一階動(dòng)態(tài)電路分析課件

1、第 4 章 一階動(dòng)態(tài)電路分析 在日常生活中， 任何車輛啟動(dòng)時(shí)， 車速總是從零開始逐漸上升的， 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后， 才能達(dá)到一定的運(yùn)行狀態(tài)。 車輛的靜止是一種穩(wěn)定狀態(tài)； 車輛的勻速運(yùn)行是另一種穩(wěn)定狀態(tài)。以一種均勻速度行駛過(guò)渡到另一種均勻速度行駛， 就形成不同的穩(wěn)定狀態(tài)。 車輛啟動(dòng)或停止的過(guò)程， 或者更廣泛地說(shuō)， 車輛加速或減速的過(guò)程，則是由一種穩(wěn)定狀態(tài)到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)渡過(guò)程。 電路中也存在類似的過(guò)渡過(guò)程。 前面幾章我們討論的都是電路的穩(wěn)定狀態(tài)， 即電路中的電流和電壓在給定的條件下已達(dá)到某一穩(wěn)定值的狀態(tài)。 本章我們將討論電路由一種穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變到另一種穩(wěn)態(tài)的過(guò)渡過(guò)程。 首先通過(guò)一個(gè)實(shí)訓(xùn)項(xiàng)目來(lái)定性地認(rèn)識(shí)

2、過(guò)渡過(guò)程， 然后再對(duì)過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行定量分析。 實(shí)訓(xùn) 4 簡(jiǎn)易電子門鈴的制作與電路測(cè)試 1 實(shí)訓(xùn)目的 （1） 熟悉電子電路的連接方法； （2） 基本掌握示波器的使用方法； （3） 認(rèn)識(shí)RC動(dòng)態(tài)電路的主要特點(diǎn)； （4） 了解555集成電路的基本功能。 2 實(shí)訓(xùn)設(shè)備、 器件與實(shí)訓(xùn)電路 （1） 實(shí)訓(xùn)設(shè)備與器件：直流穩(wěn)壓電源一臺(tái)，雙通道示波器一臺(tái)，萬(wàn)能板一塊，8揚(yáng)聲器一個(gè)，按鍵一個(gè)，電阻、電容、 導(dǎo)線若干。 （2） 實(shí)訓(xùn)電路與說(shuō)明： 實(shí)訓(xùn)電路如圖4 - 1所示。 圖中555為集成定時(shí)器電路。555定時(shí)器具有如下特點(diǎn)： 當(dāng)它按圖4 - 1的方式將2、6腳連到一起時(shí)，如果連接點(diǎn)的電位高于電源電壓的2/3，則3

3、腳的輸出電壓等于0V，7腳對(duì)地短路，如果連接點(diǎn)的電位低于電源電壓的1/3時(shí)， 則3腳的輸出電壓等于電源電壓，7腳對(duì)地開路。 3 實(shí)訓(xùn)步驟與要求 1） 連接電路按圖在萬(wàn)能板上將電路連接好，注意，IC的引腳及電容C1、C3的極性不要接錯(cuò)。 2） 通電試聽 接通電源（5V），按下按鍵S，此時(shí)，可以聽到揚(yáng)聲器發(fā)出的單一頻率的聲音。松開按鍵，聲音停止。 4） 測(cè)試555第2、 6腳的波形 用示波器通道2輸入探頭的中心頭接555第2、 6腳， “地”與“地”相接。 按下按鍵，此時(shí)，我們可以觀測(cè)到如圖4 - 2（b）所示的鋸齒狀波形。 如將示波器的輸入狀態(tài)設(shè)置為直流，我們可以讀出其幅度最小值約為電源電壓的1

4、/3， 其最大值約為電源電壓的2/3。 在熒光屏上比較通道1與通道2的波形我們可以發(fā)現(xiàn)，鋸齒波的最小值與輸出波形從低電平向高電平過(guò)渡對(duì)應(yīng)，鋸齒波的最大值與輸出波形從高電平向低電平過(guò)渡對(duì)應(yīng)。 4 實(shí)訓(xùn)總結(jié)與分析 1） 音頻信號(hào)產(chǎn)生的原理 從上面的實(shí)訓(xùn)中，我們?cè)趽P(yáng)聲器測(cè)得如圖4 - 2（a）所示的輸出波形，它的頻率恰落在音頻范圍內(nèi)，因此可以推動(dòng)揚(yáng)聲器發(fā)出聲音。我們知道，電路中并沒有音頻信號(hào)源，顯然， 加至揚(yáng)聲器的音頻信號(hào)是電路自己產(chǎn)生的。音頻信號(hào)產(chǎn)生的過(guò)程，涉及到電路的過(guò)渡過(guò)程，我們可以按如下過(guò)程來(lái)定性地理解電路的工作原理。 （1） 從接通電源到C1兩端電壓升高至2E/3。 接通電源后的瞬間，由于

