二十世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀課件

1、二十世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀 (第三次數(shù)學(xué)危機(jī)) 二十世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)已經(jīng)不再僅僅是代數(shù)、幾何、分析等經(jīng)典學(xué)科的集合，而已成為分支眾多的、龐大的知識(shí)體系。它的發(fā)展趨勢或特點(diǎn)：（1）更高的抽象性（2）更強(qiáng)的統(tǒng)一性（3）更深入的基礎(chǔ)探討 是二十世紀(jì)上半葉德國乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他在橫跨兩個(gè)世紀(jì)的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進(jìn)了整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)。 希爾伯特( D. Hilbert.David，18621943)，德國數(shù)學(xué)家。 大衛(wèi)希爾伯特，1862年1月23日出生在東普魯士的哥尼斯堡。他一直在家鄉(xiāng)上學(xué)，1885年取得博士學(xué)位，1886年就任哥尼斯堡大學(xué)講師。18

2、88年因?yàn)榻鉀Q了不變式理論中著名的“哥爾丹問題”開始在數(shù)學(xué)界嶄露頭角，1891年他升任副教授，1893年升任教授。1895年，他應(yīng)克萊因之邀，任哥丁根大學(xué)教授，由此開辟了哥丁根大學(xué)的黃金時(shí)代。 一、新世紀(jì)的序幕 1900年8月，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為數(shù)學(xué)問題的著名講演。他的講演是這樣開始的： “我們當(dāng)中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看今后的世紀(jì)里我們這門科學(xué)發(fā)展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數(shù)學(xué)思潮將追求什么樣的特殊目標(biāo)？在廣闊而豐富的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域，新世紀(jì)將會(huì)帶來什么樣的方法和成果？” 希爾伯特在講演的前言和結(jié)束語中，對(duì)各類數(shù)學(xué)問題的意義、源泉和研究方法發(fā)表了許多精辟

3、的見解，而整個(gè)演說的主題，則是他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢而提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問題。這些問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域。一個(gè)世紀(jì)以來，這些問題一直激發(fā)著數(shù)學(xué)家們濃厚的研究興趣。 下面摘錄的是1987年出版的數(shù)學(xué)家小辭典以及其它一些文獻(xiàn)中收集的希爾伯特23個(gè)問題及其解決情況： 1 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 1874年，康托猜測在可列集基數(shù)和實(shí)數(shù)基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛-弗倫克爾集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學(xué)家科亨證明連續(xù)假設(shè)和策梅洛-倫克爾集合論公理是彼此獨(dú)立的。因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛-弗倫克爾公理體系內(nèi)證

4、明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個(gè)意義上已獲解決。 2 算術(shù)公理的相容性 歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發(fā)表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的相容性。 1988年出版的中國大百科全書數(shù)學(xué)卷指出，數(shù)學(xué)相容性問題尚未解決。 3 兩個(gè)等底等高四面體的體積相等問題 問題的意思是，存在兩個(gè)等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對(duì)此問題給出了肯定解答。4 兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問題 此問題提得過于一般

5、。滿足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對(duì)稱距離情況下，問題獲得解決。中國大百科全書說，在希爾伯特之后，在構(gòu)造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進(jìn)展，但問題并未解決。 5.一個(gè)連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個(gè)群的函數(shù)不假定是可微的 。 這個(gè)問題簡稱連續(xù)群的解析性，即：是否每一個(gè)局部歐氏群都有一定是李群？中間經(jīng)馮諾伊曼（1933，對(duì)緊群情形）、邦德里雅金（1939，對(duì)交換群情形）、謝瓦莢（1941，對(duì)可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結(jié)果。 7.某些數(shù)的無理性與超越性 1934年，A.O.蓋爾方德和T.施

