定義1設(shè)X是一離散型隨機(jī)變量其分布列為課件

1、定義1：設(shè)X是一離散型隨機(jī)變量，其分布列為：則隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望為:設(shè)X是一連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布密度為則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為一、一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義2：第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 （一）基本內(nèi)容1（1）設(shè)二維離散隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為p(xi , yj)，則隨機(jī)變量X及Y 的數(shù)學(xué)期望分別定義如下：（2）設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x, y)，則隨機(jī)變量X及Y 的數(shù)學(xué)期望分別定義如下：即：假定級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的.假定積分是絕對(duì)收斂的.二、二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望即：2則定義隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為：（1）設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的概率分布為：三、一維隨機(jī)變量

2、函數(shù)的數(shù)學(xué)期望機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為：則定義隨（2）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為3（1）設(shè)二維離散隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為p(xi , yj)，則隨機(jī)變量函數(shù)g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望如下：（2）設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x, y)，則隨機(jī)變量g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望如下：假定這個(gè)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的.假定這個(gè)積分是絕對(duì)收斂的.四、二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4定義 X 的標(biāo)準(zhǔn)差：定義X 的方差：若X 為離散型隨機(jī)變量，則有若X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，則有方差的計(jì)算公式:定理1推論：有關(guān)方差的定理：六、方差與標(biāo)準(zhǔn)差6定理2：若X與Y 獨(dú)立，推論：七、某些常用分布的數(shù)學(xué)期

3、望及方差二項(xiàng)分布：0 -1分布：幾何分布:均勻分布:指數(shù)分布:Poisson分布7隨機(jī)變量X 的 k 階原點(diǎn)矩：定義1：定義2：X 的k 階中心矩：對(duì)于離散隨機(jī)變量：對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量：對(duì)于離散隨機(jī)變量：對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量：其中k為正整數(shù)。特別的，特別的，八、原點(diǎn)矩與中心矩9 離散型隨機(jī)變量： 連續(xù)型隨機(jī)變量：1、X與Y 的協(xié)方差（或相關(guān)矩）：定義注九、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)定理1 定理2若X與Y 獨(dú)立，則：注 設(shè)X與Y是任兩個(gè)隨機(jī)變量，逆命題不成立。102、X與Y 的相關(guān)系數(shù)定義定理3且定理4定理5如果 X 與Y 獨(dú)立，則反之不成立。即:X 與 Y相互獨(dú)立X與 Y 不相關(guān)11十、切比雪夫不等式與大數(shù)定

4、律1、切比雪夫不等式 2、切比雪夫大數(shù)定律 4、伯努利大數(shù)定律 3、辛欽大數(shù)定律若方差一致有上界獨(dú)立同分布在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，事件 A 的頻率按概率收斂于事件 A 的概率.12解設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品之前已取得的廢品數(shù),則1 一批零件有9個(gè)合格品與3個(gè)廢品，安裝機(jī)器時(shí)從中任取一個(gè)。如果取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差。（二）作業(yè)題略解13所以X 的概率分布列為143 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：求數(shù)學(xué)期望EX與方差DX.令解則164 設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為:求數(shù)學(xué)期望EX與方差DX.解17196 方向盤有整分度 ，如果計(jì)算角度時(shí)是把零頭數(shù)化為

5、最解與標(biāo)準(zhǔn)差。靠近的整分度計(jì)算的，求測(cè)量方位角時(shí)誤差的數(shù)學(xué)期望測(cè)量方位角時(shí)的誤差X207 設(shè)隨機(jī)變量X 服從二項(xiàng)分布B(3,0.4),求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差:解21228 X 的密度函數(shù)為：解239 對(duì)球的直徑做近似測(cè)量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間 內(nèi),求球體積的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)隨機(jī)變量X，Y 分別表示球的直徑和體積，則而10 證明：若隨機(jī)變量X與Y 獨(dú)立，則 證右=2412 N個(gè)人同乘一輛長(zhǎng)途汽車，沿途有n個(gè)車站，每到一個(gè)車站時(shí)，如果沒有人下車，則不停車.設(shè)每個(gè)人在任一站下車是等可能的,求停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解1且服從分布26解2設(shè)Y 表示停車的次數(shù),服從分布二項(xiàng)分布B( n,p )Y則27

6、2914 二維隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域R：（2）數(shù)學(xué)期望E(X)及E(Y)、方差D(X)及D(Y)；及相關(guān)系數(shù)解（1）設(shè)（X,Y）的概率密度其中C 為常數(shù).則服從均勻分布，求：（1）的概率密度；（3）相關(guān)矩上30（2）（3）3115解3216 利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的差大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率.解3317 為了確定事件 A 的概率, 進(jìn)行了10000次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn). 利用切比雪夫不等式估計(jì)：用事件A 在10000次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為事件 A 的概率近似值時(shí), 誤差小于0.01的概率.解設(shè)事件A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 p，在這10000次試驗(yàn)中發(fā)生了X 次,則因此，所求事件

