2022屆黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)第三中學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1在中，若，則ABCD2某樣本平均數(shù)為，總體平均數(shù)為，那么（ ）ABCD是的估計(jì)值3函數(shù)的定義域?yàn)椋?）ABCD4雙曲線的離心率等于2，則實(shí)數(shù)a等于（）A1BC3D65若將函數(shù)圖象上所

2、有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）ABCD6已知函數(shù) ，則函數(shù)g（x）xf（x）1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A2B3C4D57已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（ ）ABCD8函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）ABCD9若集合,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ()ABCD10設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如右圖，則的充要條件是（ ） 123A BCD112018年某地區(qū)空氣質(zhì)量的記錄表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.8，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A0.48B0.6C0.75D0.812的展開式中

3、，的系數(shù)為（ ）A15B-15C60D-60二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13中，角 的對(duì)邊分別是，已知，則 _.14已知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與雙曲線x2a2-y215_16已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)于x0，都有f（x+2）=，且當(dāng)x0，2時(shí)，f（x）=log2（x+1），則f（2013）+f（2015）=_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知，（1）若，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和18（12分）（1）當(dāng) 時(shí)，求證：；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19（12分）在平面直角坐標(biāo)系

4、中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為.（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，），求的值.20（12分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）令，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，正實(shí)數(shù)滿足，證明.21（12分）已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；當(dāng)時(shí)，證明：.22（10分）動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，設(shè).（）求點(diǎn)的軌跡的方程；（）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的最小值參考答案一

5、、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，用、表示出即可.【詳解】即：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】統(tǒng)計(jì)學(xué)中利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)，可知樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的估計(jì)值.【詳解】解：樣本平均數(shù)為，總體平均數(shù)為，統(tǒng)計(jì)學(xué)中，利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)，樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的估計(jì)值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.3、B【解析】利用二次根式的性質(zhì)和分式的分母不為零求出函數(shù)的定義域即可.【詳解】由題意知，

6、解得且，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的求解；考查二次根式的性質(zhì)和分式的分母不為零；考查運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】利用離心率的平方列方程，解方程求得的值.【詳解】由可得，從而選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知雙曲線的離心率求參數(shù)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，

7、屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】由g（x）xf（x）10得f（x），根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）與h（x）的圖象，研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到結(jié)論【詳解】由g（x）xf（x）10得xf（x）1，當(dāng)x0時(shí)，方程xf（x）1不成立，即x0，則等價(jià)為f（x），當(dāng)2x4時(shí)，0 x22，此時(shí)f（x）f（x2）（1|x21|）|x3|，當(dāng)4x6時(shí)，2x24，此時(shí)f（x）f（x2） |x23|x5|，作出f（x）的圖象如圖，則f（1）1，f（3）f（1），f（5）f（3），設(shè)h（x） ，則h（1）1，h（3），h（5）f（5），作出h（x）的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選

8、：B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵7、D【解析】試題分析：由圖象可知又，又，.，又，所以，由，得，則的對(duì)稱中心坐標(biāo)為.考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的性質(zhì)；2.三角函數(shù)圖像的性質(zhì).【方法點(diǎn)睛】根據(jù)，的圖象求解析式的步驟：1首先確定振幅和周期，從而得到與；2求的值時(shí)最好選用最值點(diǎn)求，峰點(diǎn)：，；谷點(diǎn)：，也可用零點(diǎn)求，但要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn)，升零點(diǎn)(圖象上升時(shí)與軸的交點(diǎn))：，；降零點(diǎn)(圖象下降時(shí)與軸的交點(diǎn))：，8、A【解析】分析：判斷函數(shù)值，利用零點(diǎn)定理推出結(jié)果即可詳解：函數(shù)，可得：f（1）=50，f（0）=30，f（1）

9、=0，f（2）=0，f（3）=，由零點(diǎn)定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)在（2，3）內(nèi)故選A點(diǎn)睛：本題考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根9、D【解析】本題需要考慮兩種情況，通過二次函數(shù)性質(zhì)以及即集合性質(zhì)來確定實(shí)數(shù)的取值范圍?！驹斀狻吭O(shè)當(dāng)時(shí)，滿足題意當(dāng)時(shí)，時(shí)二次函數(shù)因?yàn)樗院愦笥?，即所以，解得?！军c(diǎn)睛】本題考察的是集合和帶有未知數(shù)的函數(shù)的綜合題，需要對(duì)未知數(shù)進(jìn)行分類討論。10、B【解析】由題設(shè)及數(shù)學(xué)

10、期望的公式可得，則的充要條件是應(yīng)選答案B11、C【解析】設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是，利用條件概率公式能求出結(jié)果【詳解】一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為，設(shè)隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則有，故選C【點(diǎn)睛】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】試題分析：依題意有，故系數(shù)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)式二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】化簡(jiǎn)已知等式可得sinC1，又ab，由余弦定理可得：cosCsinC，利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin（C）0，結(jié)合范圍C（，），可求C的值【詳解】c22b2（1sinC

