北京市東城區(qū)匯文中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一升高二時(shí)面臨著選文理科的問題，學(xué)校抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個(gè)等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論是不正確的是( )A樣本中

2、的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B樣本中有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量C樣本中的男生偏愛理科D樣本中的女生偏愛文科2若圓和圓相切，則等于( )A6B7C8D93準(zhǔn)線為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）ABCD4如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為（ ）A0.960B0.864C0.720D0.5765某個(gè)班級(jí)組織元旦晚會(huì)，一共準(zhǔn)備了、六個(gè)節(jié)目，節(jié)目演出順序第一個(gè)節(jié)目只能排或，最后一個(gè)節(jié)目不能排，且、要求相鄰出場，則不同的節(jié)目順序共有（ ）種A7

3、2B84C96D1206對(duì)任意實(shí)數(shù)，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD7已知圓與雙曲線的漸近線相切，則的離心率為（ ）ABCD8某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（ ）ABCD9已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為ABCD10已知，若為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值是( )ABCD11已知函數(shù)為偶函數(shù)，記 ， ，則的大小關(guān)系為 ( )ABCD12函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)可能為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13三棱錐PABC中，PAPBABACBC，M是PA的中點(diǎn)，

4、N是AB的中點(diǎn)，當(dāng)二面角PABC為時(shí)，則直線BM與CN所成角的余弦值為_.14設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，_， 成等比數(shù)列.15已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則的共軛復(fù)數(shù)_16在下列命題中：兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)；若，則；“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充要條件；復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)滿足；復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).其中正確命題的是_.（填序號(hào)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形和四邊形都是正方形，且邊長為，是的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；

5、（2）求二面角的大小.18（12分） “過橋米線”是云南滇南地區(qū)特有的一種小吃.在云南某地區(qū)“過橋米線”有三種品牌的店，其中品牌店家，品牌店家，品牌店家.（）為了加強(qiáng)對(duì)食品衛(wèi)生的監(jiān)督管理工作，該地區(qū)的食品安全管理局決定按品牌對(duì)這家“過橋米線”專營店采用分層抽樣的方式進(jìn)行抽樣調(diào)查，被調(diào)查的店共有家，則品牌的店各應(yīng)抽取多少家？（）為了吸引顧客，所有品牌店舉辦優(yōu)惠活動(dòng)：在一個(gè)盒子中裝有形狀、大小相同的個(gè)白球和個(gè)紅球.顧客可以一次性從盒中抽取個(gè)球，若是個(gè)紅球則打六折（按原價(jià)的付費(fèi)），個(gè)紅球個(gè)白球打八折，個(gè)紅球個(gè)白球則打九折，個(gè)白球則打九六折.小張?jiān)谠摰挈c(diǎn)了價(jià)值元的食品，并參與了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)他實(shí)際需要支

6、付的費(fèi)用為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.19（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明20（12分）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn).(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最小值.21（12分）設(shè)函數(shù) （1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實(shí)數(shù)的值.（2）討論在上的單調(diào)性；（3）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.22（10分）學(xué)校為了對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平進(jìn)行評(píng)價(jià)，從該校學(xué)生中選出300人進(jìn)行統(tǒng)計(jì).其中對(duì)教師教學(xué)水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的，對(duì)教師管理水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的，其中對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平都給出好評(píng)的

7、有120人.（1）填寫教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的列聯(lián)表：對(duì)教師管理水平好評(píng)對(duì)教師管理水平不滿意合計(jì)對(duì)教師教學(xué)水平好評(píng)對(duì)教師教學(xué)水平不滿意合計(jì)請問是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān)？（2）若將頻率視為概率，有4人參與了此次評(píng)價(jià)，設(shè)對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)為隨機(jī)變量.求對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；求的數(shù)學(xué)期望和方差.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）參考答案一、選擇題

8、：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量，男生偏愛理科，女生中有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量，所以選D.2、C【解析】根據(jù)的圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得兩圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓內(nèi)切、外切的條件,分別求得的值并驗(yàn)證即可得結(jié)果.【詳解】圓的圓心，半徑為5；圓的圓心，半徑為r.若它們相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差，即|r5|，求得r18或8，不滿足5r10.若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即|r5|，求得r8或18(舍去)，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的

