多元多項(xiàng)式環(huán)課件

1、7.9 多元多項(xiàng)式環(huán)第七章 多項(xiàng)式環(huán) 前面介紹了一元多項(xiàng)式的基本性質(zhì)，但是除了一元多項(xiàng)式外；還有含多個(gè)文字的多項(xiàng)式，即多元多項(xiàng)式，如下面簡(jiǎn)單介紹有關(guān)多元多項(xiàng)式的一些概念。設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，是n個(gè)文字，形如（1）的式子，其中是非負(fù)整數(shù)，稱(chēng)為一個(gè)單項(xiàng)式。 如果兩個(gè)單項(xiàng)式中相同文字的冪全一樣，那么它們就稱(chēng)為同類(lèi)項(xiàng)。一些單項(xiàng)式的和就稱(chēng)為n元多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱(chēng)多項(xiàng)式，記為（2） 和一元多項(xiàng)式一樣，n元多項(xiàng)式也可以定義相等，相加、相減、相乘。 相等：如果F上兩個(gè)n元多項(xiàng)式有完全相同的項(xiàng)（或者只差一些系數(shù)為零的項(xiàng)），則稱(chēng)這兩個(gè)多項(xiàng)式是相等的。 相加：F上兩個(gè)n元多項(xiàng)式與 的和指的是把分別出現(xiàn)在這兩個(gè)多項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)的同

2、類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加多得的n元多項(xiàng)式。例如：設(shè)則f與g的和是 相減：設(shè) 把g的系數(shù)都換成各自的相反數(shù)，所得多項(xiàng)式叫做g的負(fù)多項(xiàng)式，記為 這樣定義的多項(xiàng)式的加法和乘法與中學(xué)代數(shù)里多項(xiàng)式的運(yùn)算一致，n元多項(xiàng)式的運(yùn)算滿(mǎn)足以下運(yùn)算律：設(shè)則 （加法結(jié)合律）（加法交換律）（乘法結(jié)合律）（乘法交換律）（乘法分配律）我們把F上一切n個(gè)文字的集合，連同以上定義的加法和乘法叫做F上n個(gè)文字的多項(xiàng)式所成的多項(xiàng)式環(huán)，記作同一元多項(xiàng)式一樣，也可以談?wù)搉元多項(xiàng)式的次數(shù)。設(shè) 稱(chēng)為單項(xiàng)式的次數(shù)， 對(duì)f來(lái)說(shuō)其中系數(shù)不為零的單項(xiàng)式的最高次數(shù)就稱(chēng)為這個(gè)多項(xiàng)式f的次數(shù)，記為 設(shè)f、g是F上兩個(gè)不等于零的n元多項(xiàng)式，則f與g的和與積的次數(shù)與

3、f、g的次數(shù)有如下關(guān)系：1、2、考慮如果有使 而 則稱(chēng)n元數(shù)組先于數(shù)組記為于是對(duì)應(yīng)于的單項(xiàng)式就排在對(duì)應(yīng)于的單項(xiàng)式前面。例如，對(duì)多項(xiàng)式按字典排列法寫(xiě)出來(lái)就是：應(yīng)該注意的是， 把一個(gè)多項(xiàng)式按字典排列法書(shū)寫(xiě)后，次數(shù)較高的項(xiàng)并不一定排在次數(shù)較低的項(xiàng)的前面，例如上面的首項(xiàng)次數(shù)為4，第二項(xiàng)的次數(shù)為6，而 關(guān)于多項(xiàng)式的首項(xiàng)有以下定理，這個(gè)定理在下一節(jié)討論對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式時(shí)將要用到定理 1：數(shù)域F上兩個(gè)非零的n元多項(xiàng)式和 的乘積的首項(xiàng)等于這兩個(gè)多項(xiàng)式首項(xiàng)的乘積。證明：設(shè)的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為為了證明它們的積為fg的首項(xiàng)，只要證明數(shù)組先于乘積中其他單項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的有序數(shù)組就行了。的有序數(shù)組有三類(lèi)：中其他單項(xiàng)式所對(duì)應(yīng) 其中 于

4、是 這證明在乘積fg的首項(xiàng)。推論 1：則 的首項(xiàng)等于每個(gè)的首項(xiàng)的乘積。如果推論 2：如果則 現(xiàn)在回到兩個(gè)n元多項(xiàng)式的乘積的次數(shù)上來(lái)，設(shè)是一個(gè)n元多項(xiàng)式，則稱(chēng)f是一個(gè)k次齊次多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱(chēng)k次齊次。如果中各項(xiàng)都有同一次數(shù)k，例如就是一個(gè)4次齊次多項(xiàng)式。 兩個(gè)齊次多項(xiàng)式的乘積仍是齊次多項(xiàng)式，它的次數(shù)就等于這兩個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)之和。任何一個(gè)m次多項(xiàng)式都可以唯一地表成幾組齊次多項(xiàng)式的和，即是i次齊次多項(xiàng)式，若就是f的一個(gè)i次齊次成分。數(shù)域F上兩個(gè)不等于零的n元多項(xiàng)式的乘積的次數(shù)等于這兩個(gè)多項(xiàng)式次數(shù)的和。定理 2：由推論 2：且是一個(gè)m+s次齊式，其余各項(xiàng)或者等于零，或者是一個(gè)次數(shù)低于m+s的齊式。因此 同一元多項(xiàng)式一樣，F(xiàn)上n元多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)是相同的。對(duì)于數(shù)域F上一個(gè)n元多項(xiàng)式對(duì)F中任意n個(gè)數(shù)如果在中，用代替就得到數(shù)域F中一個(gè)確定的數(shù)，稱(chēng)為時(shí)多項(xiàng)式的值，用來(lái)表示。如果由此一個(gè)n元多項(xiàng)式就確定一個(gè)n元多項(xiàng)式函數(shù)。則數(shù)組叫做的一個(gè)零點(diǎn)。對(duì) 作映射：這個(gè)映射就確定一個(gè)由到F的函數(shù)，稱(chēng)為多項(xiàng)式在 的值。證明思路： 當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立，假設(shè)對(duì)于F上n-1個(gè)文字的多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)結(jié)論成立，現(xiàn)考慮n個(gè)文字的多項(xiàng)式，把