6、奈德各自獨(dú)立地解決了問題的后半部分，即對(duì)于任意代數(shù)數(shù)0 ，1，和任意代數(shù)無理數(shù)證明了 的超越性。 8.素?cái)?shù)問題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素?cái)?shù)問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于陳景潤（1966），但離最終解決尚有距離。目前孿生素?cái)?shù)問題的最佳結(jié)果也屬于陳景潤。 孿生素?cái)?shù)問題： 在自然數(shù)列中，若p是素?cái)?shù)，而p+2也是素?cái)?shù)，則謂之具此性質(zhì)的兩個(gè)素?cái)?shù)組合在自然數(shù)列中的出現(xiàn)為孿生素?cái)?shù)。哥德巴赫猜想：(a)任何一個(gè)=6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。 (b) 任何一個(gè)=9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。 9在任意數(shù)域中證明最一般的互反律 該問題已由日本數(shù)學(xué)家高木

7、貞治（1921）和德國數(shù)學(xué)家E.阿廷（1927）解決。10 丟番圖方程的可解性 能求出一個(gè)整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個(gè)丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。 11 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個(gè)問題上獲得重要結(jié)果。12 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去 這一問題只有一些零星的結(jié)果，離徹底解決還相差很遠(yuǎn)。13 不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程 七次方程的根依賴于3個(gè)參數(shù)a、b、c，即x=x

8、（a，b，c）。這個(gè)函數(shù)能否用二元函數(shù)表示出來？蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續(xù)可微函數(shù)的情形（1964）。但如果要求是解析函數(shù)，則問題尚未解決。 14 證明某類完備函數(shù)系的有限性 這和代數(shù)不變量問題有關(guān)。1958年，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜給出了反例。15 舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ) 一個(gè)典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)?，F(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)不密切聯(lián)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)迄今仍未確立。 16 代數(shù)曲線和代數(shù)曲線面的拓?fù)鋯栴} 這個(gè)問題分為

9、兩部分。前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部分要求討論的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和相對(duì)位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式.蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時(shí)極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過3，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的，已由中國數(shù)學(xué)家舉出反例（1979）。 19 正則變分問題的解是否一定解析 對(duì)這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結(jié)果。20 一般邊值問題 這一問題進(jìn)展十分迅速，已成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支。目前還在繼續(xù)研究。21 具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明 已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。22 由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化 它涉

10、及艱辛的黎曼曲面論，1907年P(guān).克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。 但希爾伯特問題未能包括拓?fù)鋵W(xué)、李代數(shù)、黎曼幾何與張量分析、群表示論、微分方程等在20世紀(jì)成為前沿學(xué)科的領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)問題。除數(shù)學(xué)物理外很少涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)。20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了希爾伯特問題所預(yù)示的范圍。 有些問題的研究（如2，10）還促進(jìn)了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)理論的成長。重要的問題歷來是推動(dòng)科學(xué)前進(jìn)的杠桿，但一位科學(xué)家如此自覺、如此集中地提出一整批問題，并如此持久地影響了一門科學(xué)的發(fā)展，這在科學(xué)史上是不常見的。1、更高的抽象 更高的抽象化是20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的主要趨勢或特征之一。這種趨勢，最初主要受到了兩大因素的推動(dòng)。即集合論觀點(diǎn)

11、和公理化方法的應(yīng)用。（1）集合論觀點(diǎn) 19世紀(jì)以來由康托爾所創(chuàng)立的集合論，最初遭到許多數(shù)學(xué)家（包括克羅內(nèi)克、克萊因、龐加萊等）的反對(duì)。但到20世紀(jì)初，這一新的理論在數(shù)學(xué)中的作用越來越明顯，集合概念本身被抽象化了，可以是任意性質(zhì)的元素集合，如函數(shù)的集合、曲線的集合等等。 集合論引起了數(shù)學(xué)中基本概念（如積分、函數(shù)、空間等）的深刻變革。（2）公理化方法 外爾曾說過：“20世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)十分突出的方面是公理化方法所起的作用極度增長，以前公理化方法僅僅用來闡明我們所建立的理論基礎(chǔ)，而現(xiàn)在它卻成為具體數(shù)學(xué)研究的工具。” 現(xiàn)代公理化方法的奠基人是D.希爾伯特，雖然歐幾里得已用公理化方法總結(jié)了古代的幾何知識(shí)，