5、電容C1內(nèi)部原先沒有儲(chǔ)存電荷，由物理學(xué)知識(shí)我們知道，其兩端電壓為0。根據(jù)555的性質(zhì)，其3腳電壓等于電源電壓，7腳對(duì)地開路。這以后，電源E要通過(guò)電阻R1與R2對(duì)電容C1充電，使C1兩端電壓升高。當(dāng)C1兩端電壓高于2E/3時(shí)，根據(jù)555的性質(zhì)，其輸出電壓立即跳變至0V，7腳對(duì)地短路。由于7腳對(duì)地短路，電源E無(wú)法再通過(guò)R2對(duì)C1充電，C1兩端電壓不可能再升高。這一段時(shí)間，與圖4 -2中0t1時(shí)間段對(duì)應(yīng)，從（b）圖中，我們可以看到在充電過(guò)程中， 電容器兩端電壓逐漸升高的情況。 （2） 電容C1兩端電壓從2E/3降到E/3。C1兩端電壓升至E/3后無(wú)法再升高，同時(shí)也無(wú)法維持這一電壓值。由于R2上端通過(guò)

6、555第7腳接地，C1要通過(guò)R2對(duì)地放電，電流從C1流出，其兩端電壓隨著放電過(guò)程慢慢降低。當(dāng)C1兩端電壓降至E/3時(shí)， 555輸出電壓立即從0 V跳變至E，7腳對(duì)地開路。由于7腳開路， 電容C1不可能再通過(guò)R2對(duì)地放電， C1兩端電壓不可能再降低。 這一過(guò)程，與圖4 - 2中t1t2時(shí)間段相對(duì)應(yīng)，從（b）圖中，我們可以看到在放電過(guò)程中，電容器兩端電壓逐漸降低的情況。 （3） 充電放電的不斷循環(huán)。 顯然，電路跳變后，電源E又要通過(guò)R1與R2對(duì)C1充電，完成t2t3的過(guò)程，引起電路又一次跳變。然后，C1又通過(guò)R2放電， 如此循環(huán)往復(fù)，形成了輸出波形如圖4 - 2（a）的振蕩。如果圖4 - 2（a）

7、波形的頻率為f， 則它可以分解成許多頻率為nf（n=0, 1, 2, ）的正弦電壓，nf稱為f的諧波，所以，我們把這種振蕩器稱為多諧振蕩器。 2） 決定振蕩周期的因素 在實(shí)訓(xùn)步驟5）與6）中， 改變C1或R1的值，輸出波形的周期發(fā)生了變化。顯然，振蕩周期與它們有關(guān)。從圖4 - 2（b）中我們可以看出，振蕩周期T等于電容充電時(shí)間T1與放電時(shí)間之和。我們還可以看出，充電時(shí)間明顯大于放電時(shí)間。這是因?yàn)椋?充電電流同時(shí)流過(guò)了R1與R2，而放電電流只流過(guò)了R2?？梢宰C明，在電容充放電電路中，電流流經(jīng)的電容與電阻的乘積越大， 其充放電的時(shí)間就越長(zhǎng)。 4.1 RC 放 電 電 路 4.1.1 RC放電電路實(shí)

8、驗(yàn) 電路的穩(wěn)定狀態(tài)可簡(jiǎn)稱為穩(wěn)態(tài)，電路的過(guò)渡過(guò)程可簡(jiǎn)稱為暫態(tài)。通過(guò)實(shí)訓(xùn)4，我們對(duì)電容器的充放電過(guò)程有了定性的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上，我們來(lái)進(jìn)一步討論RC電路的放電過(guò)程。為使我們的認(rèn)識(shí)更加清晰，我們先做個(gè)實(shí)驗(yàn)。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，要用到慢掃描示波器，由于這種示波器熒光屏的余輝時(shí)間特別長(zhǎng)，可以將緩慢變化的電壓或電流波形在屏幕上顯示出來(lái)。 實(shí)驗(yàn)電路如圖4- 3所示。 實(shí)驗(yàn)按如下步驟進(jìn)行。 （1） 將電路連接好。示波器的輸入探頭接在電容器兩端。 打開穩(wěn)壓電源，調(diào)節(jié)輸出電壓至1V。 t=0 時(shí)將開關(guān)S由位置1打到位置2，仔細(xì)觀測(cè)電容器兩端電壓的變化情況。（如果沒有慢掃描示波器，可以用機(jī)械萬(wàn)用表代替示波器觀測(cè)電容兩端的

