸的軸線旋轉(zhuǎn)的平均角速度。第67頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四68同上速度向量的旋度，表示微團(tuán)旋轉(zhuǎn)的程度。第68頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分

25、，星期四69流體微團(tuán)的運動流體微團(tuán)的運動由如下三部分： 線變形使六面體微團(tuán)體積擴(kuò)大或縮小，角變形使六面體微團(tuán)的形狀改變。平移運動：速度為（vx，vy，vz）；旋轉(zhuǎn)運動：角速度為（x，y，z）；變形運動：線變形速度（x、y、 z ）和 角變形速度為（x，y，z ） 的剪切變形運動。第69頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四70同上平面流動平移 轉(zhuǎn)動 線變形 角變形第70頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四71同上 將線變形速度x、y、z和角變形速度x，y，z寫成一個標(biāo)量函數(shù)：海姆霍茲速度分解定理可寫成第71頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，

26、星期四723-5 旋渦運動與無旋運動旋渦運動（有旋運動）：流體微團(tuán)有繞著穿過自身軸的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度。無旋運動：流體微團(tuán)除平移和變形以外，本身 沒有旋轉(zhuǎn)，這時轉(zhuǎn)動角速度為零，xyz第72頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四73例3.2 例3.2 假設(shè)流線均為水平直線的均勻流動，速度分布為x0，y。很易驗證xyz，無旋運動.例3.3 平行剪切流動。流場具有拋物線規(guī)律的速度分布容易驗證 xy=0 為有旋運動。V0012yxVmaxh12y十字架第73頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四74例3.4 例3.4 流體像剛體一樣轉(zhuǎn)動，流線是同心圓， 流場各點速度與

27、r成正比，V=r(=const.切向速度，在,y方向的投影為旋轉(zhuǎn)角速度公式即可證得 xy第74頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四75同上 運動有旋，每個流體微團(tuán)作圓周運動的過程中也以角速度自轉(zhuǎn),微團(tuán)的分角線和整個十字架固連在一起，以角速度繞穿過十字架中心的軸而轉(zhuǎn)動。vx0yxU=rrvvy第75頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四76例3.5 例3.5 流體微團(tuán)作圓周運動，速度與半徑成 反比, 如流體中存在旋風(fēng)中心，會帶動 周圍流體運動。流體微團(tuán)切向速度在軸上投影為：xvx0yrvvy第76頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四77同

28、上可以驗證 同理：可見這種流動是無旋運動。第77頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四78一、速度勢函數(shù)無旋運動: 正好是微分 為某個函數(shù)的全微分的充分必要條件：稱為速度勢函數(shù)可得:3-6速度勢函數(shù)與流函數(shù)05第78頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四79速度勢函數(shù)與速度之間關(guān)系勢流：存在速度勢函數(shù)的流動,也稱為勢流。對速度勢求偏導(dǎo)數(shù)就可得到速度。速度勢函數(shù)與速度之間關(guān)系:比較兩式可得代入連續(xù)性方程可得:即稱為拉普拉斯方程第79頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四80二、流函數(shù) 求解拉普拉斯方程 得到速度勢函數(shù) 由速度勢函數(shù)與速度的關(guān)系

29、式求出速度。流函數(shù)存在的條件：只要是連續(xù)的平面流動，不一定無旋，就存在流函數(shù)，還有一些流動也存在流函數(shù)，如可壓縮流體平面運動，不可壓縮流體的空間軸對稱流等。與速度的關(guān)系(3-54)第80頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四81流函數(shù)的性質(zhì)：（）流函數(shù)和流線的關(guān)系。const的曲線和流線重合。平面運動的流線方程式為或?qū)懗?ydxxdy=即 積分后便得 const將與速度的關(guān)系式代入上式得：第81頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四82同上即const為流線方程的解。因此const的曲線和流線重合。注意：流函數(shù)是由連續(xù)性方程引入和定義的，而流線是按速度矢量的

30、方向來定義。任何情況下都存在流線，但流函數(shù)只在少數(shù)幾種情況（平面流動，空間軸對稱流動等）才存在。第82頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四83（）流函數(shù)和流量的關(guān)系 通過任意兩條流線之間(流管)的流量等于此兩流線的流函數(shù)之差值。則3-56圖3-20a第83頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四84證明：B和A:相距為有限距離的兩條流線 即通過兩流線間的流量等于此兩流線的流函數(shù)之差值。第84頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四85（）流函數(shù)和速度勢的關(guān)系 對于平面無旋運動，速度勢和流函數(shù)就同時存在。它們之間的關(guān)系可通過速度投影得到。此關(guān)系

31、式在數(shù)學(xué)中稱為哥西黎曼條件，若知道和中之一，就可通過積分求出另一個。等流函數(shù)線：const的曲線（與流線重合）等勢線：const曲線等勢線和流線互相垂直第85頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四86證明：在const曲線上任取一微元弧長ds（dx，dy）即等勢線與速度垂直 另一方面，流線與速度平行，則等勢線與流線互相垂直，即12，因此，即=const.=const.vxdx+vydy第86頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四87()無旋流動，流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程式end 若所研究的是平面無旋運動，則將速度與流函數(shù)之關(guān)系代入上式，有：即： 說明平面勢流

32、中流函數(shù)和速度勢同時滿足拉普拉斯方程。第87頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四88例3.8 例3.8 已知速度場為求： 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度。 解 （）由旋轉(zhuǎn)角度公式得：第88頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四89例3.9 例3.9 出油管與腔室軸線的夾角，進(jìn)油速度為v，若出油速度等于kv(k為常數(shù)），腔室內(nèi)活塞的移動速度應(yīng)為多大？解：進(jìn)油的體積流量為 出油面積為：出油流量：DDDVKV第89頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四90同上現(xiàn)設(shè)活塞的移動速度為，按連續(xù)性方程有活塞的移動速度為 uv(ksin)第90頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四91例3.11 urxV22例3.11 大圓管半徑為R1,與半徑為R2的小圓管連接，測得大圓管內(nèi)流速分布為k為常數(shù)求：1）大圓管內(nèi)平均流速2）所通過的體積流量3）小圓管內(nèi)平均流速第91頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四92同上解：1）2）3）因得：第92頁，共97頁，2022年，5月20日，11點7分，星期四93總 結(jié)一、內(nèi)容總結(jié) 描述流體運動的方法有兩種：拉格朗日法和歐拉法，在流體力學(xué)中主要采用歐拉法。流體運動連續(xù)方程描述了流體運動時的質(zhì)量守恒律。流體流體