12、但他的公理體系是不完備的。希爾伯特在1899年發(fā)表的幾何基礎(chǔ)中則提出第一個(gè)完備的公理系統(tǒng)。飛躍一：希爾伯特在幾何對(duì)象上達(dá)到了更深刻的抽象。 如：“點(diǎn)、線、面”已經(jīng)純粹是抽象的對(duì)象，沒有特定的具體內(nèi)容。飛躍二：希爾伯特考察了各公理間的相互關(guān)系，明確提出了對(duì)公理系統(tǒng)的基本邏輯要求，即(1)相容性(3)完備性(2)獨(dú)立性 集合論觀點(diǎn)與公理化方法在20世紀(jì)逐漸成為數(shù)學(xué)抽象的范式，它們相互結(jié)合將數(shù)學(xué)的發(fā)展引向了高度抽象的道路。這方面的發(fā)展，導(dǎo)致了20世紀(jì)上半葉實(shí)變函數(shù)論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)和抽象代數(shù)等具有標(biāo)志性的四大抽象分支的崛起。2、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一化 20世紀(jì)的數(shù)學(xué)一方面越來越分化成許多分支，另一方面則存在

13、著相反的趨勢，即不同學(xué)科相互滲透、結(jié)合的趨勢。 不同分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法相互融合，導(dǎo)致了一系列重大發(fā)現(xiàn)以及數(shù)學(xué)內(nèi)部新的綜合交叉學(xué)科的不斷興起。 如：微分拓?fù)渑c代數(shù)拓?fù)?、整體微分幾何、代數(shù)幾何、多復(fù)變函數(shù)論、動(dòng)力系統(tǒng)、偏微分方程與泛函分析、隨機(jī)分析等等。3、對(duì)基礎(chǔ)的深入探討 19世紀(jì)末，由于嚴(yán)格的微積分理論的建立，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)得以解決。但事實(shí)上，嚴(yán)格的微積分理論是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的，而嚴(yán)格的實(shí)數(shù)論又以集合論為基礎(chǔ)。 集合論似乎給數(shù)學(xué)家們帶來了一勞永逸地?cái)[脫基礎(chǔ)危機(jī)的希望，盡管集合論的相容性尚未解決。但許多人認(rèn)為這只是時(shí)間問題。 在1900年巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，龐加萊高興地

14、指出： “我們最終達(dá)到了絕對(duì)的嚴(yán)密嗎？在數(shù)學(xué)發(fā)展前進(jìn)的每一階段，我們的前人都堅(jiān)信他們達(dá)到了這一點(diǎn)，如果他們被蒙蔽了，我們是不是也象他們一樣被蒙蔽了？如果我們不厭其煩地嚴(yán)格的話，就會(huì)發(fā)現(xiàn)只有三段論或歸結(jié)為純數(shù)的直覺是不可能欺騙我們的。今天我們可以宣稱，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了！” 那時(shí)，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家具有和龐加萊相同的看法，他們對(duì)數(shù)學(xué)所達(dá)到的嚴(yán)密性而歡欣鼓舞。然而就在第二年，英國數(shù)學(xué)家羅素以一個(gè)簡單明了的集合論悖論打破了人們的上述希望，引起了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的新爭論，而由此引發(fā)的爭論稱為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。 對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的更深入探討，以及由此引出的數(shù)理邏輯的發(fā)展是20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的又一大重要發(fā)展趨勢。3.1

