定積分物理應(yīng)用課件

1、 定積分的物理應(yīng)用 復(fù)習(xí)微元法一、非均勻細(xì)桿的質(zhì)量二、變力沿直線所作的功三、液體的側(cè)壓力四、引力問(wèn)題微元法的步驟和關(guān)鍵:復(fù)習(xí)微元法（定積分概念的一個(gè)簡(jiǎn)化）1.將非均勻分布在區(qū)間a,b上的所求總量A分割成分布在各子區(qū)間的局部量 ,.A必須對(duì)區(qū)間a,b具有可加性，即2.關(guān)鍵的一步確定部分量 的近似值,只需考慮任意小區(qū)間x, x+dx上部分量的近似值，小微元d A條3. 對(duì)小微元取定積分條xyo 曲邊梯形 y= f (x) ，x=a, x=b, y=0 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體體積體積元素薄片計(jì)算體積求旋轉(zhuǎn)體體積柱殼法: p286.19abf (x)yx0曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,

2、x=b, y=0 繞 y 軸xdxabyx0 xf (x)dx內(nèi)表面積dV=2 x f (x)dx殼例1.解：03p292.1y二 、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動(dòng)到力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行,求變力所做的功 .在其上所作功微元因此變力F(x) 在區(qū)間 上所作的功為利用常力作功例1. 有一圓錐形儲(chǔ)水池,深15m,口徑20m,尖頭在下,盛滿水, 今將水抽干, 需作功多少？p292.6解:yxO10 15-10如圖建立坐標(biāo)系取任一小區(qū)間x, x+dx，這一薄層水的重力為做功微元斜線方程為做功 例2.半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相

3、同, 從水中取出球, 做功多少(p293.7)解：yx02r選取x為積分變量，其變化區(qū)間0,2r（注意：球比重與水相同，即在水上方的行程中才做功）重力微元：在小區(qū)間x, x+dx上相應(yīng)的球體薄片隨球體離開水面后，在水上方的行程做功微元做功面積為 A 的平板三、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強(qiáng): 當(dāng)平板與水面平行時(shí), 當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就需用積分解決 .平板一側(cè)所受的壓力為 在端面建立坐標(biāo)系.解例1. 建立坐標(biāo)系如圖.解：例2.壓力元四、引力問(wèn)題質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,二者間的引力 :大小:方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力, 則需用積分解決 .小段

4、與質(zhì)點(diǎn)的距離為水平方向的分力元素為注意：引力元的方向各不相同，這些力不能直接按數(shù)量相加，因而也不能直接積分。例2.有一半徑為r 的均勻半圓弧，質(zhì)量為m，求它對(duì)位于圓心處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力。P292.12解：(1)建立如圖的坐標(biāo)系,確定積分變量和積分區(qū)間：0y xr-r設(shè)線密度為 取 為積分變量，則(2) 求微元：對(duì)將 對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)質(zhì)量看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn), 則 對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)質(zhì)量為 0y xr-r它對(duì)單位質(zhì)點(diǎn)的引力微元為由對(duì)稱性知所以有(3) 求定積分：把對(duì)位于圓心處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力表示成定積分計(jì)算得 故圓弧對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為方向從圓心指向半圓弧的中點(diǎn)，即 軸方向. 小結(jié)：1.定積分可以計(jì)算非均勻分布在某區(qū)間的量。微元法-建立所求量的積分表達(dá)式。2.應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須把所求的量適當(dāng)?shù)闹糜谧鴺?biāo)系下，利用以不變代變，以直代曲的思想方法確定出小微元。3.小微元的幾何形