9、方程以及圓與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題. 兩圓半徑為，兩圓心間的距離為，比較與及與的大小，即可得到兩圓的位置關(guān)系.3、A【解析】準(zhǔn)線為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，選A.4、B【解析】A1、A2同時(shí)不能工作的概率為0.20.20.04，所以A1、A2至少有一個(gè)正常工作的概率為10.040.96，所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.90.960.864.故選B.考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率.5、B【解析】分析：先排第一個(gè)節(jié)目，同時(shí)把C、D捆綁在一起作為一個(gè)元素，按第一個(gè)節(jié)目排A還是排B分類，如果第一個(gè)是B，則第二步排最后一個(gè)節(jié)目，如果第一個(gè)是A，則后面全排列即可詳解：由題意不同節(jié)目順序有故選B點(diǎn)睛：本題考查了排列、組合

10、題兩種基本方法(1)限制元素(位置)優(yōu)先法：元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置，再考慮其他位置(2)相鄰問題捆綁法：把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”作全排列，最后再“松綁”將“捆綁”元素在這些位置上作全排列6、B【解析】考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式；函數(shù)恒成立問題分析：要使不等式|x+2|-|x-1|a恒成立，需f（x）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a，問題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最小值解：（1）設(shè)f（x）=|x+2|-|x-1|，則有f（x）=，當(dāng)x-2時(shí)，f（x）有最小值-1；當(dāng)-2x1時(shí)，f（x）有最小值-1；

11、當(dāng)x1時(shí)，f（x）=1綜上f（x）有最小值-1，所以，a-1故答案為B7、B【解析】由題意可得雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求出 的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線的離心率，得到答案【詳解】由題意，根據(jù)雙曲線的漸近線方程為根據(jù)圓的圓心到切線的距離等于半徑1，可得，整理得，即，又由，則，可得 即雙曲線的離心率為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：求出 ，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)8、B【解析】解：根據(jù)題意，播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽即4次獨(dú)立重復(fù)

12、事件恰好發(fā)生2次，由n次獨(dú)立重復(fù)事件恰好發(fā)生k次的概率的公式可得， 故選B9、D【解析】分析：設(shè)，則根據(jù)平面幾何知識(shí)可求，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.詳解：在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知?jiǎng)t離心率，故選D.點(diǎn)睛：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點(diǎn)三角形”是橢圓問題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，在解決這類問題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.10、B【解析】先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)確定取法，再根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行取舍，進(jìn)而確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以因?yàn)?，所以因此選B.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)奇

13、偶性與單調(diào)性，考查基本判斷選擇能力.11、C【解析】試題分析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，在上單調(diào)遞增，并且，因?yàn)?，故選C考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性【思路點(diǎn)睛】本題考察的是比較大小相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，一般比較大小我們可以采用作差法、作商法、單調(diào)性法和中間量法，本題的題設(shè)中有解析式且告訴我們?yōu)榕己瘮?shù)，即可求出參數(shù)的值，所以我們采用單調(diào)性法，經(jīng)觀察即可得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)可以通過函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化到同一側(cè)，進(jìn)而判斷出幾個(gè)的大小，然后利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出所給幾個(gè)值的大小12、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號(hào)，然后結(jié)合所給的四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析、判斷后可得正確的結(jié)論【詳解】由圖象可知，函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)

14、，因此其導(dǎo)函數(shù)在時(shí)，有（即函數(shù)的圖象在軸上方），因此排除A、C從原函數(shù)圖象上可以看出在區(qū)間上原函數(shù)是增函數(shù)，所以，在區(qū)間上原函數(shù)是減函數(shù)，所以；在區(qū)間上原函數(shù)是增函數(shù)，所以所以可排除C故選D【點(diǎn)睛】解題時(shí)注意導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即函數(shù)遞增（減）時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)大（?。┯诹悖纱丝膳袛喑鰧?dǎo)函數(shù)圖象與x軸的相對(duì)位置，從而得到導(dǎo)函數(shù)圖象的大體形狀二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先連結(jié)PN，根據(jù)題意，PNC為二面角PABC的平面角，得到PNC，根據(jù)向量的方法，求出兩直線方向向量的夾角，即可得出結(jié)果.【詳解】解：連結(jié)PN，因?yàn)镹為AB中點(diǎn)，PAPB，CACB，