11、），可得：sinC1，又ab，由余弦定理可得：cosC1sinC，sinCcosC0，可得：sin（C）0，C（0，），可得：C（，），C0，可得：C故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14、57【解析】分析：求得拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=1，焦點(diǎn)F（1，0），把x=1代入雙曲求得y的值，再根據(jù)FAB為正三角形，可得tan30=2a1-a詳解：已知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=1，焦點(diǎn)F（1，0），把x=1代入雙曲線x2a2-再根據(jù)FAB為正三角形，可得tan30=33=2a1-故

12、c2=34+4，c故答案為：573點(diǎn)睛：（1）本題主要考查橢圓、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)求離心率常用的有直接法和方程法，本題利用的是直接法，直接先求a和c的值,再求離心率. 15、【解析】根據(jù)積分運(yùn)算法則求，前者利用公式求解，后者所表示的幾何意義是以為圓心，2為半徑第一象限內(nèi)圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，求出圓的面積乘以四分之一，兩者結(jié)果做和即可得解【詳解】解：，由表示以為圓心，2為半徑的圓面積的，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分，定積分運(yùn)算是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題16、

13、0【解析】當(dāng)x0，都有f（x+2）=，此時(shí)f（x+4）=f（x），f（2015）=f（5034+3）=f（3）=，當(dāng)x0，2時(shí)，f（x）=log2（x+1），f（1）=log2（1+1）=1，即f（2015）=1，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（2013）=f（5034+1）=f（1）=1，f（2013）+f（2015）=11=0，故答案為0三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】（1）由題意可得，再由等差數(shù)列的定義即可得證；（2）求得，即，再由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)可得所求和【詳解】（1）因?yàn)?，所?/p>

14、可化為，又，所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列（2）由（1），知，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等差（等比）數(shù)列的前項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的分組求和法的應(yīng)用18、（1）見解析（2）【解析】（1）根據(jù)不等式的特征，分 ， ，構(gòu)造，研究其單調(diào)性即可.（2）將當(dāng)時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)且時(shí)，轉(zhuǎn)化為，利用（1）的結(jié)論求解.【詳解】（1）當(dāng) 時(shí)，原不等式左邊與右邊相等，當(dāng) 時(shí)，原不等式，等價(jià)于，令，所以，所以在上遞增，所以，當(dāng) 時(shí)，原不等式，等價(jià)于，令，所以，所以在上遞增，所以，綜上：當(dāng) 時(shí)，；（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)且

15、時(shí)，恒成立，由（1）知當(dāng)且時(shí)，所以，所以.實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)于函數(shù)的單調(diào)性研究不等式恒成立問題，還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】(1)由極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化公式求得；(2)利用直線參數(shù)方程中的幾何意義求解.【詳解】解，（1）圓的極坐標(biāo)方程為 （*）又， 代入（*）即得圓的直角坐標(biāo)方程為（2）直線1的參數(shù)方程可化為代入圓c的直角坐標(biāo)方程，得， 【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)的互化，以及直線的參數(shù)方程中的的幾何意義，屬于中檔題.20、（1）f（x）的最大值為f（1）=1（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：

16、（）代入求出值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，進(jìn)而判斷最值；（）求出，求出導(dǎo)函數(shù)，分別對(duì)參數(shù)分類討論，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性；（）整理方程，觀察題的特點(diǎn)，變形得，故只需求解右式的范圍即可，利用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)的方法求出右式的最小值.試題解析：（）因?yàn)?，所以a=-2，此時(shí)f（x）=lnx-x2+x， f（x）=-2x+1， 由f（x）=1，得x=1， f（x）在（1，1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減， 故當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值，所以f（x）的最大值為f（1）=1 （）g（x）=f（x）-ax2-ax+1， g（x）=lnx-ax2-ax+x+1 ， 當(dāng)a=1時(shí)，g（x）1，

17、g（x）單調(diào)遞增； 當(dāng)a1時(shí)，x（1，）時(shí)，g（x）1，g（x）單調(diào)遞增；x（，+）時(shí)，g（x）1，g（x）單調(diào)遞減； 當(dāng)a1時(shí)，g（x）1，g（x）單調(diào)遞增； （）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+x2+x，x1， 由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即 lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1 從而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2）， 令t=x2x1，則由（t）=t-lnt得，（t）= 可知，（t）在區(qū)間（1，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+）上單調(diào)遞增所以（t）1， 所以（x1+x2）2+（x1+x2）1，正實(shí)數(shù)x1，x2， 21、（1）1；（

18、2），證明見解析.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系當(dāng)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)，求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，進(jìn)而可求出最大值.（2）求出對(duì)恒成立，化為對(duì)恒成立，記，討論值，求出的最小值即可證出；由題意可得，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得，下面采用分析法即可證出.【詳解】（1）時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞增時(shí)，在上單調(diào)遞減（2）由在R上單調(diào)遞減，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，記，則對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，符題當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞減時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞減時(shí)，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，.要證，即證下面證明令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，得證【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.22、（）（）1【解析】（1）設(shè)Q（x，y），則P（x，2y），代入x2=