9、電壓， 以下同）。在這一過(guò)程中，我們可以從示波器中看到如圖4 - 4（a）的波形。一般將之稱為電容器的放電曲線。其形狀與實(shí)訓(xùn)4中我們看到的在t1t2時(shí)間電容器兩端的波形類似。 （2） 將穩(wěn)壓電源電壓調(diào)至2V，重復(fù)步驟（1）過(guò)程。此時(shí)我們可以看到電容器兩端的波形與圖4 - 4（a）中的電容放電曲線形狀相似，但起始點(diǎn)提高。如圖4 - 4（b）所示。 （3） 分別用一個(gè)10F與33F的電容代替原來(lái)的電容，重復(fù)步驟（1）的過(guò)程，在這一過(guò)程中我們可以看到電容器兩端波形發(fā)生變化，電容值為10F時(shí)放電曲線變陡，即放電速度加快；而電容值為33F時(shí)，放電曲線變緩，放電速度放慢。如圖4 - 4（c）中所示。 （4

10、） 分別用一個(gè)51k與150 k的電阻代替原來(lái)的電阻，此時(shí)可見電容放電曲線變化情況與電容值改變時(shí)類似，即電阻值變小時(shí)曲線變陡，放電速度變快；而電阻值變大時(shí)曲線變緩，放電速度變慢。 見圖4 - 4（d）。 從上述實(shí)驗(yàn)中可見：在RC放電過(guò)程中， 電容電壓從某一電壓值， 即某一穩(wěn)態(tài)值開始逐漸衰減，最后變?yōu)榱悖?達(dá)到另一穩(wěn)態(tài)值。 兩個(gè)穩(wěn)態(tài)值中間的變化過(guò)程就是電路的過(guò)渡過(guò)程，當(dāng)改變電容電壓的初始值、電容值及電阻值時(shí)，電容的放電情況會(huì)發(fā)生改變。在分析RC放電過(guò)程時(shí)，我們要從理論上解決上面實(shí)驗(yàn)中反映的如下問(wèn)題： （1） 電容電壓是從何值開始衰減？ （2） 是什么原因引起電容電壓的變化？ （3） 電容電壓按照

11、什么規(guī)律衰減？ （4） 衰減的速度由哪些因素決定？其定量關(guān)系如何？ （5） 放電的最終結(jié)果為什么為零？我們也可以從能量的變化來(lái)闡述電壓連續(xù)變化的原因。因?yàn)殡娙萆蟽?chǔ)存有電場(chǎng)能量，而能量是不能發(fā)生躍變的(能量的躍變需要無(wú)窮大的功率作支撐)，這在實(shí)際中是不可能的。能量只能逐漸被回路中的電阻消耗掉， 這是一個(gè)過(guò)渡過(guò)程， 這是電路中產(chǎn)生暫態(tài)的根本原因。而與能量對(duì)應(yīng)的電容電壓也隨之產(chǎn)生一個(gè)過(guò)渡過(guò)程。在電感中也存在有類似的過(guò)程。當(dāng)有電流流過(guò)電感時(shí)，在電感元件中儲(chǔ)存有磁場(chǎng)能， 。 當(dāng)換路時(shí)，電感中儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能不能躍變，反映在電路中是電感元件的電流iL不能躍變。 電容兩端電壓不能突變，流過(guò)電感的電流不能突變，是

12、分析過(guò)渡過(guò)程的重要定則。 2 RC電路產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的起因 上述電路中產(chǎn)生暫態(tài)的起因，是電路中的開關(guān)動(dòng)作。實(shí)際上， 只要電路條件發(fā)生突然變更，諸如開關(guān)動(dòng)作、電路故障、電路參數(shù)變化及改變電源等，都會(huì)引起電路發(fā)生過(guò)渡過(guò)程。因此我們把產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的起因稱為換路, 把出現(xiàn)暫態(tài)過(guò)程的瞬間稱為初始瞬間，此刻電路的狀態(tài)就是初始狀態(tài)，例如電容電壓的初始狀態(tài)為uC（0），電感電流的初始狀態(tài)為iL（0），從電路方程來(lái)看，這就是初始條件。 3換路定則 設(shè)t=0為換路瞬間，以t=0 表示換路前的終了瞬間，t=0+表示換路后的初始瞬間。0 和0+在數(shù)值上都等于0，但是前者是指從負(fù)值趨近于零，后者是指從正值趨近于零。從t=