7、的概率為34設(shè)儀器誤差的數(shù)學(xué)期望及方差分別是：18 利用某儀器測(cè)量已知量a 時(shí)，所發(fā)生的隨機(jī)誤差的概率密度在獨(dú)立試驗(yàn)過程中保持不變。設(shè) 是各次測(cè)量的結(jié)果，可否取作為儀器誤差的方差的近似值？解35若系統(tǒng)沒有誤差，即則據(jù)切比雪夫定理的推論，得即36若次品率不大于0.01，則任取200件，發(fā)現(xiàn)6件次品的概率應(yīng)不大于利用泊松定理，取=2000.01=2此概率很小，據(jù)小概率事件的實(shí)際不可能性原理，不能相信該工廠的次品率不大于0.01。解19 從某工廠的產(chǎn)品中任取200件，檢查結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有6件次品，能否相信該工廠的次品率不大于0.01。37（三）其它習(xí)題略解:5,19 帕斯克分布:設(shè)事件A在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)

8、生的概率為 p，進(jìn) 行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，直至事件A發(fā)生r 次為止，需要進(jìn)行的 實(shí)驗(yàn)總次數(shù)的概率分布:解X 表示直到事件A發(fā)生r 次需要進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)總次數(shù)，表示直到事件A發(fā)生第1 次進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，表示事件A發(fā)生第i-1 次后到第i次發(fā)生時(shí)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，則:且相互獨(dú)立,服從幾何分布G(p).求: X 的期望與方差.3815過半徑為R的圓周上任意點(diǎn)作這圓的弦,求這弦的平均長(zhǎng)度.解如圖示:設(shè)T 表示過圓周上定點(diǎn)O所作的弦OA與x 軸的夾角,xLTO2RA則 T 在 上服從均勻分布,設(shè)L 表示所作的弦的長(zhǎng)度,則:L=2RcosTE(L)=E(2RcosT)=3922計(jì)算均勻分布U(a,b)的k階原點(diǎn)矩及k

9、階中心矩.解設(shè)隨機(jī)變量 X U(a,b),則其概率密度:為奇數(shù)為偶數(shù)4026設(shè)是任意 n個(gè)隨機(jī)變量,證明:若相互獨(dú)立,證明:4127X H( n, M, N )設(shè)求:E( X ), D( X ).解則 則n次抽樣共抽到的次品數(shù)為： 且 所以： 表示第i 次抽樣時(shí)取得的次品數(shù),設(shè)01420101434431證明:若不獨(dú)立的隨機(jī)變量滿足條件則對(duì)任意的正數(shù) 恒有證明:由切比雪夫不等式,對(duì)任意的正數(shù) 恒有因概率不能大于1, (馬爾可夫)45補(bǔ)例1:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形區(qū)域:上服從均勻分布,記求(1)U與V的聯(lián)合分布,(2)U與V的相關(guān)系數(shù).解:由題意(X,Y) 的聯(lián)合概率密度:112yx2y

10、= xy= xO如圖示:P(U=0,V=0)=46P(U=0,V=1)P(U=1,V=0)P(U=1,V=1)0101所以(U,V )的聯(lián)合分布:470101因U,V 分別服從“0-1”分布,48例2:設(shè)隨機(jī)變量U 在區(qū)間-2,2上服從均勻分布,隨機(jī)變量: 求(1) ( X, Y ) 的聯(lián)合分布, (2) D(X+Y).由題意隨機(jī)變量U 的概率密度:解:P(X=-1,Y=-1)P(X=-1,Y=1)=P (U-1)=P (U-1,U1)=0P(X=1,Y=-1)=P (U-1,U1)=P(-1-1,U1)=P(U1)=P (U-1,U1)49-11-11所以(X,Y )的聯(lián)合分布:Z=X+Y的

11、概率分布:02P(Z=z)-250例3:解: (1)設(shè) A,B 為隨機(jī)事件,且P(A) = P(B/A)= P(A/B)=發(fā)生不發(fā)生,發(fā)生不發(fā)生令求:(1) (X,Y) 的聯(lián)合分布;(2) X與Y的相關(guān)系數(shù);(3) 的概率分布.P(X=0,Y=0)P(X=0,Y=1)P(X=1,Y=0)P(X=1,Y=1)5101010P(X= )10P(Y= )1(X,Y)的聯(lián)合分布:X的邊緣分布:Y的邊緣分布:2)因X,Y 分別服從“0-1”分布,523)隨機(jī)變量 的可能取值:0,1,2.12P(Z= )053例4:某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為: p (0p1),各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立,當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X ,求X的數(shù)學(xué)期望 E(X)與方差D(X).解:由題意隨機(jī)變量X 的概率函數(shù):54例5:已知甲, 乙兩個(gè)箱子裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品,3件次