15、所以，所以，PNC為二面角PABC的平面角，所以，PNC，設(shè)PAPBABACBC2，則CNPNBM，設(shè)直線BM與CN所成角為，【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，靈活運(yùn)用向量法求解即可，屬于?？碱}型.14、【解析】由于等差數(shù)列的特征是差，等比數(shù)列的特征是比，因此運(yùn)用類比推理的思維方法可得： ， ， 成等比數(shù)列，應(yīng)填答案。15、【解析】把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線上，由此得到復(fù)數(shù)，即可求出答案【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，代入直線，可得，解得：，故復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。16、【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義和性質(zhì)，依次

16、判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)復(fù)數(shù)虛部為0時(shí)可以比較大小，錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，錯(cuò)誤；若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)，錯(cuò)誤；若，不能得到，舉反例，錯(cuò)誤；“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件，錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)，取，不能得到，錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)滿足，取，錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義知正確.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的性質(zhì)，定義，意在考查學(xué)生對(duì)于復(fù)數(shù)知識(shí)的理解和掌握.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）連結(jié)交于，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得是中點(diǎn)，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，最后根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論,（2）根據(jù)條件建立空間直角

17、坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組解各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求二面角.試題解析：（1）且，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)平面平面，幾何體是三棱柱又平面平面，平面，故幾何體是直三棱柱（1）四邊形和四邊形都是正方形，所以且，所以四邊形為矩形；于是，連結(jié)交于，連結(jié)，是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，故是三角形D的中位線，注意到在平面外，在平面內(nèi)，直線平面（2）由于平面 平面，平面，所以.于是，兩兩垂直.以，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因正方形邊長為，且為中點(diǎn)，所以，于是，設(shè)平面的法向量為則，解之得，同理可得平面的法向量，記二面角的大小為，依題意知，為銳角，即求二面角的大

18、小為18、（）品牌店家，應(yīng)抽查品牌店家；（）分布列見解析，【解析】（1）根據(jù)分層抽樣每層按比例分配，即可求解；（2）求出隨機(jī)變量的可能取值，并求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列，進(jìn)而根據(jù)期望公式求解.【詳解】（）由題意得，應(yīng)抽查品牌店家，應(yīng)抽查品牌店家；（）離散型隨機(jī)變量的可能取值為.于是，.的分布列如下60809096所以【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，求出隨機(jī)變量的概率是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）在上單調(diào)遞增；（2）詳見解析.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)的符號(hào)得出的單調(diào)性；（2）由題意可知有兩解，求出的過原點(diǎn)的切線斜率即可得出的范圍，設(shè)，根據(jù)分析法構(gòu)造關(guān)于的不等式

19、，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式恒成立即可【詳解】解：（1）時(shí)，故，在上單調(diào)遞增（2）由題意可知有兩解，設(shè)直線與相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是不妨設(shè)，則，兩式相加得：，兩式相減得：，故，要證，只需證，即證，令，故只需證在恒成立即可令，則，在上單調(diào)遞增，即在恒成立【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性與不等式的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的不等式是證明的難點(diǎn)，屬于難題20、 (1) ；單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2) 【解析】（1）先由函數(shù)圖像過點(diǎn)，求出，得到函數(shù)解析式，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先令在上的最小值為，結(jié)合（1）的結(jié)果，分別討論和兩種

20、情況，即可求出函數(shù)的最小值.【詳解】(1)函數(shù)的圖象過點(diǎn)故. 令得當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增. 所以，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)令在上的最小值為，由(1)知，當(dāng)時(shí)當(dāng)，在上單調(diào)遞增， 綜上所述：的最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等即可，屬于?？碱}型.21、（1）（2）見解析（3），見解析【解析】（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出是極值點(diǎn)，由此根據(jù)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為求解出的值，并注意驗(yàn)證是否滿足；（2）先求解出，然后結(jié)合所給區(qū)間對(duì)進(jìn)行分類討論，分別求解出的單調(diào)性；（3）構(gòu)造函數(shù)，分析的取值情況，由此求解出的取值范圍；將證明通過條件轉(zhuǎn)化為證明，由此構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行分析證明.【詳解】（1）由于函數(shù)函數(shù)在上遞增，在上遞減，由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，所以，故，此時(shí)滿足是極大值點(diǎn)，所以；（2），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即或時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)且時(shí)，由 得.令得；令得.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)或時(shí)，