15、 集合論悖論（理發(fā)師悖論）羅素的悖論是： 以M表示是它們本身的成員的集合（如一切概念的集合仍然是一個(gè)集合）的集合，而以N表示不是它們本身成員的集合（如所有人的集合不是一個(gè)人）的集合。 現(xiàn)在我們問：“集合N是否是它本身的成員？” 無論從哪種情況，我們都得到矛盾。 羅素悖論的出現(xiàn)不僅否定了龐加萊的“完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了”，而且直接動(dòng)搖了把集合論作為分析基礎(chǔ)的信心。 法國著名邏輯學(xué)家兼數(shù)學(xué)家費(fèi)雷格（Frege,1848-1925）在他剛剛完成的巨著算術(shù)基礎(chǔ)第二卷時(shí)，他接到了羅素的一封信，信中把集合論悖論告訴了他，費(fèi)雷格在第二卷的末尾說： “一個(gè)科學(xué)家不會(huì)碰到比這更令人尷尬的事情了，即在一項(xiàng)工作完成

16、的時(shí)候它的基礎(chǔ)卻在崩潰，當(dāng)這部著作即將付印之際，羅素先生的一封信就使我處于這種境地。” 集合論悖論對(duì)數(shù)學(xué)家們的震動(dòng)是巨大的。它帶來的威脅不只局限于集合論，而是遍及整個(gè)數(shù)學(xué)，甚至還包含邏輯。這就不得不使希爾伯特感嘆道： “必須承認(rèn)，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長久忍受下去的。試想，在數(shù)學(xué)這個(gè)號(hào)稱可靠性和真理性的典范里，每一個(gè)人所學(xué)的、教的和應(yīng)用的那些概念結(jié)構(gòu)和推理方法竟會(huì)導(dǎo)致不合理的結(jié)果。如果甚至數(shù)學(xué)思想也失靈的話，那么應(yīng)該到哪里去尋找可靠性和真理性呢？ 不久，策梅洛（ zermelo,1871-1953 ） 等人進(jìn)一步指出分析中的一些基本概念（如一非空實(shí)數(shù)集的最小上界即上確界等）的

17、定義也都是屬于非直謂定義。因此不僅集合論，而且整個(gè)經(jīng)典分析都包含著悖論。 羅素本人認(rèn)為這類悖論的產(chǎn)生是由于一個(gè)待定義對(duì)象是用了包含該對(duì)象在內(nèi)的一類對(duì)象來定義，這種定義也叫“非直謂定義”。 第一個(gè)集合論公理系統(tǒng)是1908年由策梅洛提出的，后經(jīng)弗蘭克爾改進(jìn)，通過對(duì)集合類型加以適當(dāng)限制（滿足一定的公理），形成了今天常用的策梅洛弗蘭克爾公理系統(tǒng)。這種公理化的集合論達(dá)到了避免羅素悖論的目的。而所加限制使康托爾集合論中對(duì)于開展全部經(jīng)典分析所需要的主要內(nèi)容得以保留。 為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們首先求助于將康托爾以相當(dāng)隨意的方式敘述的樸素集合論加以公理化。 因此龐加萊形象地評(píng)論道：“為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起來

18、了，但不知道圈內(nèi)有沒有狼。” 但策梅洛弗蘭克爾公理系統(tǒng)本身是否保證不會(huì)出現(xiàn)新的矛盾呢？這也是任何公理系統(tǒng)必須解決的相容性問題。但此問題尚無證明。 但數(shù)學(xué)家們對(duì)這一前提陸續(xù)提出了不同的觀點(diǎn)，并形成了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派，它們是：以羅素為代表的邏輯主義、以布勞威爾為代表的直覺主義和以希爾伯特為代表的形式主義。 解決集合論悖論的進(jìn)一步嘗試，是從邏輯上去尋找問題的癥結(jié)。集合論公理化運(yùn)動(dòng)是假定了數(shù)學(xué)運(yùn)用的邏輯本身不成問題。3.2 三大學(xué)派 邏輯主義的基本思想在羅素1903年發(fā)表的數(shù)學(xué)的原理中已有大概的輪廓。羅素后來與懷特里得(Whitehead,1861-1947)合著的三大卷數(shù)學(xué)原理是邏輯主義的權(quán)威