13、0 到t=0+瞬間，電容元件上的電壓不能躍變，而電感元件中的電流不能躍變， 這稱為換路定則，用公式表示如下： （4.1）(4.2) 4 動(dòng)態(tài)電路初始狀態(tài)的確定 換路定則僅適用于換路瞬間，可根據(jù)它來(lái)確定t=0+時(shí)電路中電容元件電壓和電感元件電流之值，即瞬態(tài)過(guò)程的初始值。 確定各個(gè)電壓和電流的初始值時(shí)，先由t=0-時(shí)的電路求出iL（0-）或uC(0-)， 由換路定則可求得的iL（0+）或 u(0+)，而后由t=0+的電路，根據(jù)已經(jīng)求得的iL（0+）或 u(0+)求電路中其他電壓和電流的初始值。 例 4.1 確定圖4 - 5(a)所示電路中電流和電壓的初始值。設(shè)開關(guān)閉合前線圈和電容器均未儲(chǔ)能。 解

14、先由t=0_ 的電路得知 由于uC（0+）=0和iL（0+）=0，故可在 t=0+的電路中將電容元件短路，將電感元件開路，如圖（b）所示。于是得出各個(gè)初始值： 由換路定則可得由t=0+的電路圖(b)可知用節(jié)點(diǎn)法求u（0+），即因此 5 RC動(dòng)態(tài)電路的暫態(tài)過(guò)程的規(guī)律 在圖4 - 3所示實(shí)驗(yàn)電路中，當(dāng)開關(guān)S閉合時(shí)，電路處于充電狀態(tài)，且已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，設(shè)t=0瞬間將開關(guān)斷開，電路由電阻及電容構(gòu)成放電回路，根據(jù)基爾霍夫定律，電路電壓方程為 uR+uC=0電容上電壓與電流的關(guān)系為電阻上電壓與電流的關(guān)系為代入式（4.3）有（4.3）(4.4) 式（4.5）和式（4.6）按照指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化，并且，當(dāng)t0

15、時(shí)，uC和iC均趨于零，曲線如圖4 - 7所示。 6暫態(tài)過(guò)程衰減的時(shí)間 由實(shí)驗(yàn)可見，電容放電曲線衰減的速度由電路參數(shù)RC決定。令=RC，它具有時(shí)間的量綱，稱為時(shí)間常數(shù)。若取R的單位為，C的單位為F，則時(shí)間常數(shù)的單位為s。我們以電容電壓為例來(lái)說(shuō)明時(shí)間常數(shù)的意義。 令t=0，則uC（0）=U0e0=U0；再令t=，則uC()=U0e-/=U0e-1=0.368U0，這就是說(shuō)經(jīng)過(guò)時(shí)間=RC之后， 電壓下降到初始值的36.8%。同樣可以算出當(dāng)t=2, 3, 時(shí)的電壓值，將計(jì)算結(jié)果列入表4-1中。t0uC(t)U00.368U00.135U00.05U00.018U00.007U00 由此可見, 從理論

16、上講需要經(jīng)歷無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間，暫態(tài)過(guò)程才能結(jié)束，但實(shí)際上只要經(jīng)過(guò)35的時(shí)間，電壓（電流）已衰減到可忽略不計(jì)的程度，此時(shí)可以認(rèn)為暫態(tài)過(guò)程已經(jīng)結(jié)束。這也說(shuō)明了時(shí)間常數(shù)越大，暫態(tài)過(guò)程持續(xù)的時(shí)間就越長(zhǎng)。圖4 - 8畫出了 3 條不同時(shí)間常數(shù)的電壓曲線。 因?yàn)闀r(shí)間常數(shù)=RC，所以時(shí)間常數(shù)只與電路參數(shù)有關(guān)， 而與電路的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。R、C的值越大，時(shí)間常數(shù)越大，放電時(shí)間越長(zhǎng)。這可從物理概念來(lái)解釋：在一定初始電壓之下，電阻R越大，放電電流就越小，也就是電荷釋放過(guò)程進(jìn)行得越緩慢；而電容C越大，在同樣初始電壓U0之下，電容器原先所儲(chǔ)存的電荷q(0)=CU0就越多，因此放電的時(shí)間也就要長(zhǎng)一些。 目前，我們研究的電路中只

