概率隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

1、概率隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第1頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四比如，某廠的電機(jī)的噪聲電壓V 的密度分布：求功率 W=V2/R (R 為電阻)的分布. 在實(shí)際應(yīng)用中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)感興趣.2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布第2頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四在許多實(shí)際問題中, 常常需要研究隨機(jī)變量的函數(shù), 例:測(cè)量圓軸截面的直徑d,而關(guān)心的卻是截面積：d為隨機(jī)變量, S 就是隨機(jī)變量d的函數(shù)。的分布。 在統(tǒng)計(jì)物理中,已知分子的運(yùn)動(dòng)速度x的分布,求其動(dòng)能： 一般地，設(shè)y=g(x)是一元實(shí)函數(shù)，X是一個(gè)隨機(jī)變量，若X的取值在函數(shù)y=g(x)的定義域內(nèi)，

2、則Y=g(X)也為一隨機(jī)變量。第3頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù)密度函數(shù)第4頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四 隨機(jī)變量的函數(shù) 是一個(gè)這樣的隨機(jī)變量，若隨機(jī)變量Y 滿足： Y=g(X)則稱隨機(jī)變量Y 是X 的隨機(jī)變量的函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布已知，Y=g (X) (設(shè)g 是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？方法 將與Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 X 的事件第5頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四設(shè) r.v. X 的分布律為由已知函數(shù) g( x)可求出 r.v. Y 的所有可能取值，則 Y

3、 的概率分布為 離散型 r.v.函數(shù)的分布第6頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四設(shè)X為離散型 RV, 其分布律為X x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn隨機(jī)變量X的函數(shù) Y= g (X) 的分布律為Y g( x1) g( x2) g( x3) g (xn) pk p1 p2 p3 pn有可能g( x i )與g( x j )相同，此時(shí)將兩項(xiàng)合并，對(duì)應(yīng)概率相加 離散隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第7頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四【例】已知 X 的概率分布為X pk-1 0 1 2求 Y 1= 2X 1 與 Y 2= X 2 的分布律第8頁，共

4、46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四【例】 已知 X 的概率分布為其中 p + q = 1, 0 p 1, 求 Y = Sin X 的概率分布解第9頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四第10頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四故 Y 的概率分布為Ypi-1 0 1第11頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四課堂練習(xí)：加油站代營(yíng)出租車業(yè)務(wù)，每出租1輛車收入3元。該油站每天要付出60元工職。每天出租汽車數(shù)X的分布律如下：X10203040P0.150.250.450.15求加油站獲利的概率。第12頁，共46頁，2022年，5月

5、20日，6點(diǎn)14分，星期四方法：（1）從分布函數(shù)出發(fā)（2）用公式直接求密度函數(shù) 連續(xù)性 r.v.函數(shù)的分布 設(shè) X 為一個(gè)連續(xù)型R.V，其概率密度函數(shù)為 f (x)。y = g(x)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=g(X)的概率密度函數(shù) fY(y) 。第13頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四(1) 求Y的分布函數(shù) FY(y)根據(jù)分布函數(shù)的定義(2) 對(duì)FY(y) 求導(dǎo)，得到 fY(y)分布函數(shù)法解不等式轉(zhuǎn)化為求關(guān)于X的概率第14頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四【例】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度。 先求Y=2X+8的分布函數(shù)

6、 FY (y).Step1:第15頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四求Y=2X+8的概率密度Step 2: 第16頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四【例】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度求的概率密度。解先求分布函數(shù) FY (y)。由于解不等式轉(zhuǎn)化為求關(guān)于X的概率第17頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四于是得Y的概率密度為：第18頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四 從上述兩例中可以看到，在求P(Yy) 的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X) y 中解出X,從而得到與 g(X) y 等價(jià)的X 的不等式 。 這樣做是為了

7、利用已知的 X 的分布，從而求出相應(yīng)的概率。這就是分布函數(shù)法。例如，用 代替 2X+8 y 用 代替 X2 y 第19頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四【例】 已知隨機(jī)變量X N(0,1)。解第20頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四【例】已知隨機(jī)變量X解第21頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四定理 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度 又設(shè)函數(shù)處處可導(dǎo)，且（或），是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為： 則其中是函數(shù)的反函數(shù). 第22頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四【例】設(shè)X N（0，1），其概率密度為：則概率密度函數(shù)為

8、：此時(shí)稱Y服從自由度為 1 的 分布。第23頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四【例】 設(shè)隨機(jī)變量 ，證明解第24頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四推論定理第25頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四求 的密度函數(shù)解: 是 x 的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),第26頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四即 Y 服從19，21上的均勻分布Y=0.1X+10的密度函數(shù)為X的密度函數(shù)為 設(shè)隨機(jī)變量服從90，110上的均勻分布,求 Y=0.1X+10的密度函數(shù)。例解第27頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四注意 連續(xù) r

9、.v.的函數(shù)的分布 函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)例如 X U (0,2)令Y=g (X)xy1FY (y)不是連續(xù)函數(shù)第28頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四2.設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。 練一練第29頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四X , 求其密度函數(shù) f (x). ABCh.M 問 題在高為 h 的 ABC 中任取一點(diǎn)M , 點(diǎn) M 到 AB 的距離為隨機(jī)變量X , 求其密度函數(shù) f (x). 問 題ABCh.M第30頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四設(shè) r.v. 服從(0,1)內(nèi)均勻分布,又其中求 r.v. 的 p.d.f. 問

10、 題第31頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四思考題：設(shè)隨機(jī)變量X 服從(0,2)上的均勻分布,設(shè)Y = g(X) 是連續(xù)型的隨機(jī)變量嗎?第32頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四思考題答案：否. Y 在0,1上取值,Y 的分布函數(shù)為第33頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四不是連續(xù)函數(shù),Y 不是連續(xù)型的隨機(jī)變量.又Y 的取值不是有限個(gè)或可列個(gè), Y 也不是離散型的隨機(jī)變量.Y 是一個(gè)非離散非連續(xù)型的隨機(jī)變量.第34頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四1.設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為練習(xí)題：求: (1) X +

11、 2 ; (2) 的分布律.2.若 X 服從 上的均勻分布,求Y = tanX 的密度函數(shù).第35頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四3. 對(duì)圓的直徑作近似度量,設(shè)其值均勻分布于(a,b)內(nèi),試求圓的面積的密度函數(shù).4. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為求 的分布函數(shù) 和密度函數(shù) .5. 隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求 Y = 1/X 的概率密度.第36頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四6. 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為p 的幾何分布,即求: 的分布律.第37頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四1. (1)(2)練習(xí)題答案：第38頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四3. 解: 設(shè)圓的直徑為隨機(jī)變量D,圓的面積第39頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四第40頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四4. 解法一 (分布函數(shù)法)X 的取值范圍是(-1,1),Y 的取值范圍是1,2),第41頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四第42頁，共46頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期四解法二 (公式法)在(-