19、性論述。（一）邏輯主義（logicism） 按照羅素的觀點(diǎn)，“數(shù)學(xué)就是邏輯”，全部數(shù)學(xué)可以由邏輯推導(dǎo)出來數(shù)學(xué)概念可以借邏輯概念來定義，數(shù)學(xué)定理可以由邏輯公理按邏輯規(guī)則推出。 即他們的規(guī)劃是： 至于邏輯的展開，則是依靠公理化方法進(jìn)行，即從一些不定義的邏輯概念和不加證明的邏輯公理出發(fā)，通過符號(hào)演算的形式來建立整個(gè)邏輯體系。（1）從少數(shù)的邏輯概念出發(fā)去定義全部、或大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念。（2）從少數(shù)的邏輯法則出發(fā)去演繹全部、或大部分?jǐn)?shù)學(xué)理論。 羅素說：“我一直在尋找的數(shù)學(xué)的光輝的確定性在令人困惑的迷宮中喪失了?！?邏輯主義的企圖沒有實(shí)現(xiàn)，也不可能實(shí)現(xiàn)。最重要的一點(diǎn)是，它隔離了數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的關(guān)系。 邏輯主義的功

20、績：他們相當(dāng)成功地把古典數(shù)學(xué)納入了一個(gè)統(tǒng)一的公理系統(tǒng)，雖然這個(gè)系統(tǒng)不是純邏輯的，但卻是公理化方法在近代發(fā)展中的一個(gè)重要起點(diǎn)。他們還建立了完整的命題演算和謂詞演算系統(tǒng)，完成了從傳統(tǒng)邏輯到數(shù)理邏輯的過度和演變。 直覺主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)不是集合論，而是自然數(shù)。只有建立在這種原始直覺和可構(gòu)造之上的數(shù)學(xué)才是可信的。 直覺主義的先驅(qū)是克羅內(nèi)克和龐加萊。但作為一個(gè)學(xué)派則是荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾（Brouwer,1881-1966）開創(chuàng)的。1907年在他的博士論文論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中搭建了直覺主義數(shù)學(xué)的框架，1912年以后又大大地發(fā)展了這方面的理論。（二）直覺主義（intuitionism） 按照直覺主義者的觀點(diǎn)，實(shí)

21、數(shù)系和微積分理論中的許多定理是不能接受的。 （1）堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象的“構(gòu)造性”定義，是直覺主義哲學(xué)的精粹，按照這種觀點(diǎn)，要證明任何數(shù)學(xué)對(duì)象的存在，必須同時(shí)證明它可以用有限的步驟構(gòu)造出來。因此直覺主義不承認(rèn)僅使用反證法的存在性證明。 把直線上的所有點(diǎn)看成一個(gè)整體，這種對(duì)無限的理解稱為實(shí)無限（即所有的東西都是在一起的，實(shí)在的并且是完成的 無限）；把無限看成一種增加的過程，就象用一個(gè)口袋裝自然數(shù)，裝完一個(gè)，還有許多，永遠(yuǎn)也裝不完。這種對(duì)無限的理解稱為潛無限（即推理的、發(fā)展的、未完成的無限） 。 （2）在集合論中，直覺主義也只承認(rèn)可構(gòu)造的無窮集合（如自然數(shù)列），在無窮觀的問題上徹底采用潛無限，而排斥實(shí)無限