17、含有一個(gè)儲(chǔ)能元件，描述這類電路的方程，是一階微分方程，所以稱為一階電路。 在電路中產(chǎn)生電壓和電流的起因稱為激勵(lì)，由激勵(lì)產(chǎn)生的電壓和電流稱為響應(yīng)。動(dòng)態(tài)電路中起激勵(lì)作用的有兩種：一是外加獨(dú)立源來(lái)激勵(lì)，一是電感元件或電容元件內(nèi)部初始儲(chǔ)能的釋放， 即靠初始狀態(tài)來(lái)激勵(lì)。我們把由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)，本節(jié)上面討論的便是由電容的初始儲(chǔ)能引起的零輸入響應(yīng)。 例 4.3 圖4 - 9中，電路原處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)，開關(guān)由1打到2，經(jīng)過(guò)2ms時(shí)間，電容電壓達(dá)到初始值的36.8%，問(wèn)電路中電容器的電容值是多少？ 此時(shí)電容中儲(chǔ)存的電荷是多少？ 解 因?yàn)閠0時(shí)，電路處于穩(wěn)態(tài)，所以u(píng)C（0 ）=16=6V。 在

18、t=0時(shí)開關(guān)由1打到2， 由換路定則有上式兩邊同時(shí)除以6， 再兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)所以此時(shí)電容中儲(chǔ)存的電荷為 t0，電路是電容放電電路，其放電電壓為由題意可知t=2ms時(shí)， 4.2 RC 充 電 電 路 上一節(jié)我們討論了電路由電容電壓初始值引起的響應(yīng)零輸入響應(yīng)，本節(jié)我們將討論電路在零初始條件下，即初始值為零時(shí)，由外加激勵(lì)引起的響應(yīng)，這種響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。 下面我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)討論RC充電電路中的過(guò)渡過(guò)程。 4.2.1 RC充電電路實(shí)驗(yàn) RC充電實(shí)驗(yàn)電路如圖4 - 10所示。 在該實(shí)驗(yàn)中電容器事先未被充電， 開關(guān)合上后電源通過(guò)電阻為電容充電。實(shí)驗(yàn)步驟如下： （1）按照電路接線。將示波器輸入探頭接在電容

19、上。打開直流穩(wěn)壓電源，將電壓調(diào)到1V合上開關(guān)，用慢掃描示波器觀察電容電壓的波形。由示波器可見電容電壓波形如圖4 11(a）所示，這就是電容器的充電曲線，該曲線從零開始，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值，即電源電壓。 （2）將電源電壓調(diào)到2V，重復(fù)步驟（1）。由示波器觀察電容電壓波形，發(fā)現(xiàn)其波形與圖4 - 11（a）的充電波形形狀基本相同，但是充電結(jié)束后的電壓值增加。波形如圖4 - 11（b）所示。 （3） 分別用0.01F與0.03F的電容代替原來(lái)的電容，重復(fù)步驟（1）。此時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)電容值越小，充電完成越快，反之電容越大充電越慢。改變電容值對(duì)應(yīng)的曲線如圖4-11（c）所示。 （4） 分別用

20、5.1k與15 k電阻代替原來(lái)的電阻，重復(fù)步驟（1），可得圖4 - 11（d）所示的電容電壓波形。由波形可見，電阻的大小同樣影響了電容充電的快慢，電阻越小，充電越快；反之，電阻越大充電越慢。 4.2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié) 由上面實(shí)驗(yàn)我們討論以下兩個(gè)問(wèn)題。 1. RC充電的物理過(guò)程 在RC充電過(guò)程中，電容電壓在開關(guān)閉合之前為零，即 uC（0 ）=0。當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)K閉合，電路與直流電源接通形成回路，于是電源開始向電容充電。在t=0+瞬間，由于 uC（0+） = uC（0 ）=0，電容上還來(lái)不及累積電荷，所以此時(shí)可以認(rèn)為電容處于短路，而此時(shí)電源電壓全部加在電阻上，使電路中的充電電流最大，為iC（0+

