2023屆高三數(shù)學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)一輪大題專練7-導(dǎo)數(shù)（構(gòu)造函數(shù)證明不等式1）

1、2023屆高三數(shù)學(xué)一輪大題專練7導(dǎo)數(shù)（構(gòu)造函數(shù)證明不等式1）1已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：解：（1），時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增時(shí)，令，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明：當(dāng)時(shí)，要證明：，即證明，令，令，解得；令，解得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，（e）令，令，解得；令，解得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，（2），即，也即2已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為，求證：（）解：由，可得，則（1），又（1），所以曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為

2、，即（）解：的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（）證明：由（）可知，當(dāng)時(shí)，才有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，則要證，即證，即證，而，則，否則方程不成立），所以即證，化簡得，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以（1），而，所以，所以，得證3已知函數(shù)，函數(shù)，（1）記，試討論函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若已知曲線和曲線在處的切線都過點(diǎn)求證：當(dāng)時(shí)，解：（1），記，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有異號(hào)的兩根，在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞減，有極小值點(diǎn)；（2）證明：，（1），在處的切線方程為，過點(diǎn)得：，（1），在處的切線方程為，過點(diǎn)得：，要證

3、：，即證：，即證：，構(gòu)造函數(shù)，則，時(shí)，時(shí)，在單調(diào)遞減，時(shí)，在單調(diào)遞增，（1），故原不等式成立4已知函數(shù)在處取得極值（）若對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）設(shè)，記函數(shù)在，上的最大值為，證明：（）解：，則，又在處取得極值，則有（1），解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，所以確實(shí)在處取得極值，故，設(shè)，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，在上恒成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，要使得在上恒成立，則有，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（）證明：要證，即證明即可，因?yàn)?，則，因?yàn)?，時(shí)，恒成立，設(shè)，則為單調(diào)遞增函數(shù)，又，則存在，

4、使得，即，則當(dāng)時(shí)，則，故單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，且不同時(shí)為0，則，故單調(diào)遞減，所以在，上的最大值為，又，則，設(shè)，則對于恒成立，故在上單調(diào)遞增故，于是，故5已知函數(shù)，對于，恒成立（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，解：（1）由恒成立，得對恒成立，令，當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)減，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（2）證明：由（1）得欲證，只需證即可，令，令，則易知在單調(diào)遞增，且，故存在，使得；當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，6已知函數(shù)，（）已知恒成立，求的值；（）若，求證：解：（1）已知恒成立，即恒成立，令，則有，當(dāng)時(shí)，則恒有，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，并且當(dāng)時(shí)，不滿足題意；，此時(shí)令；，即函數(shù)在上單

5、調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若要滿足題意，則需使，恒成立，令（a），則有（a），由此可得，當(dāng)時(shí)，（a）；當(dāng)時(shí)，（a）（a）（1），即得（a），（2）令，則有恒成立，故可得在上單調(diào)遞增，即有恒成立，故有在上恒成立；根據(jù)題意，要證，即證明，即證，即證，令，則有，在上恒成立，即得函數(shù)在上單調(diào)遞減，（1），由此得證當(dāng)時(shí)，原不等式成立7已知函數(shù)，的反函數(shù)為（其中為的導(dǎo)函數(shù)，（1）判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)，求證：解：（1）由題意得，則，由得或，由，得或，由，得，當(dāng)在上變化時(shí)，變化情況如下表：，100單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增根據(jù)上表知，（1），根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，又因?yàn)椋?），所以根據(jù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2（2）證明：因?yàn)?，其反函?shù)為，所以不等式為，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以（1），設(shè)函數(shù)，則，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?），所以存在，使得