二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布課件

1、3.1 二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布一、二維隨機(jī)變量的概念 在射擊時(shí)，彈著點(diǎn)是目標(biāo)上的一個(gè)位置，它與橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)有關(guān)，彈著點(diǎn)受兩個(gè)變量的影響. 在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，出于可靠性的考慮，需要考察構(gòu)件的抗拉力與荷載效應(yīng)，可靠性也受著兩個(gè)變量的影響 與一維隨機(jī)變量類似，一般地我們可定義二維隨機(jī)變量如下：定義3.1 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)， 和 是定義在其樣本空間 上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的向量 稱為定義在樣本空間 上的二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量，簡(jiǎn)記為 、 依次稱為二維隨機(jī)變量 的第1個(gè)分量（或坐標(biāo)）、第二個(gè)分量（或坐標(biāo)） 一般地，設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)， 是定義在其樣本空間 上 n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量，簡(jiǎn)記為

2、， 稱為第 個(gè)分量（或坐標(biāo)）， . 二、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 在研究隨機(jī)向量的概率特征時(shí)，除每個(gè)隨機(jī)變量的概率特征外，還要研究它們的聯(lián)合概率特征：后者可以完全決定前者，但是前者一般不能完全決定后者因此，只研究單個(gè)隨機(jī)變量的分布是不夠的，還必須研究隨機(jī)向量作為一個(gè)整體的聯(lián)合分布 對(duì)于二維隨機(jī)變量， 作為整體的分布稱為二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布 以后, 將（31）中的表達(dá)式簡(jiǎn)記為 顯然，分布函數(shù) 在平面上任意點(diǎn) 處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn) 落在點(diǎn) 左下方的整個(gè)無窮區(qū)域內(nèi)的概率，如圖3.1所示o圖3.1聯(lián)合分布函數(shù)具有下列性質(zhì)由定義3.2和圖3.2易知， 對(duì)任意的（ ），有1. （32）從而, 0 （33

3、）（x2，y2）（x1，y2）（x2，y1）（x1，y1）圖3.2o三、 二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律 與一維隨機(jī)變量的情形類似，我們這里討論的也是離散型和連續(xù)型這兩種類型的二維隨機(jī)變量定義3.3 若二維隨機(jī)變量 的所有可能取值只有有限或可列無限個(gè)，則稱 為二維離散型隨機(jī)變量 顯然，若 是二維離散型隨機(jī)變量，則其分量 和 都是一維離散型隨機(jī)變量. 通常, 我們用聯(lián)合概率分布律（列）定義3.4 設(shè) 是二維離散型隨機(jī)變量，它所有可能的取值為 , ， 則稱 （35）為 的聯(lián)合分布律（列）或聯(lián)合概率分布(Joint Probability Distribution)，簡(jiǎn)稱分布律分布律一般用表格形式

4、表示:（36） 顯然，二維離散型隨機(jī)變量的分布列 滿足：1. （非負(fù)性） 2. （規(guī)范性） （37）其聯(lián)合分布函數(shù)為 （38）四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密 度函數(shù)與一維情形類似，我們有如下定義：定義3.5 設(shè)二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 為，若存在非負(fù)可積函數(shù)， 使得對(duì)于任意實(shí)數(shù) 和 ，有 （39）則稱 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， 稱為 的聯(lián)合概率密度函數(shù)（Joint Probability Density Function）， 簡(jiǎn)稱的概率密度 類似地，的聯(lián)合概率密度函數(shù)具有性質(zhì)（證略）：（1） （非負(fù)性） ；（2） （規(guī)范性） ；（310）（3） 對(duì)于平面上任意可積的區(qū)域 有 ；（311）（4） 若除可數(shù)點(diǎn)外 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù),則 (3-12) 是 的一個(gè)聯(lián)合概率密度函數(shù) 由性質(zhì)（3）知：在幾何上 ，表示空間的一個(gè)