21、）=Us/R。以后隨著時(shí)間的延續(xù)，電容上開始逐步積累電荷，電容電壓uC =q/C逐步上升，電阻上電壓uR=UsuC逐步減小，所以電路中的電流 iC=（Us-uC ）/R也逐步減小。當(dāng)電容上電荷積累到最大值時(shí)， uC = Us，達(dá)到最大，充電電流iC=0，這時(shí)充電過(guò)程結(jié)束，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)。 這一充電過(guò)程的速率仍然決定于電路的時(shí)間常數(shù)=RC。 R越大，充電電流越小，則充電時(shí)間越長(zhǎng)；而C越大，電容器儲(chǔ)存的電荷越多，充電過(guò)程越長(zhǎng)。 充電結(jié)束后電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)，此時(shí)充電電流為零，電容相當(dāng)于開路。 充電過(guò)程的實(shí)質(zhì)，就是將電源提供的能量逐漸以電場(chǎng)能的形式儲(chǔ)存于電容器中。 2. RC電路充電過(guò)程的定量分析 首先

22、根據(jù)基爾霍夫電壓定律列出圖4 - 10所示電路t0 時(shí)的電壓方程:(4.8)(4.9)式（4.9）是一階線性常系數(shù)非齊次方程，電路的初始條件為uC（0）=0。常系數(shù)非齊次微分方程的通解，是由兩部分組成的。 一個(gè)是它的特解u/C(t)， 一個(gè)是補(bǔ)函數(shù)，即非齊次微分方程令其右端項(xiàng)為零時(shí)所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解u”C(t)。 所以(4.10) 1） 求非齊次方程的特解 因?yàn)樘亟馀c激勵(lì)有相同的形式，所以，設(shè)特解為uC（t）=A， 代入式（4.10），有式中，第一項(xiàng)是常數(shù)取導(dǎo)數(shù)為零， 故得即（4.11）（4.12） 因此，特解等于電源電動(dòng)勢(shì)。它是電路在電源作用下達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)電容電壓的穩(wěn)態(tài)值，稱為穩(wěn)態(tài)分量

23、。又因?yàn)榇私馐窃谕饧与娫磸?qiáng)制作用下得出的，它隨時(shí)間變化的規(guī)律與電源的形式相同， 故又稱為強(qiáng)制分量。 2） 求補(bǔ)函數(shù)令式(4.9)中Us為零，即得齊次微分方程：（4.13）此方程與式（4.4）完全相同，其解也應(yīng)與（4.5）式相同，即(4.14)式中p是特解方程RCp+1=0的根， 即因此， 補(bǔ)函數(shù)為(4.15)(4.16) 由上面這一解答可以看出， t，uC(t) 0，即補(bǔ)函數(shù)只存在于暫態(tài)過(guò)程中，所以稱為暫態(tài)分量。它的變化規(guī)律與電源電壓的變化規(guī)律無(wú)關(guān)， 只按指數(shù)規(guī)律衰減，故又稱為自由分量。但這一分量的起始值與電源電壓有關(guān)，衰減的快慢與電路參數(shù)及結(jié)構(gòu)有關(guān)。 3） 求常系數(shù)非齊次微分方程的解 充電過(guò)

24、程中電容電壓的全解，即常系數(shù)非齊次微分方程的通解，等于強(qiáng)制分量uC(t)和自由分量u”C(t)之和，即（4.17）式中積分常數(shù)K可根據(jù)已知初始條件來(lái)確定。現(xiàn)在已假設(shè)初始狀態(tài)為零狀態(tài)，故t=0時(shí)有(4.18)所求電壓uC隨時(shí)間的變化曲線如圖4 - 12（a）所示。 uC不隨時(shí)間變化，是一條與時(shí)間軸平行的直線，u”C按指數(shù)規(guī)律衰減而趨于零。兩者疊加得電容電壓uC的曲線是從零開始逐漸增加達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)，即電源電壓值。 3） 求常系數(shù)非齊次微分方程的解 充電過(guò)程中電容電壓的全解，即常系數(shù)非齊次微分方程的通解，等于強(qiáng)制分量 和自由分量 之和，即(4.17) 式中積分常數(shù)K可根據(jù)已知初始條件來(lái)確定。現(xiàn)在已假