22、。 損失 古典數(shù)學(xué)中大批受數(shù)學(xué)家珍視的東西成為犧牲品：無理數(shù)的一般概念；康托爾的超限數(shù)；在無限多個(gè)正整數(shù)中存在一個(gè)最小數(shù)的定理等等。這引起了很多數(shù)學(xué)家的不安甚至惱怒。 （3）直覺主義關(guān)于有限的可構(gòu)造性的主張導(dǎo)致了對(duì)古典數(shù)學(xué)中普遍接受的“排中律”（非真即假）的否定。對(duì)直覺主義者來說，排中律僅存在于有限集合中，對(duì)無限集合不能使用。 但他們提出的能行性問題具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。他們還正確地指出，數(shù)學(xué)上最重要的進(jìn)展不是通過完善邏輯形式而是通過變革其基本理論得到的，是邏輯依賴于數(shù)學(xué)而不是數(shù)學(xué)依賴于邏輯。 直覺主義因?yàn)榘压诺鋽?shù)學(xué)搞得支離破碎，而且重整數(shù)學(xué)的任務(wù)也非常艱巨，最后也失敗了。（1）邏輯和數(shù)學(xué)中

23、的基本概念和公理系統(tǒng)都是一行行毫無意義的符號(hào)，形式主義者指出，數(shù)學(xué)是關(guān)于形式系統(tǒng)的科學(xué)。 形式主義數(shù)學(xué)觀的核心有兩條：（三）形式主義（formalism）（2）數(shù)學(xué)的真理性等價(jià)于數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相容性，無矛盾性是對(duì)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的唯一要求。 在這里，語句只有邏輯結(jié)構(gòu)而無實(shí)際內(nèi)容，從公式到公式的演繹過程不涉及到公式的任何意義，這是形式主義與邏輯主義的重要區(qū)別。 對(duì)于形式主義者來說，數(shù)學(xué)本身就是形式系統(tǒng)，各自建立自己的概念、自己的公理、自己的推導(dǎo)定理的法則以及各自的邏輯；把這些演繹系統(tǒng)中每一個(gè)發(fā)展起來，這就是數(shù)學(xué)的任務(wù)。 對(duì)于任何形式系統(tǒng)，確定其相容性是形式主義綱領(lǐng)的首要任務(wù)。希爾伯特提出了一整套直接證明形式

24、系統(tǒng)相容性的設(shè)想，這套設(shè)想被稱之為“證明論”或“元數(shù)學(xué)”，它是形式主義綱領(lǐng)的核心。 在1928年的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特非常自信地說：“利用這種新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，人們完全可以稱它為證明論，我將可以解決世界上所有的基礎(chǔ)性問題。”他尤其相信能夠解決相容性問題和完備性問題。 希爾伯特綱領(lǐng)提出后不久，加有若干限制的自然數(shù)論的相容性即獲證明。這使人們感到形式主義綱領(lǐng)為解決基礎(chǔ)危機(jī)帶來了希望。但是，1931年奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾（Godel,1906-1978）證明的一條定理，卻 希爾伯特的形式主義綱領(lǐng)是他早年關(guān)于幾何基礎(chǔ)公理化方法的發(fā)展與深化。他在數(shù)理邏輯基礎(chǔ)（1928）和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1934-1939）中

25、對(duì)形式主義綱領(lǐng)作出了系統(tǒng)的總結(jié)與全面的論述。出乎意料地揭示了形式主義方法的內(nèi)在局限，明白無誤地指出了形式系統(tǒng)的相容性在本系統(tǒng)內(nèi)不能證明，從而使希爾伯特綱領(lǐng)受到了沉重的打擊。這就是著名的“哥德爾不完全性定理”。 哥德爾不完全性定理是數(shù)理邏輯中的一個(gè)定理，1931年年僅25歲的奧地利邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家克爾特.哥德爾(Kurt Godel，1906-1978) 在數(shù)學(xué)物理月刊上發(fā)表了一篇題為論數(shù)學(xué)原理和有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題的論文，論文發(fā)表初期并沒有受到重視，但僅僅過了幾年，這個(gè)定理徹底粉碎了希爾伯特的形式主義理想。 3.3 哥德爾不完全性定理（1）它摧毀了數(shù)學(xué)的所有重要領(lǐng)域能被完全公理化這一強(qiáng)烈的信念； 哥德爾的論文指出了公理化過程的局限性，主要影響