25、設(shè)初始狀態(tài)為零狀態(tài)，故t=0時(shí)有于是解出K=-Us，代入（4.17）式有(4.18)所求電壓uC隨時(shí)間的變化曲線如圖4 - 12（a）所示。UC不隨時(shí)間變化，是一條與時(shí)間軸平行的直線， 按指數(shù)規(guī)律衰減而趨于零。兩者疊加得電容電壓uC的曲線是從零開始逐漸增加達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)，即電源電壓值。 電路中電流為(4.19)電阻上的電壓為(4.20) 圖4 - 12（b）中給出的就是充電電路中各電壓和電流隨時(shí)間變動(dòng)的曲線。 由圖可見，當(dāng)t=0+時(shí)，uC（0+）=0，故在初始瞬間電容器相當(dāng)于短路，輸入電壓全部加在電阻R上，電流從零突變?yōu)閕（0+）=Us/R。隨著時(shí)間的推移，由于電容器不斷充電，電容電壓逐漸上升，

26、而電流逐漸減小。當(dāng)t=時(shí)，電容電壓uC（）=Us，輸入電壓全部加在電容器上，而電阻電壓變?yōu)榱?，電路中的電流i（）=0，充電停止。此時(shí)電容器相當(dāng)于開路，于是電容電壓不再變化，電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)。 顯然， 在同一個(gè)電路中，uC、uR 和i在充電過(guò)程都是按同一時(shí)間常數(shù)的指數(shù)規(guī)律變化的。RC充電電路的時(shí)間常數(shù)=RC的大小決定了充電過(guò)程的快慢。一般認(rèn)為t=(35）， 電容充電過(guò)程結(jié)束，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，這時(shí)電容電壓的穩(wěn)態(tài)值為Us。所以，在實(shí)驗(yàn)中我們通過(guò)改變電路參數(shù)，來(lái)改變充電的快慢。 例 4.4 如圖4 - 13所示電路中，電源電壓Us=12V，電容C=28F，電阻R=20k。 當(dāng)t=0 時(shí), 開關(guān)S閉合，問(wèn)

27、電容電壓從0V上升到10V需要多少時(shí)間？此時(shí)電容儲(chǔ)存的能量是多少？解 此電路為初始狀態(tài)為零的RC充電電路，電容電壓的表達(dá)式其中設(shè)t=t1時(shí)，有uC（t1）=10V， 所以兩邊同時(shí)除以Us兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)代入數(shù)值解得此時(shí)電容儲(chǔ)存的能量是 4.3.1 微分電路與積分電路實(shí)驗(yàn) 1. 實(shí)驗(yàn)電路 微分電路如圖4-14所示，積分電路如圖4 - 15所示。由兩個(gè)電路可見，雖然微分電路與積分電路都是RC組成的電路，但是在微分電路中輸出電壓取自電阻電壓，而積分電路輸出電壓取自電容電壓。另一方面，與前幾節(jié)討論過(guò)的動(dòng)態(tài)電路相比，電路中的電源也有所不同，在微分電路與積分電路中是以一系列矩形脈沖作為激勵(lì)，矩形脈沖的幅值為

28、Um=4V，脈沖頻率為f=200Hz。 4.3 微分電路與積分電路 微分電路與積分電路在實(shí)際中應(yīng)用是很廣泛的。例如，除了用來(lái)進(jìn)行微分和積分計(jì)算以外，在數(shù)字電路中經(jīng)常應(yīng)用微分電路進(jìn)行波形變換，將方波變換成尖脈沖， 然后去驅(qū)動(dòng)觸發(fā)器；積分電路可用作示波器掃描電路或作為模-數(shù)轉(zhuǎn)換器等。為了加深對(duì)微分電路和積分電路的認(rèn)識(shí)，首先我們來(lái)做實(shí)驗(yàn)。 2. 實(shí)驗(yàn)步驟 （1） 把示波器一組輸入探頭接到信號(hào)源的輸出上，打開信號(hào)源，將信號(hào)源調(diào)為方波輸出，用示波器觀察信號(hào)源的輸出波形，并將信號(hào)調(diào)為幅值為Um=4V，頻率為f=200Hz的方波，方波如圖4 - 16（a）所示。其中tp稱為脈沖寬度。 （2） 若圖4-14中

29、的電阻為500k，電容為0.03F，將調(diào)好的方波信號(hào)加到圖4-14所示微分電路的輸入端，用示波器的另一組輸入探頭觀察電阻上的波形，可見電阻上的波形與方波信號(hào)幾乎相同，如圖4-16（b）所示。改變電路參數(shù)，使電阻為10k，電容為0.03F，再用示波器觀察電阻電壓波形， 我們可以見到一系列的尖脈沖，如圖4 - 16（c）所示。由此可見同一個(gè)電路， 當(dāng)參數(shù)不同時(shí)，輸出的波形大不一樣，兩種情況在實(shí)際電路中都有廣泛的應(yīng)用。 （3） 積分電路中電阻為500k，電容為0.03F；方波源的幅度與頻率不變，加到積分電路的輸入端，用示波器觀察電容電壓的波形如圖4-17所示。由波形可見，積分后的輸出電壓波形為鋸齒波

30、，而且其幅度被大大減低。 4.3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析與計(jì)算 1 微分電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析 在微分電路實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)脈沖寬度不變，而取不同的參數(shù)時(shí)， 輸出電壓波形有很大差別。這是因?yàn)楫?dāng)=RCtp時(shí)，電容還來(lái)不及充上很多電荷，方波脈沖已經(jīng)結(jié)束，在整個(gè)脈沖寬度中方波電壓幾乎全部加在電阻上，所以電阻電壓與方波信號(hào)近似相等。此時(shí)電路是一般的阻容耦合電路。當(dāng)時(shí)間常數(shù)與脈沖寬度之比/tp逐漸變小，使得=RCtp時(shí)，電容上很快充上電荷， 即電容電壓很快達(dá)到方波幅值，而電阻電壓則從零躍變到方波幅值，然后迅速衰減到零，形成尖脈沖。若外加信號(hào)是一系列方波，則電阻電壓就是一系列正負(fù)尖脈沖，如圖4- 16（c）所示。這種輸出正

31、負(fù)尖脈沖反映了輸入矩形脈沖的躍變部分，是對(duì)矩形脈沖微分的結(jié)果。因此這種電路稱為微分電路。構(gòu)成微分電路應(yīng)具備如下條件： 從電阻端取得輸出信號(hào)； 電路參數(shù)滿足tp。 2微分電路的計(jì)算 我們通過(guò)例題來(lái)討論微分電路的分析與計(jì)算。 例 4.5 在圖4 - 14電路中，R=20k, C=100pF。輸入信號(hào)電壓u1是單個(gè)矩形脈沖，如圖4 - 18（a）所示，其幅值U=6V，脈沖寬度tp =50 s。試分析和作出電壓u2的波形。設(shè)電容元件原先未儲(chǔ)能。 解 =RC=2010310010-12=210-6=2s，是輸入電壓脈沖寬度的1/25，所以tp。 在t=0時(shí)，u1從零突然上升到6V，即u1=U=6V，開始

32、對(duì)電容元件充電。由于電容元件兩端電壓不能躍變，在這瞬間它相當(dāng)于短路（uC =0），所以此時(shí)電壓全部加在電阻上, u2 =U=6V。因?yàn)閠p，相對(duì)于tp而言，充電很快完成，uC很快增長(zhǎng)到U值；與此同時(shí)，u2很快衰減到零值。這樣，在電阻兩端就輸出一個(gè)正尖脈沖，如圖4-18（b）所示。u2的表達(dá)式為(4.21) 在t=t1時(shí)，u1突然下降到零（這時(shí)輸入端不是開路，而是短路）。由于uC不能躍變，所以在這瞬間u2 = -uC = -U = -6V， 極性與前相反。而后電容元件經(jīng)電阻很快放電，很快衰減到零， 電阻上電壓同樣也很快衰減到零。這樣，電阻上就輸出一個(gè)負(fù)尖脈沖， 如圖4-18（b）所示。u2 的表

33、達(dá)式為 比較上例中u1和u2的波形，可見：在u1的上升躍變部分（從零躍變到6 V），u2 =U=6V，此時(shí)正值最大；在u1的平直部分，u20；在u1的下降躍變部分（從6V躍變到零），u2= -U = -6V，此時(shí)負(fù)值最大。所以輸出電壓u2與輸入電壓u1近似成微分關(guān)系。 如果輸入的是周期性矩形脈沖，則輸出的是周期性正負(fù)尖脈沖，如圖4 - 16（c）所示。 上述的微分關(guān)系也可以從下面的數(shù)學(xué)推導(dǎo)看出。 由于u2， 因而 上式表明， 輸出電壓u2近似地與輸入電壓u1對(duì)時(shí)間的微分成正比。 (4.22) 3 積分電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析與計(jì)算 積分電路的條件與微分電路的條件相反。 積分電路的條件為： 輸出信號(hào)從